福建省莆田市第二十八中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)f（x）和g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱(chēng)為“密切區(qū)間”，設(shè)f（x）=x2﹣3x+4與g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“密切函數(shù)”，則它的“密切區(qū)間”可以是(

)A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題；新定義．【分析】根據(jù)“密切函數(shù)”的定義列出絕對(duì)值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“密切區(qū)間”．【解答】解：因?yàn)閒（x）與g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，則|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化簡(jiǎn)得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，因?yàn)閤2﹣5x+7的△＜0即與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，由開(kāi)口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密切區(qū)間”是[2，3]故選B【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生會(huì)根據(jù)題中新定義的概念列出不等式得到解集，要求學(xué)生會(huì)解絕對(duì)值不等式．2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?部分對(duì)應(yīng)值如下:的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖:下列關(guān)于函數(shù)的命題.(1)函數(shù)是周期函數(shù).

(2)函數(shù)在上是減函數(shù)(3)若當(dāng)時(shí),的最大值是2,則的最大值為4.

(4)當(dāng)時(shí).函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是

(

)A

4

B

3

C

2

D

1參考答案：D3.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：

ρ3：z的共軛復(fù)數(shù)為1+i；ρ4：z的虛部為-1．其中的真命題為A．ρ1，ρ2

B．ρ2，ρ4

C．ρ2，ρ-3

D．ρ3，ρ4參考答案：D4.已知集合M={x|x2＜1}，N={y|y=log2x，x＞2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．M∩N=N B．M∩（?UN）=? C．M∪N=U D．M?（?UN）參考答案：D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中y的范圍確定出N，即可作出判斷．【解答】解：∵M(jìn)={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=log2x，x＞2}={y|y＞1}，∴M∩N=?，M∪N={x|x＞﹣1且x≠1}，又U=R，∴?UN={y|y≤1}，∴M∩（?UN）={x|﹣1＜x＜1}=M，M?（?UN）．故選：D．5.若集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)是（

）

A．7

B．8

C．15

D．16參考答案：A6.（5分）已知a=（）0.5，b=2﹣0.3，c=log23，則a，b，c大小關(guān)系為（）A．b＞a＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞aD．a(chǎn)＞b＞c參考答案：C【考點(diǎn)】：對(duì)數(shù)值大小的比較．【專(zhuān)題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：∵a=（）0.5=2﹣0.5＜b=2﹣0.3＜1，c=log23＞1，∴c＞b＞a．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．7.函數(shù)其中（）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象A.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D.向左平衡個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A由圖象可知,即，又，所以，所以，由，得，即，即，因?yàn)?，所以，所以。因?yàn)?，所以只需將的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，即可得到的圖象，所以選A.8.若向量則A.

B.

C.

D.參考答案：B9.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為和，則弦長(zhǎng)（

）A．B．C．D．參考答案：A10.若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足，當(dāng)x∈時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專(zhuān)題： 計(jì)算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析： 根據(jù)，當(dāng)x∈時(shí)，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）時(shí)，f（x）的解析式，由在區(qū)間（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接的結(jié)論．解答： 解：∵，當(dāng)x∈時(shí)，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）時(shí)，，∴f（x）=，因?yàn)間（x）=f（x）﹣mx﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，所以y=f（x）與y=mx+m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)圖象如圖，由圖得，當(dāng)0＜m時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)故選D．點(diǎn)評(píng)： 此題是個(gè)中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問(wèn)題的能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

參考答案：（1,1）12.P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)F1P至點(diǎn)Q，使得，記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為，設(shè)點(diǎn)B為橢圓C短軸上一頂點(diǎn)，直線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|=

．參考答案：13.（幾何證明選講選做題）是圓的直徑，切圓于，于，，，則的長(zhǎng)為

．參考答案：略14.函數(shù)，實(shí)數(shù)互不相同，若，則的范圍為

．參考答案：略15.集合的真子集的個(gè)數(shù)是__________個(gè).參考答案：716.定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣a的零點(diǎn)從小到大依次記為x1，x2，…，xn，…，則當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．參考答案：3,6（3n﹣1）.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；函數(shù)的值；函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】（i）由于f（3x）=3f（x），可得f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2﹣1=1，即可得到f（6）．（ii）如圖所示，由題意當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，f（x）∈[0，3]；此時(shí)f（x）∈[0，3]．分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿(mǎn)足x1+x2=2×6，依此類(lèi)推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤f（x）≤1；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，0＜f（x）＜1，可得當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）當(dāng)時(shí)，則1≤3x＜3，由可知：．同理，當(dāng)時(shí)，0≤f（x）＜1，因此不必要考慮．當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，由，可得，f（x）∈[0，3]；此時(shí)f（x）∈[0，3]．作出直線(xiàn)y=a，a∈（1，3）．則F（x）=f（x）﹣a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x1，x2，且滿(mǎn)足x1+x2=2×6，依此類(lèi)推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．∴當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=4×（3+32+…+3n）==6×（3n﹣1）．17.函數(shù)的定義域記作集合D，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，…，6），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t，則事件“”的概率為

