專(zhuān)題08期末必刷選填題50道(重點(diǎn))

知識(shí)點(diǎn)，題型全面，難度梯度分明

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=+則目=()

A.1B.也C.2

222

【答案】D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

i)=(l+i)2=l+2i+/=2i,

=2/=2z[G+i)J(g+i)=i百.

-

J-石一曲,)回廠^'一耳+,

2.已知“GR,若a-l+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)列式求解即可.

因?yàn)?a—1)+(。-2*為實(shí)數(shù)，所以a-2=0,;.a=2,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.已知復(fù)數(shù)z=(2+i“淇中i為虛數(shù)單位,則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是

A.|z|<3B.z的虛部為2

C.z的共匏復(fù)數(shù)為萬(wàn)+1D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

【答案】C

【解析】

由題意z=-l+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相關(guān)的概念逐項(xiàng)判斷即可.

由題意z=（2+i）i=-l+2i,

則目==石<3,故A正確；

z的虛部為2,故B正確；

z的共物復(fù)數(shù)為一1—23故C錯(cuò)誤；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一1,2）,在第二象限，故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)虛部的概念，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,C若A=l（）5°,8=45°,8=2jE,則

c等于（）

A.1B.72c.V3D.2

【答案】D

【解析】

由已知得。=180°—8—A=30°,根據(jù)正弦定理：?2應(yīng).=^,故。=2.

sin45°sin300

故選：D.

7T、冗_(dá)__

5.把復(fù)數(shù)ZI與Z2對(duì)應(yīng)的向量M而分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一和——后，重合于向量而

43

且模相等，已知馬=一1一Gi，則復(fù)數(shù)Z1的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（）

A.-J2-V2z>—B.-V2+V2Z,—C.-V2-V2Z,-D.-V2+V2z,-

4444

【答案】B

【解析】

（71..兀、（57r..57、

zjcos—+zsin—1=z2lcos—+zsin—I,即可求出z-再根據(jù)z1對(duì)應(yīng)的

坐標(biāo)即可得出它的輻角主值.

【詳解】

(71..71\573乃T..571

由題可知Z|Icos—+zsin—I=zlcos—+zsin

23

可知2,對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（-JE,夜），則它的輻角主值為子.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題.

6.若AABC的內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,a=80,。=100,A=30°，

則6的解的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.不確定

【答案】C

【解析】

首先利用正弦定理得sin8=*,再利用sinB的范圍可得角3的范圍，即可求得結(jié)果.

8

【詳解】

因?yàn)閍=80,8=100，A=30。，

所以，:上，即上，所以sin8=j

sinAsin3sin30°sin38

而L<sinB=￡<Y2,所以30。<8<45?；?35°<3<150°,

282

所以8有兩解.

故選：C.

7.已知向量Z=（a,a+2）,B=（l,2）,且向量￡與坂共線，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.3B.4C.72D.2

【答案】D

【解析】

由向量共線的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】

?向量￡與看共線，，，2a=a+2,解得。=2.

故選：D.

8.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，而=；（而+恁），則AAHC的面積與APBC的面

積之比為（）

3

A.2B.3C.—D.6

2

【答案】B

【解析】

取8C中點(diǎn)為D，根據(jù)向量之間關(guān)系，得到|PD|=g|A0|，過(guò)點(diǎn)P作PM工BC于點(diǎn)M，

\PM\1

過(guò)點(diǎn)A作ANL8C于點(diǎn)N,得出上高=彳，進(jìn)而可得三角形面積之比.

\AN\3

【詳解】

取3C中點(diǎn)為0,則通=g（而+/）,

___1/_____uun2111nliUUD1uuoi

因?yàn)锳P=—（A6+ACA）,所以AP=—AO,則PO=§A￡）,因此|尸。|=京4。|,

過(guò)點(diǎn)P作PMJ.BC干點(diǎn)M.過(guò)點(diǎn)A作AN_LBC于點(diǎn)N，

則易知R/VPDM:RtVADN,

因此\P扁M\=口\PD\=§1，

所以△人比的面積與d5C的面積之比為獰=#吧=曾=3.

