2.1圓的方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)本章以“圓”為載體，再次實(shí)踐和感悟運(yùn)用解析幾何思想研究問(wèn)題的一般思路．通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將在類(lèi)比直線(xiàn)的研究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步體會(huì)和掌握在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，進(jìn)而運(yùn)用方程研究圓的幾何性質(zhì)及直線(xiàn)和圓、圓和圓的相互位置關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，逐步形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力．1、理解并掌握確定圓的幾何要素．2、理解并探求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．3、理解并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的求法．4、理解并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)01圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過(guò)原點(diǎn)：（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn)．（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，求(1)過(guò)點(diǎn)A，B且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)A，B且圓心在直線(xiàn)上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（1）當(dāng)為直徑時(shí)，過(guò)A，B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最?。吹闹悬c(diǎn)為圓心，半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法一：的斜率為，則的垂直平分線(xiàn)的方程是，即，由圓心在直線(xiàn)上，得兩直線(xiàn)交點(diǎn)為圓心，即圓心坐標(biāo)是．．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．解法二：待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)【即學(xué)即練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．與a的值有關(guān)【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，故選：A知識(shí)點(diǎn)03圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)河煞匠痰茫?）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．【即學(xué)即練3】（2023·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.故選：C.知識(shí)點(diǎn)04軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件符合某一基本曲線(xiàn)的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法）．2、求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線(xiàn)等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線(xiàn)）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．【即學(xué)即練4】已知，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，則點(diǎn)M的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，，整理可得，，?所以，點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為.故答案為：.題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A例2．（2023·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然線(xiàn)段的中垂線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，而點(diǎn)在y軸上，因此圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求滿(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在y軸上.【解析】（1）圓的半徑長(zhǎng)為，圓心為點(diǎn)，所以圓的方程為．（2）設(shè)所求圓的方程是，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在所求圓上，依題意得解得所以所求圓的方程是.變式1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程．【解析】法一（待定系數(shù)法）：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，解得，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．法二（幾何法）：由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線(xiàn)為．∵弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心，∴由，得，即圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝5．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．變式2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C的半徑為，圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】因?yàn)閳A心在直線(xiàn)上，，所以設(shè)圓心為.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)，所以.解得或-1.所以圓心C的坐標(biāo)是或.所以所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.變式3．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直，圓的圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求直線(xiàn)的方程；(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）由題設(shè)，代入得，于是的方程為.（2）設(shè)圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.變式4．（2023·河北保定·高二?？计谥校┣鬂M(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)；(2)圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)；【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得或，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，所以，解得，所以所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.【方法技巧與總結(jié)】一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)求解，用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓的方程為，由題意知,圓過(guò)點(diǎn)，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A例5．（2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)所求圓方程為,因?yàn)?，，三點(diǎn)都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.例6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上，所以，解得，所以圓的方程為.故選：C.變式5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）與圓同圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)所求圓的方程為，由于所求圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：B【方法技巧與總結(jié)】一般地，當(dāng)給出了圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，特別是當(dāng)這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間均不相同時(shí)，選用圓的一般方程比選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)捷；而在其他情況下的首選應(yīng)該是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)要注意從幾何角度來(lái)分析問(wèn)題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件．題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，半徑，所以，把點(diǎn)代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D例8．（2023·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定【答案】C【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外．故選：C例9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，，故點(diǎn)在圓內(nèi).故選：B【方法技巧與總結(jié)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從形的角度來(lái)看，設(shè)圓心為，半徑為，則點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外．從數(shù)的角度來(lái)看，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓內(nèi)．題型四：軌跡問(wèn)題例10．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)和圓為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，整理得，點(diǎn)在圓上，，整理得點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，則，，.故線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為.例11．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點(diǎn)為，，所以的中垂線(xiàn)方程為，它與軸的交點(diǎn)為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點(diǎn)在圓上，故，所以，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線(xiàn)段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動(dòng)點(diǎn)C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.變式6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，線(xiàn)段，且兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動(dòng)．