專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓的定義】 1【題型2曲線方程與橢圓】 2【題型3橢圓方程的求解】 3【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】 3【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】 5【題型6橢圓中的最值問(wèn)題】 5【知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義】1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.【題型1橢圓的定義】【例1】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）F1，F(xiàn)2為橢圓x249+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|=5，則|PA．9 B．4 C．2 D．1【變式1-1】（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）若橢圓x29+y2=1上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F1的距離為2A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x29+y25=1，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)FA．2 B．4 C．6 D．8【變式1-3】（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校考期末）設(shè)P為橢圓C：x225+y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，A．32 B．52 C．72【知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)

系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系2．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【題型2曲線方程與橢圓】【例2】（2022秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）“1<k<5”是方程“x2k-A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條【變式2-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程x2+ky2A．k>0 B．1<k<2 C．k【變式2-2】（2023秋·全國(guó)·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1A．a(chǎn)>3 B．C．a(chǎn)>3或a<-2 D．-【變式2-3】（2022·高二單元測(cè)試）若方程x29-k+yA．k∈1,9 B．橢圓CC．若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則k∈1,5 D．若橢圓C的焦點(diǎn)在x【題型3橢圓方程的求解】【例3】（2023春·河北承德·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-4，（0，4），且長(zhǎng)半軸a=6的橢圓方程為（

A．x236+C．x236+【變式3-1】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0A．x24+C．x23+【變式3-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(A．x216+y212=1 B．【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(0,-2)，F(xiàn)2(0,2)．過(guò)點(diǎn)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若△ABFA．x29+y25=1 B．【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】【例4】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀鰽BC的周長(zhǎng)是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（

）A．x29+C．x24+【變式4-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，已知A-1,0,C1,0，若a>A．x24+C．x24+【變式4-2】（2022秋·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：x-22+y2=20（圓心為A），點(diǎn)B-2,0，點(diǎn)Р在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PBA．x25-C．x25+【變式4-3】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┮阎獔AC:(x-1)2+y2=16，F(xiàn)(-1,0)為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過(guò)點(diǎn)A．x24+y23=1 B．【知識(shí)點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形】1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知△PQF的頂點(diǎn)P,Q在橢圓x216+y212A．12 B．43 C．16 D．【變式5-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC的頂點(diǎn)B?C在橢圓x23+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BCA．2 B．2C．4 D．4【變式5-2】（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓x24+y22=1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1?A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【變式5-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓x29+y24=1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A．6 B．12 C．2 D．2【題型6橢圓中的最值問(wèn)題】【例6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C:x225+y29=1的左右焦點(diǎn)分別為【變式6-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓x24+y2【變式6-2】