PM

S?PBC^|PM||BC|\\

故選：B.

9.已知非零向量￡,B滿足忖=咽，且則［與］的夾角為（）

【答案】B

【解析】

由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意（4-2可1.坂，可得（a-2B"=0,即—2仲=0,

即「/，石卜058_2網(wǎng)=0,由卜|=4忖

1jr

可得cos6=—,。€［0,兀］,故。=一.

2LJ3

故選：B

10.在AABC中，若NA=60°,人=1,其面積為百，則----a++C------=（）

sinA+sinB+sinC

A.36B.迥cMD.叵

332

【答案】B

【解析】

先由面積公式求出c,再由余弦定理求出。，最后利用正弦定理可得出答案.

【詳解】

由面積公式S?A8c=gbcsinA==8c=4=c=4,

由余弦定理有a2-b'+c2-2Z?ccosA=b2+c2-4=>a-Vf3，

a_a+b+c_V13_2>/39

由正弦定理有sin4sinA+sinB+sinC63?

T

故選：B.

11.已知向量75,滿足|G|=1,|5|=2,若對(duì)任意模為2的向量｝,均有

|a-c|+|^-c|<277,則向量萬(wàn),5的夾角的取值范圍是（）

八萬(wàn)71712萬(wàn)］「八2萬(wàn)

A.0,—B.一,7tC.一D.0,—

L3J13」163JL3J

【答案】B

【解析】

根據(jù)向量不等式得到卜+5<幣,平方得到無(wú)B<1，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到cosa<-得到

2

答案.

【詳解】

由|萬(wàn)1=1,出|=2,若對(duì)任意模為2的向量均有|51|+出1區(qū)2"

可得：|(@+&回+網(wǎng)?同4|八4+|5回42s

可得:|3+51242"卜+5卜嶼

平方得到東+"+為石4？，即曲山1

a-b=同.Wcosa<1,.\cosa<^,.-.y<a<

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量夾角的計(jì)算，利用向量三角不等式的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

12.設(shè)非零向量詞的夾角為氏若同=2忖，且不等式忸+?求+附對(duì)任意6?恒成

立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為()

A.[-1,3]B.[-1,5]C.[-7,3]D.[5,7]

【答案】A

【解析】

根據(jù)題先利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化為(13-22)+(8-42)cos。20恒

成立，然后結(jié)合函數(shù)的恒成立，列出不等式組，即可求解.

【詳解】

由題意，非零向量的夾角為8,且慟=2忖，

則a?B=|a'"cos6=21cos0,

不等式|2￡+方|2忖+/l5|對(duì)任意8恒成立，

所以(2￡+歷22(￡+)楊2,即4隸+協(xié)5+52+容+2而歸+外52,

整理得(13—分)+(8—4/1)cose20恒成立，

八「，，ifl3-A2+8-4A>0[-7<A<3

因?yàn)閏osJe[—l,l,所以《，即，可得—1W/IW3,

L」13-/l2-8+4^>0-1</1<5

I1

即實(shí)數(shù)4的取值范圍為[-1,3].

故選：A.

【點(diǎn)睛】

求平面向量的模的兩種方法:

1、利用『卜7及（￡+楊2=@±2a-b+^\,把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算;

2、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,

再利用余弦定理等方法求解.

13.在AABC中，內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知

sin（6-A）+sin（6+A）=3sin2A,且c=V7，C-—,則&=（）

A.1B.述IC.1或述D.—

333

【答案】c

【解析】

由題意得sinBcosA—3sinAcosA，分cosA=0和cosAw0兩種情況求解，可得結(jié)果.