求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程；【解析】設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，即，得.所以點(diǎn)的軌跡方程是．變式7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，即表示圓,所以，解得,易知圓心坐標(biāo)為，且，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則有，消去，得即為所求圓心的軌跡方程.故答案為：變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點(diǎn)A和B（AB＝2a）在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩桿保持互相垂直，則桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是.【答案】（不唯一）【解析】如圖，以AB所在直線(xiàn)為x軸，以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)，得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與A或B重合，此時(shí)y＝0，滿(mǎn)足上式，故桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是.因?yàn)槿≡c(diǎn)的位置不一樣，所以答案不一樣.故答案為：（答案不唯一）.變式9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)B，則線(xiàn)段中點(diǎn)P的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為，由題意，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故，化簡(jiǎn)得.即線(xiàn)段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：變式10．（2023·高二單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段AP的中點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】如圖所示，取OA中點(diǎn)D，連接DQ，則DQ為的一條中位線(xiàn)，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長(zhǎng)為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.變式11．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，由題知，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.變式12．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）為參數(shù)，圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，即，消去參數(shù)，可得.故圓的圓心的軌跡方程為.故答案為:.變式13．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線(xiàn)，，當(dāng)任意的實(shí)數(shù)m變化時(shí)，直線(xiàn)與的交點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】聯(lián)立兩直線(xiàn)得，將這兩式相乘，消去參數(shù)m，得，即，可得軌跡方程為．故答案為：變式14．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）點(diǎn)為圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M滿(mǎn)足．則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，解得.設(shè)點(diǎn)，，則由題意可得，，解得，，又因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足圓的方程，代入可得，化簡(jiǎn)得.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】用直接法求曲線(xiàn)方程的步驟如下：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線(xiàn)）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．題型五：二元二次曲線(xiàn)與圓的關(guān)系例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示的圓過(guò)原點(diǎn)且圓心在直線(xiàn)上的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程表示的圓，所以，圓過(guò)原點(diǎn)，所以；圓心在直線(xiàn)上，所以，由于，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：D例14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A例15．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【解析】由，可得，所以，解得或，選項(xiàng)中只有符合題意.故選：D.變式15．（2023·陜西·高二?？茧A段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程配方得，方程表示圓，則，解得或，故選：D．變式16．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列方程表示圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中圓心為，半徑為.對(duì)A，不符合，A錯(cuò)；對(duì)B，化為，不符合，B錯(cuò)；對(duì)C，化為，符合，C對(duì)；對(duì)D，化為，不符合，也不滿(mǎn)足平方項(xiàng)中間是+號(hào)，D錯(cuò).故選：C變式17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知表示的曲線(xiàn)是圓，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型六：圓過(guò)定點(diǎn)例16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.例17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】【解析】設(shè)拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、，由題意可知，由韋達(dá)定理可得，，所以，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.例18．（2023·江蘇·高二校考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).(1)當(dāng)，并且是圓的直徑，求此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是圓的直徑，證明：無(wú)論a取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過(guò)除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）當(dāng)，，故，，所以此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，即，所以圓的方程為：，則，，等式恒成立，定點(diǎn)為，所以無(wú)論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過(guò)除外的另一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.變式18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，動(dòng)圓恒過(guò)兩定點(diǎn).【解析】證明：圓系方程可化為.設(shè).∵對(duì)（）恒成立，∴，解得或.因此，圓系過(guò)定點(diǎn)和.變式19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)和以為圓心的圓.（1）求證：圓心在過(guò)點(diǎn)的定直線(xiàn)上，（2）當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．【解析】（1）由題可知圓心的坐標(biāo)為，令消去，得.∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).∴圓心在過(guò)點(diǎn)的定直線(xiàn)上.（2）∵以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴.∴，∴.即當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．變式20．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)【解析】變形為，令得，所以定點(diǎn)為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓方程得：圓心，直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸，圓心在直線(xiàn)上，即，解得：.故選：A.例20．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【解析】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，故有，即，所以半徑為，當(dāng)時(shí)，圓C的半徑的最小值為.故選：C.例21．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線(xiàn)為大于0的常數(shù)對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)閳A的圓心為，且圓關(guān)于直線(xiàn)為大于0的常數(shù)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，所以，又，所以即當(dāng)取最大值為，故選：A.變式21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】由題得圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)橐阎獔A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以.故選：C變式22．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如果圓（）關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則有（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以圓心在直線(xiàn)上，即，可得，故選：B.變式23．（2023·江蘇泰州·高二泰州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的斜率是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】由題可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，則，解得，則直線(xiàn)l的斜率是.故選：C.變式24．（2023·湖北荊門(mén)·高二荊門(mén)市東寶中學(xué)?？计谥校┮阎獔A：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓為圓：，則直線(xiàn)的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，圓的方程，可化為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得：，解得：或（舍去，此時(shí)半徑的平方小于0，不符合題意），此時(shí)C1(0，0)，C2(－1，2)，直線(xiàn)C1C2的斜率為：，由圓C1和圓C2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)可知：直線(xiàn)l為線(xiàn)段C1C2的垂直平分線(xiàn)，所以，解得，直線(xiàn)l又經(jīng)過(guò)線(xiàn)段C1C2的中點(diǎn)(，1)，所以直線(xiàn)l的方程為：，化簡(jiǎn)得：，故選A變式25．（2023·北京·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、為圓上關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】記圓心為，由題意，，∴，又∵過(guò)，∴方程為即，故選A.