第三章靜電場(chǎng)分析

3.1電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)（17.18學(xué)時(shí)）3.2靜電場(chǎng)的基本方程3.3電介質(zhì)的極化與電通量密度（19.20學(xué)時(shí)）3.4導(dǎo)體的電容3.5靜電場(chǎng)的邊界條件（21.22學(xué)時(shí)）3.6恒定電場(chǎng)3.7靜電場(chǎng)邊值問題（23.24學(xué)時(shí)）習(xí)題返回第三章靜電場(chǎng)分析3.1電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)（17.1第17.18學(xué)時(shí)

3.1電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)

庫(kù)侖定律（Coulom'sLaw）是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律，表明固定在真空中相距為R的兩點(diǎn)電荷q1與q2之間的作用力：正比于它們的電荷量的乘積；反比于它們之間距離的平方；作用力的方向沿兩者間的連線；兩點(diǎn)電荷同性為斥力，異性為吸力（如圖所示），表達(dá)式為

返回3.1.1庫(kù)侖定律兩個(gè)點(diǎn)電荷的相互作用

第17.18學(xué)時(shí)

3.1電場(chǎng)強(qiáng)度與電位函數(shù)庫(kù)侖定律2點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)q為位于點(diǎn)S(x′,y′,z′)處的點(diǎn)電荷，在其電場(chǎng)中點(diǎn)P(x,y,z)處引入試驗(yàn)電荷qt，如圖所示。根據(jù)庫(kù)侖定律，qt受到的作用力為F，則該點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度（ＥelectricFieldIntensity）定義為3.1.2電場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度3.1.2電場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)3將觀察點(diǎn)P稱為場(chǎng)點(diǎn)，其位置用坐標(biāo)(x,y,z)或r來表示，把點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)S稱為源點(diǎn)，其位置用坐標(biāo)(x′,y′,z′)或r′來表示，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量可表示為R=r-r′。直角坐標(biāo)系中，R=ax(x-x′)+ay(y-y′)+az(z-z′)，其大小為因此，上式又可以表達(dá)為

將觀察點(diǎn)P稱為場(chǎng)點(diǎn)，其位置用坐標(biāo)(x,y,z)或4當(dāng)空間中同時(shí)有n個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)等于各點(diǎn)電荷qi在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，即E=E1+E2+…+En=當(dāng)空間中同時(shí)有n個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)等于各點(diǎn)電荷qi在該點(diǎn)5

假設(shè)電荷是集中在一個(gè)點(diǎn)上，從宏觀的角度講，電荷是連續(xù)的分布在一段線上、一個(gè)面上或一個(gè)體積內(nèi)的。線電荷密度（ChargeLineDensity）：當(dāng)電荷分布在一細(xì)線（其橫向尺寸與長(zhǎng)度的比值很?。┥蠒r(shí)，定義線電荷密度為單位長(zhǎng)度上的電荷式中，Δq是長(zhǎng)度元Δl上的電荷。

2.分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度假設(shè)電荷是集中在一個(gè)點(diǎn)上，從宏觀的角度講，電荷是連續(xù)6

面電荷密度（ChargeArealDensity）：當(dāng)電荷分布在一個(gè)表面上時(shí)，定義面電荷密度為單位面積上的電荷式中，Δq是面積元ΔS上的電荷。面電荷密度（ChargeArealDensity）7

體電荷密度（ChargeVolumeDensity）：如果電荷分布在一個(gè)體積空間內(nèi)，定義體電荷密度為單位體積內(nèi)的電荷式中，Δq是體積元ΔV內(nèi)所包含的電荷。

體電荷密度（ChargeVolumeDensit8體電荷產(chǎn)生的場(chǎng)

體電荷產(chǎn)生的場(chǎng)9

分布電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

設(shè)電荷以體密度ρV(r′)分布在體積V內(nèi)。在V內(nèi)取一微小體積元dV′如上圖所示，其電荷量dq=ρV(r)dV′，其視為點(diǎn)電荷，則它在場(chǎng)點(diǎn)P(r)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為體積V內(nèi)所有電荷在P(r)處所產(chǎn)生的總電場(chǎng)為分布電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度體積V內(nèi)所有電荷在P(r10