【詳解】

Vsin^B-5+A)=3sin2A,

?'-sinBcosA=3sinAcosA?

n

①當(dāng)cosA=0時(shí)，AABC為直角三角形，且A=一

2

c=sfl，C=—,

幣2721

?a=-----=------

.713

sin

3

②當(dāng)cosAw0時(shí)，則有sinB=3sinA，

由正弦定理得Z?=3a.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC^

21

即7="+（3Q）-2Q?（3a）.],

解得67=1.

綜上可得，。=1或匹

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角恒等變換，考查學(xué)生分類(lèi)討論思想，屬

于中檔題.

14.點(diǎn)M,MP在AABC所在平面內(nèi)，滿足加+M^+A/C=O,|而|=|而|=1祝I，

且丙?而=PBPC=PCPA-則M、N、P依次是△A8C的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心，外心，垂心

C.外心，重心，內(nèi)心D.外心，重心，垂心

【答案】B

【解析】

由三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案.

【詳解】

解：MA+MB+MC-6'MA+MB=-MC>

設(shè)AB的中點(diǎn)。，則初+語(yǔ)=2而，

：.C,M，。三點(diǎn)共線，即M為AABC的中線C。上的點(diǎn)，且MC=2MD.

為AABC的重心.

■.■\NA\=\NB\=\NC\,

.?.|24HN8|=|NC|,

.?.N為△A8C的外心；

?,PA-PB=PB>PC>

PB>（PA-PC）=O,

即刖a=0，二依_1_4。，

同理可得：PA1BC,PC1AB,

.1P為AA6c的垂心；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形五心的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題.

15.己知△ABC內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,面積為S,若

A+c______

asin-------=Z?sinA,2S=V3AB-AC>則AABC的形狀是（）

2

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

yd_1_TT

由asin-----=bsinA結(jié)合正弦定理、二倍角的正弦公式可求得8=一，由

23

2S=J5福?就結(jié)合三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積知識(shí)可得A=工，從而可得

3

答案.

【詳解】

因?yàn)閍sin*+°=1sinA,所以sinA-sin2—-=sinBsinA,

22

因?yàn)?<A<%,所以sinA>0,

R

所以cos—=sinB,

2

BBB

所以cos—=2sin—cos—,

222

因?yàn)?<8<乃，所以0<0<2，所以cos0>0,

222

所以sin—=一，所以———,所以8=—,

22263

因?yàn)?s-y/^ABAC，所以2xgbcsinA=V^ocosA,

f—__n冗兀兀

所以tanA=JW，因?yàn)?<A<乃，所以A=一,所以C=%-A-8=乃-------=—.

3333

所以AABC是正三角形.

故選：c

16.在△ABC中，a,b,c分別為A,B,C的對(duì)邊，a=V13,C=3>且

2a〃sinC=G（〃+c2—/）,貝IJAABC的面積為（）

A."B.373C.GD.6也

【答案】B

【解析】

根據(jù)正弦定理，余弦定理求出A,4利用三角形面積公式求解.

【詳解】

2absinC=G（/?2+c2一。?），

2absinC_rb2+c2-a2

2bc2bc

即色見(jiàn)C=RosA,

c

由正弦定理可知，sinA=>/3cosA.

即tanA=，所以A=§，

2

由余弦定理13=3?+/,-2x3/?cos—，

3

解得b=4（負(fù)值舍），

故三角形面積為L(zhǎng)/?csinA=，x4x3xYS=3百，

222

故選：B

17.已如平面向量a、區(qū)、c，滿足=3,W=2,，=2,b-c=2,>則

R——￡）2—伍_(kāi),]2的最大值為（）

A.192GB.192C.48D.4G

【答案】B

【解析】

作礪=￡，麗=B，OC=c>取8。的中點(diǎn)。，連接。。，分析出ABOC為等邊三

角形，可求得|西，計(jì)算得出（￡—勾，￡一/一[（￡叫?伍一4『=（254^）2,利

用圓的幾何性質(zhì)求出AABC面積的最大值，即可得出結(jié)果.