▲

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某地自來(lái)水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠?lái)水公司對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿(mǎn)足y=mf（x），其中f（x）=，當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時(shí)稱(chēng)為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱(chēng)為最佳凈化．（Ⅰ）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=5，試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？（Ⅱ）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）確定m=5，利用分段函數(shù)，解不等式，即可求得結(jié)論；（Ⅱ）由題意，?x∈（0，9]，結(jié)合函數(shù)解析式，確定函數(shù)單調(diào)性，求出其服務(wù)，即可求出投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，，…當(dāng)0＜x≤5時(shí)，顯然符合題意；…當(dāng)x＞5時(shí)，由可得5＜x≤21；…綜上0＜x≤21，所以自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)21天…（Ⅱ）由…當(dāng)0＜x≤5時(shí)，+2m在區(qū)間（0，5]上單調(diào)遞增，所以2m＜y≤3m；…當(dāng)x＞5時(shí)，，所以函數(shù)在（5，9]上單調(diào)遞減，從而得到，綜上可知：，…為使5≤y≤10恒成立，只要即可，所以，…所以應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值為．…19.（12分）已知拋物線(xiàn)x2=4y，過(guò)原點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P1，又過(guò)點(diǎn)P1作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P2，再過(guò)P2作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P3，﹣2＜x＜4，如此繼續(xù)．一般地，過(guò)點(diǎn)3＜x＜5作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Pn+1，設(shè)點(diǎn)Pn（xn，yn）．（1）求x3﹣x1的值；（2）令bn=x2n+1﹣x2n﹣1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（3）記P奇（x奇，y奇）為點(diǎn)列P1，P3，…，P2n﹣1，…的極限點(diǎn)，求點(diǎn)P奇的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合．專(zhuān)題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）求出直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，求出交點(diǎn)，即可得到；（2）設(shè)出兩點(diǎn)點(diǎn)Pn（xn，）．Pn+1（xn+1，），由直線(xiàn)的斜率公式，再由條件，運(yùn)用等比數(shù)列的定義，即可得證；（3）運(yùn)用累加法，求得x2n+1=+，再由數(shù)列極限的概念，即可得到點(diǎn)P奇的坐標(biāo)．解答：（1）直線(xiàn)OP1的方程為y=x，由解得P1（4，4），直線(xiàn)P2P1的方程為y﹣4=（x﹣4），即y=x+2，由得P2（﹣2，1），直線(xiàn)P2P3的方程為y﹣1=（x+2），即y=x+，由解得，P3（3，），所以x3﹣x1=3﹣4=﹣1．

（2）證明：因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)Pn（xn，）．Pn+1（xn+1，），由拋物線(xiàn)的方程和斜率公式得到，，所以xn+xn﹣1=，兩式相減得xn+1﹣xn﹣1=﹣，用2n代換n得bn=x2n+1﹣x2n﹣1=﹣，由（1）知，當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，所以{bn}是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為bn=﹣；（3）由得，，，…，，以上各式相加得x2n+1=+，所以x奇=，y奇=x奇2=，即點(diǎn)P奇的坐標(biāo)為（，）．點(diǎn)評(píng)：本題考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程求交點(diǎn)，考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的求法，考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，及數(shù)列極限的運(yùn)算，屬于中檔題．20.（12分）如圖，P是拋物線(xiàn)C：y=x2上一點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線(xiàn)C在點(diǎn)P的切線(xiàn)垂直，l與拋物線(xiàn)C相交于另一點(diǎn)Q.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上移動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離.

參考答案：解析：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）.由

，

①

得，

∴過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率=2，直線(xiàn)l的斜率kl=－=

∴直線(xiàn)l的方程為y－2=－(x－2)，即x+2y－6=0.（Ⅱ）設(shè)∵過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率

=x0，當(dāng)x0=0時(shí)不合題意，

∴直線(xiàn)l的斜率kl=－=，直線(xiàn)l的方程為

②方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x02－2=0.

設(shè)Q

∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，∴消去x0，得y=x2+(x≠0)就是所求的軌跡方程.由x≠0知上式等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是方法二：設(shè)Q則由y0=