用類似的方法可求得電荷分布為ρS(r′)和ρl(r′)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式分別為稱之為電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量積分公式。當(dāng)電荷分布已知時(shí)，就可由它們求得其電場(chǎng)強(qiáng)度。用類似的方法可求得電荷分布為ρS(r′)和ρl(r′)11

例

有限長(zhǎng)直線l上均勻分布著線密度為ρl的線電荷,如下圖所示，求線外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

有限長(zhǎng)直線電荷的電場(chǎng)

無限長(zhǎng)線電荷的場(chǎng)

例有限長(zhǎng)直線l上均勻分布著線密度為ρl的線電荷,如下圖12

在靜電場(chǎng)中，某點(diǎn)P處的電位定義為把單位正電荷從P點(diǎn)移到參考點(diǎn)Q的過程中靜電力所作的功。若正試驗(yàn)電荷qt從P點(diǎn)移到Q點(diǎn)的過程中電場(chǎng)力作功為W，則P點(diǎn)處的電位為3.1.3電位函數(shù)當(dāng)電荷不延伸到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，一般把電位參考點(diǎn)Q選在無限遠(yuǎn)處，這將給電位的計(jì)算帶來很大的方便。此時(shí)，任意P點(diǎn)的電位為在靜電場(chǎng)中，某點(diǎn)P處的電位定義為把單位正電荷從P點(diǎn)移13則點(diǎn)電荷的電位表達(dá)式為

這就是點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位。上式中隱含無窮遠(yuǎn)處電位為零。則有：電位與電場(chǎng)強(qiáng)度有如下關(guān)系E=-▽?duì)?/p>

則點(diǎn)電荷的電位表達(dá)式為這就是點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位。上式14

如果電荷以體密度ρV(r′)分布于體積V內(nèi)，將積分（對(duì)帶撇的變量積分）與微分（對(duì)不帶撇的變量微分）符號(hào)互換，得類似地可得電荷分布為ρS(r′)和ρl(r′)時(shí)電位函數(shù)的表達(dá)式分別為如果電荷以體密度ρV(r′)分布于體積V內(nèi)，將積分（15例

真空中一個(gè)帶電導(dǎo)體球，半徑為a，所帶電量為Q，試計(jì)算球內(nèi)外的電位與電場(chǎng)強(qiáng)度。

孤立帶電導(dǎo)體球的場(chǎng)

帶電導(dǎo)體球的場(chǎng)分布

例真空中一個(gè)帶電導(dǎo)體球，半徑為a，所帶電量為Q，試計(jì)算球內(nèi)16

電偶極子是指相距很近的兩個(gè)等值異號(hào)的電荷。設(shè)每個(gè)電荷的電量為q，它們相距為d，如下圖所示。選用球坐標(biāo)來求電偶極子在點(diǎn)P的電位及電場(chǎng)。根據(jù)點(diǎn)電荷電位的表達(dá)式，電偶極子在P點(diǎn)的電位為3.1.4電偶極子電偶極子是指相距很近的兩個(gè)等值異號(hào)的電荷。3.1.417電偶極子的場(chǎng)

電偶極子的場(chǎng)18

當(dāng)兩電荷之間距相對(duì)于到觀察點(diǎn)的距離非常小,r1,r2,r三者近乎平行，因此r1-r2≈dcosθ，r1r2≈r2，將其代入上式得電偶極子的電位表達(dá)式為

定義電偶極矩矢量的大小為p=qd，方向由負(fù)電荷指向正電荷，即p=azqd則P點(diǎn)的電位可以寫成下列形式:

當(dāng)兩電荷之間距相對(duì)于到觀察點(diǎn)的距離非常小,r1,19取負(fù)梯度得電偶極子在P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

電偶極子的電場(chǎng)線

取負(fù)梯度得電偶極子在P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為電偶極子的電場(chǎng)線20

3.2靜電場(chǎng)的基本方程

把一個(gè)試驗(yàn)電荷qt放入電場(chǎng)中，讓它自由移動(dòng)，作用在此電荷上的靜電力將使它按一定的路線移動(dòng)，稱這個(gè)路線為力線（LineofForce）或通量線(FluxLine)。若把電荷放在不同的位置，就能描繪出任意多條力線。為了不使區(qū)域內(nèi)被無數(shù)條力線塞滿，通常人為規(guī)定一個(gè)電荷產(chǎn)生的力線條數(shù)等于用庫(kù)侖表示的電荷的大小，于是說場(chǎng)線(FieldLine)表示電通量(ElectricFlux)。雖然電通線實(shí)際上不存在，但它們可以直觀、形象地描繪電場(chǎng)的分布，如下圖所示。