【詳解】

如下圖所示，作醞=￡,OB=b'OC=C'取的中點(diǎn)O，連接O。，

r

以點(diǎn)。為圓心，。為半徑作圓。，

T-b-c17t

cosZBOC--0<ZBOC<7T,：.ZBOC=~,

麗=5'

所以，ABOC為等邊三角形,

QO為BC的中點(diǎn)，OD人3C,所以，ABOC的底邊3c上的高為|而|=2sin工=&,

1IUUUllUUli_______________

a-b=OA-OB=BA?a-c-OA-OC=CA，

所以，（a-^-（a-c）=BA-C4=AB-AC=|AB||Xc|cosZBAC,

所以，（I一司2.R—°2—［僅_W（￡一,’=|而『?就《通H而kosNBAcj

二（網(wǎng)函sinN胡C『=3.J,

由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)A、。、。三點(diǎn)共線且。為線段AO上的點(diǎn)時(shí)，

△A3C的面積取得最大值，此時(shí)，3c的底邊8C上的高〃取最大值，即

%、=|啊+|西=4百，則（%詼）1mx=gx2x4G=4g,

因此，（Q-B）,（a-c）-［（a——c）］的最大值為4x［6）=192.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：已知圓心C到直線/的距離為d,且圓。的半徑為，，則圓。上一點(diǎn)到直線/距

離的最大值為d+r.

18.如皋定慧寺原有佛塔毀于五代時(shí)期，現(xiàn)在的觀音塔為2002年6月12日奠基，歷時(shí)兩年

完成的，是仿明清古塔建筑，框架七層、八角彩繪，總建筑面積700多平方米.塔內(nèi)供奉觀

音大士銅鑄32應(yīng)身，玻璃鋼彩鑄大悲咒出相84尊，有通道拾級(jí)而上可登頂層.塔名由中國(guó)

書(shū)法協(xié)會(huì)名譽(yù)主席、中國(guó)佛教協(xié)會(huì)顧問(wèn)、國(guó)學(xué)大師啟功先生題寫(xiě).塔是佛教的工巧明（即工

藝學(xué)，比如建筑學(xué)就是工巧明之一），東漢明帝永平年間方始在我國(guó)興建.所謂救人一命勝造

七級(jí)浮屠，這七級(jí)浮屠就是指七級(jí)佛塔.下面是觀音塔的示意圖，游客（視為質(zhì)點(diǎn)）從地面。

點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30。，沿直線前進(jìn)51米達(dá)到E點(diǎn)，此時(shí)看點(diǎn)。點(diǎn)的仰角為45°,

若28c=34C，則該八角觀音塔的高AB約為（）（、回標(biāo)1.73）

A.8米B.9米C.40XD.45米

【答案】D

【解析】

設(shè)AC=x,即可表示出8C、BE，再在RtAABD中，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得;

【詳解】

3

解：設(shè)AC=x,由28c=3AC得，BC—X

2

3

因?yàn)镹C￡8=45。，所以8E=8C=—x,在RtAAB。中,

2

3

x+—x與解得x=f“18

tan30°=—2

BD-x+5115-3G

2

所以AB=—x^45

2

故選：D

71,

19.三棱錐。一ABC中~4_L平面ABC,ZBAC=-,AP=3.BC=6,則三棱錐外接

2

球的表面積為()

A.57〃B.63兀C.457rD.84〃

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形找出△A6C的外心及外接圓的半徑，結(jié)合題意，找到三棱錐

P—A6C外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積.