【方法技巧與總結(jié)】（1）圓的軸對(duì)稱(chēng)性：圓關(guān)于直徑所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：①求已知圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則此直線(xiàn)為兩圓圓心連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)題型八：圓的實(shí)際應(yīng)用例22．（2023·廣東廣州·高二廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┤鐖D是一條過(guò)江行車(chē)隧道，橫截面是一圓拱形（圓拱形是取某一圓周的一部分構(gòu)成巷道拱部的形狀），路面寬度米，拱高米．車(chē)輛只能在道路中心線(xiàn)一側(cè)行駛，一輛寬為米，高為米的貨車(chē)（可視為長(zhǎng)方體）能否駛?cè)脒@個(gè)隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心，，，由，即解得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以當(dāng)時(shí)，，即一輛寬為米，高為米的貨車(chē)不能駛?cè)脒@個(gè)隧道．例23．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一座類(lèi)似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）【解析】（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，中垂線(xiàn)向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接設(shè)圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為例24．（2023·浙江湖州·高二統(tǒng)考期中）如圖，某海面有三個(gè)小島（小島可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)大小），島在島正西方向距島千米處，島在島北偏西方向距島千米處．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S的正方向，千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓經(jīng)過(guò),三點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船在島的南偏東方向距島千米處，正沿著北偏西方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該漁船是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由已知．設(shè)圓方程為，將三點(diǎn)代入得解得，圓的方程為（2）由已知該船初始位置為點(diǎn)，且該船航線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為．海船行駛路線(xiàn)即圓心到的距離，有觸礁危險(xiǎn)．變式26．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時(shí)水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點(diǎn)到水面的距離)為1米．旱季時(shí)水位下降了1米，則此時(shí)水面跨度增大到米．【答案】8【解析】畫(huà)出圓拱圖示意圖，設(shè)圓半徑為,雨季時(shí)水位方程，解得；旱季時(shí)水位方程，解得，所以此時(shí)水面跨度為.所以答案為8.變式27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圖的圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，則支柱A2P2＝（參考數(shù)據(jù)：，，精確到）.【答案】【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，則圓心在y軸，設(shè)圓心坐標(biāo)（0，a），P（0，4），A（﹣10，0），則圓拱所在圓的方程為x2+（y﹣a）2＝r2，∴，即（a﹣4）2＝a2+100，解得a＝﹣，∴圓方程為x2+（y）2＝2.將x＝﹣2代入圓方程，得：y＝A2P2（m）.故答案為：3.86m.變式28．（2023·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時(shí)每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（可用參考數(shù)據(jù)：．）【答案】3.32【解析】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由題意設(shè)，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：；.【方法技巧與總結(jié)】解應(yīng)用題的步驟(1)建模．(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．(3)回歸實(shí)際問(wèn)題，給出結(jié)論．一、單選題1．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考期中）“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民對(duì)于圓的認(rèn)知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橐?、為直徑兩端點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即以為直徑的圓的方程為.故選：A2．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以所求對(duì)稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若當(dāng)方程所表示的圓取得最大面積時(shí)，則直線(xiàn)的傾斜角（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以時(shí)圓的半徑最大，面積也最大，此時(shí)直線(xiàn)的斜率為－1，所以?xún)A斜角為.故選：C4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得到直線(xiàn)與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線(xiàn)的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得①再由的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，，化簡(jiǎn)得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C5．（2023·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）若直線(xiàn)：平分圓：的面積，則的最小值為（

）．A．8 B． C．4 D．6【答案】A【解析】由題意可知：圓：的圓心為，若直線(xiàn)：平分圓：的面積，則直線(xiàn)：過(guò)圓心，可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：A.6．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》這首詩(shī)的開(kāi)頭兩句．詩(shī)中隱含著一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”：即將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為故，解得，即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故原點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以最短距離為．故選：C7．（2023·甘肅·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則，可得，代入得，化簡(jiǎn)得．故選：A．8．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線(xiàn)l：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為徑的圓C與直線(xiàn)交于另一點(diǎn).若，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【解析】如圖，由已知得，則，所以的方程為．由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．故選：B．二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)又本€(xiàn)：和：，是兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，、是兩直線(xiàn)和分別過(guò)的定點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為【答案】BC【解析】直線(xiàn)的方程可化為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，直線(xiàn)的方程可化為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤，由已知，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，即，B正確，因?yàn)?，所以，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；因?yàn)?，故，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)不是直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：BC.10．（2023·高二單元測(cè)試）設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線(xiàn)上B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，圓心為，一定在直線(xiàn)上，A正確；B選項(xiàng)，將代入得：，其中，方程無(wú)解，即所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，將代入得：，其中，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.11．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線(xiàn)（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線(xiàn)D．若，，則C是直線(xiàn)【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，若，則C是圓；若，則C是點(diǎn)；若，則C不存在.故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，且，則C是圓，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，且，則C是直線(xiàn)，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，若，則表示一元二次方程，若，則表示拋物線(xiàn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【解析】對(duì)于A、B，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，所以，整理可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項(xiàng)正確.故選：ABCD.三、填空題13．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足條件，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)椋缘能壽E是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，，表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，所以距離的最大值為.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則正實(shí)數(shù)a的值為．【答案】【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，設(shè)圓方程為，則有,，，聯(lián)立方程解得，所以圓方程為，又在圓上，所以，又，解得.故答案為：.