【詳解】

71,

因?yàn)镹BAC=—,BC=6,

2

所以AABC的外接圓的半徑3,其外接圓的圓心為其斜邊8C的中點(diǎn)E,

三棱錐產(chǎn)一ABC中，24_L平面4BC,

所以二棱錐外接球的表面積為S=4兀R，=45%>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求外接球半徑的常用方法：

(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形或正四面體或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方

體或長(zhǎng)方體中去求解;

（2）利用球的性質(zhì)：幾何體在不同面均對(duì)直角的棱必然是球的直徑；

（3）定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其

垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

20.在直角三角形ABC中，AC=1,=x,。的斜邊A3的中點(diǎn)，將△A6C沿直線CD

翻折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得BCLAO,則x的取值范圍為（）

A.（0,1]B.（0,0]C.[1,0]D.（0,目

【答案】D

【解析】

取中點(diǎn)E，連接OE，AE，若CBLAD,則可證明出BC_L平面ADE，則可得

BC1AE,根據(jù)題目中各邊長(zhǎng)的關(guān)系可得出AE，AO關(guān)于x的表達(dá)式，然后在火

中，利用三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】

由題意得3C=x,則AD=8=30='"±1，如圖所示，取8c中點(diǎn)E，

2

翻折前，在圖1中，連接DE，CD,則。E=，AC=L,

22

翻折后，在圖2中，若CBL4D,則有：

VBCLDE,BC1AD,ADcDE=D，且A。,DEu平面ADE，

8CJ_平面,二BC_LAE，

又BCJ.AE,E為8C中點(diǎn)，???AB=AC=1

AD=A"

AE=

2

22

在AADE中，由三邊關(guān)系得：①女士1+1>All-ix，②運(yùn)也<-+,I1--X，

22V422V4

③x〉0；

由①②③可得0<%<百

當(dāng)x=時(shí)，AD=\,AE=-,ED=~,則A,E,￡＞三點(diǎn)共線，同時(shí)滿足BCLAO,

22

所以0<x46

故選：D.

【點(diǎn)睛】

解答本題的主要思路分析在于將異面直線間的垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直關(guān)系，即作出輔助線

DE與AE，根據(jù)題目條件確定出BC_L平面AOE,得到8C_LAE,從而通過(guò)幾何條件

求解.

21.在正四棱錐S-ABCD中，50，面438于。，SO=2,底面的邊長(zhǎng)為&,點(diǎn)P,Q

分別在線段BO,SC上移動(dòng)，則P,。兩點(diǎn)的最短的距離為（）

A.@B.拽C.2D.1

55

【答案】B

【解析】

若兩點(diǎn)間距離最短，則PQ為BD,SC公垂線段；易證得80,平面SOC,則可作

OM±SC,可知即為所求公垂線段，利用面積橋的方式可求得OM,即為所求最短

距離.

【詳解】

?.?P,Q在60,SC上移動(dòng)，則當(dāng)PQ為BD,SC公垂線段時(shí)，P,Q兩點(diǎn)的距離最??；

???四棱錐S—ABC￡>為正四棱錐，SO,平面AB8，二。為正方形ABCD的中心，

.-.BD1AC,又SOLBD,5004。=。，..30,平面SX，

過(guò)。作OMLSC,垂足為M，

?.?。0匚平面50€\，。0，80,，0河為6。,5。的公垂線，

又0M=SOW=卑=巫,，P,Q兩點(diǎn)的最短的距離為2叵.

SC非55

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中兩點(diǎn)間距離最值的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩點(diǎn)在兩一

面直線上移動(dòng)，確定兩異面直線之間的公垂線段即為所求最短距離.

22.已知機(jī)，〃表示兩條不同的直線，的尸表示兩個(gè)不重合的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若加//。，加//，，則a//夕B.若m//a,n/la,則n/〃〃

C.若〃?J_a,nA.a>則〃〃/"D.若m_La,則〃//a

【答案】c

【解析】

由線面和面面的位置關(guān)系可判斷A;根據(jù)線面平行及線線的位置關(guān)系判斷B；根據(jù)線面垂

直的性質(zhì)定理判斷C；由線而平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可判斷￡>.

【詳解】

解：對(duì)于A：若加//a，mlip,則a///或a,夕相交，A錯(cuò)；

對(duì)于B,若加//1，nlla,則加與“相交、平行或異面，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若/“_La,則〃〃/〃，故C正確：

對(duì)于D,若〃?_La,〃?_!_〃，則〃//a或〃ua,故D錯(cuò)誤；

故選：C

23.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.則在這個(gè)正方體中：

①BM與ED平行;②CN與3E是異面直線；③CN與成60°角；④DM與BN是

異面直線.

以上四個(gè)命題中，正確的命題序號(hào)是（)

A.①③B.②④C.①④D.③④

【答案】D

【解析】

將展開(kāi)圖復(fù)原為幾何體，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】

解：展開(kāi)圖復(fù)原的正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知

3M與互＞是異面直線，所以①錯(cuò)誤；

CN與BE是平行直線，所以②錯(cuò)誤；

連接AN,AC,則AN與8M，所以NANC或其補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角,

因?yàn)锳ANC為等邊三角形，所以NANC=60°,所以CN與8M成60°角，所以③正確;

與是異面直線，所以④正確，

故選：D

24.如圖正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為G，高為2,一只螞蟻要從頂點(diǎn)A沿三棱

柱的表面爬到頂點(diǎn)C',若側(cè)面AA'C'C緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是（)

A.V13B.2+GC.4D.y/3+y/l

【答案】A

【解析】

將側(cè)面與BCC%'展開(kāi)，在展開(kāi)圖中，連接4C求解即可.

【詳解】

將側(cè)面ABB'A與BCCB'展開(kāi)，如圖：

將側(cè)面ABB'A'與AO展開(kāi)，如圖:

連接AC',則AC'=J(Gy+22—2xVix2x(—?)=VIi

故選：A

25.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，他=8。=2,48,3。分別與了軸、f軸

平行，則AABC在原圖中對(duì)應(yīng)三角形的面積為（）

A.—B.1C.2D.4

2

【答案】D

【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則還原原圖，再計(jì)算可得.

【詳解】

解：?.?三角形的直觀圖中A3=BC=2,AB，8c分別與y'軸、￡軸平行,

所以SA8C=』ABBC=4X2X4=4

AAZ>C22

故選：D.

26.設(shè)。是直線，a是平面，則能推出a〃。的條件是（）

A.存在一條直線匕，allb,buaB.存在一條直線b，aLb'b

C.存在一個(gè)平面夕，auB,all/3D.存在一個(gè)平面夕，a_L￡,a10

【答案】C

【解析】

利用aua可得至ijABD的反例，利用面面平行性質(zhì)知C正確.

【詳解】

對(duì)于A,若aua,可滿足a〃），bua，但無(wú)法得到a〃a，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若aua,可滿足;，），b±a,但無(wú)法得到a〃a，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由面面平行的性質(zhì)知：若a〃/?,au（3,則?！╝，C正確；

對(duì)于D,若aua,可滿足a，尸，aL/3,但無(wú)法得到a〃a,D錯(cuò)誤.

故選：C.

27.正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的棱錐）的三視圖如圖所示,

俯視圖是正三角形，。是其中心，貝聞（視圖（等腰三角形）的腰長(zhǎng)等于（）

正視圖側(cè)視圖

V

俯視圖

A.B.2C.乖）D.V2

【答案】B

【解析】

可得原幾何體如圖所示正三棱錐A—BCD，取8。中點(diǎn)E，連接AE,CE,設(shè)底面邊長(zhǎng)

A17

為2%，表示出AO=OE='=OE=-CE=—，即可求出工,進(jìn)而求

33

出腰長(zhǎng).

【詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示正三棱錐A-BCD，

取80中點(diǎn)E，連接AE,CE,則底面中心。在CE上，連接A。，可得AOJ_平面ABC,

由三視圖可知A3=AC=AD=&，NAEC=45°，

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,則?！?x,則AE=j5_f,

AE

則在等腰直角三角形中，AO=OE

AOE正

則OE=1CE=W^

?.?O是底面中心,

33

則AO=1,底面邊長(zhǎng)為2J§，

則正視圖（等腰三角形）的腰長(zhǎng)為賄+12=2-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)三視圖計(jì)算原幾何體的相關(guān)量，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正三棱錐中的關(guān)系求出底面

邊長(zhǎng).

28.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A5CD中，Q4_L平面ABCO,四邊形ABCD為正方形，

PA=AB，E為A尸的中點(diǎn)，則異面直線PC與DE所成的角的正弦值為（）.

p

D

RC

A72R近「厲口回

5555

【答案】D

【解析】

先取正方形的中心。，連接0E,由PC//OE知NQED為異面直線PC與所成的角,

再在AOED中求NOED的正弦即可.

【詳解】

連AC，8D相交于點(diǎn)。，連OE、BE,

因?yàn)镋為AP的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，有PC//OE,可得ZOED為異面直線PC與DE

所成的角，不妨設(shè)正方形中，AB=2,則94=2，

由24,平面ABCO,可得PAL43,2，4）,

則BE==J1+4=逐，===0,

因?yàn)锽E=DE，0為80的中點(diǎn)，所以N￡OD=9（尸，sinZOED="=虎=巫.

DEV55

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求空間角的常用方法：

（1）定義法，由異面直線所成角、線而角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，

再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；

（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向

向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.

29.某單位有老年人27人，中年人55人，青年人81人為了調(diào)查他們的身體狀況，需從他

們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣

C.先從中年人中剔除一人，然后分層抽樣D.先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣

【答案】C

【解析】

根據(jù)總體的特征，考慮用分層抽樣，按照分層抽樣方法的進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解因?yàn)榭傮w是由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層抽樣.

因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為27+55+81=163，樣本容量為36,

由于按一抽樣，無(wú)法得到整數(shù)解，

163

因此考慮先剔除1人，將抽樣比變?yōu)楣?x.

1629

22

若從老年人中隨機(jī)地剔除1人，則老年人應(yīng)抽取27x^=6（人）,中年人應(yīng)抽取54XA=12

99

（人），青年人應(yīng)抽取81x]=18（人），從而組成容量為36的樣本.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的方法，屬于基礎(chǔ)題.

30.某校高三年級(jí)共有800名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，將所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下：[90,

100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150J,得到的頻率分布直

方圖如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（）

頻率

0.025k-----------------——

0.015k----------------------J—J——

O.OIOL—?————

0.005再土]吐上,

0V90100110120130140150分?jǐn)?shù)

①成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)為440；②這800名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)為125；③這800

名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)的近似值為121.4；④這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為120.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

先由頻率分布直方圖求出。的值，從而可求出成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)，平均數(shù)和中位

數(shù)，然后進(jìn)行判斷即可

【詳解】

解：由題意得(0.010x2+0.025+。+0.015+0.005)x10=1,解得。=0.035,

所以成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)為800x10x(0.035+0.015+0.005)=440,所以①正

確；

由頻率直方圖可知分在“20,130)中最多，所以眾數(shù)為120；13°=125,所以②正確；

,,.小山包，〃上?4”sc0.5-(0.010+0.010+0.025)x100，〃*

這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為120+----------------------------?121.4,所

0.035

以③正確；

這800名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為

10x(95x0.010+105x0.010+115x0.025+125x0.035+135x0.015+145x0.005)=120

,所以④正確，

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，考查運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題

31.將標(biāo)有數(shù)字3,4,5的三張撲克牌隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人一張，事件4“甲

得到的撲克牌數(shù)字小于乙得到的撲克牌數(shù)字”與事件①”乙得到的撲克牌數(shù)字為3”是()

A.互斥但不對(duì)立事件B.對(duì)立事件

C.既不互斥又不對(duì)立事件D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解析】

事件A與事件不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，由此得到事件A與事件8是互斥但不對(duì)立

事件.

【詳解】

將標(biāo)有數(shù)字3,4,5的三張撲克牌隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人一張，

事件A：“甲得到的撲克牌數(shù)字小于乙得到的撲克牌數(shù)字”，

事件8；“乙得到的撲克牌數(shù)字為3”，

事件A為：(3,4),(3,5),(4,5),

事件B為：(4,3),(5,3),

事件A與事件不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生,

事件A與事件B是互斥但不對(duì)立事件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩個(gè)事件的關(guān)系的判斷，考查互斥事件、對(duì)立事件的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

32.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩(shī)中有回文詩(shī)：“垂簾畫(huà)閣畫(huà)簾垂，誰(shuí)系懷思懷系誰(shuí)？”

既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、

3399共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中為偶數(shù)的概率是（）

1234

A.一B.—C.-D.一

9999

【答案】D

【解析】

利用列舉法列舉出所有的三位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，再列舉出其中所有的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，由此能求出

結(jié)果

【詳解】

解：三位數(shù)的回文數(shù)為AR4，

A共有1到9共9種可能，即181、282、383…

5共有0到9共10種可能，即AOA、AA、A2A、A3A、…

共有9x10=90個(gè)，

其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即282，484,686,888,

8共有。到9共10種可能，即AOA、AA、A2A,A3A、…

其有4x10=40個(gè)，

404

，三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率尸=——=一；

909

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，注意列舉法在使用時(shí)一定做到不重不漏，屬于中檔題.

33.疫情就是命令，防控就是責(zé)任，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，落實(shí)教育部、省教育廳關(guān)于

“停課不停學(xué)”精神，我市教科院積極行動(dòng)，組織各學(xué)校優(yōu)秀教師錄課，然后再選出優(yōu)秀課例

通過(guò)電視，今日郴州等渠道全方位、無(wú)死角、多路徑推送到各年級(jí)供學(xué)生使用.某校高一年

級(jí)要在甲、乙、丙、丁、戊5位優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師中隨機(jī)抽取2人參加錄課，則甲教師被選中的

概率為（）

【答案】B

【解析】

先根據(jù)題意列舉出所有的基本事件，再求出甲教師被選中的基本事件，最后根據(jù)古典概型計(jì)

算即可得答案.

【詳解】

解：甲、乙、丙、丁、戊5位優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師中隨機(jī)抽取2人，

共有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊共10種不同的選

法，

其中甲教師被選中的有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊共4種不同的選法，

所以甲教師被選中的概率為2=巴=2.

105

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，解題的關(guān)鍵在于列舉基本事件，是基礎(chǔ)題.

二、多選題

34.己知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)

為1,2,3,5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A=”抽取的兩個(gè)小

球標(biāo)號(hào)之和大于5"，事件8="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（）

A.事件A發(fā)生的概率為工

2

B.事件AU8發(fā)生的概率為苗

2

C.事件4門(mén)5發(fā)生的概率為彳

D.從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為，

5

【答案】BC

【解析】

根據(jù)題意，分別列舉出事件A和事件5所包含的基本事件，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含C：C；=20個(gè)基本事件；

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”包含的基本事件有：（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,

（3,5）,（3,6）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共11個(gè)基本事件；

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”包含的基本事件有：（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,

(4,3),(4,5),(4,6),共8個(gè)基本事件；

即事件3是事件A的子事件；

因此事件A發(fā)生的概率為“，故A錯(cuò)；

20

事件AU8包含的基本事件個(gè)數(shù)為11個(gè)，所以事件4U8發(fā)生的概率為口；故B正確；

20

Q2

事件A。8包含的基本事件個(gè)數(shù)為8個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為——=一，故C正確;

205

從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球，包含的基本事件為:(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6)

共5個(gè)基本事件，故從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為』，即D錯(cuò)誤.

5

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.

35.甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)

字1,2,3,4,乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5,6,7,8,同時(shí)拋擲這兩個(gè)四面體一次，記事

件A為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)“，事件B為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇

數(shù)”，事件。為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(A)=P(8)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(