3.2.1電通（量）和電通（量）密度3.2靜電場(chǎng)的基本方程把一個(gè)試驗(yàn)電荷qt放21孤立正電荷的電通

早期研究發(fā)現(xiàn)，電通量有如下特性

(1)與媒質(zhì)無關(guān)

(2)大小僅與發(fā)出電通量的電荷有關(guān)

(3)如果點(diǎn)電荷被包圍在半徑為R的假想球內(nèi)，則電通量必將垂直并均勻穿過球面(4)單位面積上的電通量，即電通密度，反比于R2

孤立正電荷的電通早期研究發(fā)現(xiàn)，電通量有如下特性22

而電場(chǎng)強(qiáng)度除了大小與媒質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)外，也滿足這些約束，故可以用電場(chǎng)強(qiáng)度定義電通密度D為

D=ε0E

點(diǎn)電荷q在半徑R處的電通密度為，D的單位為C/m2由矢量分析得：穿過某個(gè)曲面S的電通量定義為如果D與dS方向相同，則穿過曲面S的電通量最大。

而電場(chǎng)強(qiáng)度除了大小與媒質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)外，也滿足這些23

設(shè)在無限大真空中O點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q，以任意曲面S包圍該點(diǎn)電荷，則穿出這個(gè)封閉曲面的電通量為式中dΩ是表面dS在O點(diǎn)所張的立體角。由于任何封閉面對(duì)曲面內(nèi)的一點(diǎn)所張的立體角都是４π，所以通過曲面S的總電通量為3.2.2高斯定律設(shè)在無限大真空中O點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q，以任意曲面S包圍該點(diǎn)24如果電荷的總量為Q，并以體密度ρV分布在閉合面包圍的體積內(nèi)，則有

該式表明，若已知封閉面上的電場(chǎng)強(qiáng)度或電通密度，通過高斯定律便可求出封閉面內(nèi)的總電荷。如果電荷呈對(duì)稱分布，則很容易選擇一個(gè)恒電通密度的面，從而用高斯定律大大降低分析電場(chǎng)問題的難度。應(yīng)用散度定理，上式也可寫成

因此，有

▽·D=ρV

如果電荷的總量為Q，并以體密度ρV分布在閉合面包圍的體積內(nèi)25如果在真空中，還可以寫為在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)中有

如果在真空中，還可以寫為在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)中有26例

用高斯定律求無限長(zhǎng)線電荷ρl在任意P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。無限長(zhǎng)線電荷的場(chǎng)

例用高斯定律求無限長(zhǎng)線電荷ρl在任意P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。無27設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，l為場(chǎng)中任意閉合路徑，電場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合路徑的積分稱為環(huán)量。根據(jù)斯托克斯定理有即3.2.3電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)量設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，l為場(chǎng)中任意閉合路徑，電場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合28第19.20學(xué)時(shí)

3.3電介質(zhì)的極化與電通量密度理想的電介質(zhì)（IdealDielectric）內(nèi)部沒有自由電子，它的所有帶電粒子受很強(qiáng)的內(nèi)部約束力束縛著，因此稱為束縛電荷(BoundCharge)。

就物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)來講，電介質(zhì)的分子可以分成無極分子和有極分子兩大類。在通常情況下，無極分子正負(fù)電荷的作用中心是重合的，如下圖（a）所示，有極分子正負(fù)電荷的作用中心不相重合而形成一個(gè)電偶極子，但由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，不同電偶極子的偶極矩的方向是不規(guī)則的，因此就宏觀來說，它們所有分子的等效電偶極矩的矢量和為零，因而對(duì)外不呈現(xiàn)電性。返回第19.20學(xué)時(shí)

3.3電介質(zhì)的極化與電通量密度理29

在外加電場(chǎng)力的作用下，無極分子正、負(fù)電荷的作用中心不再重合，有極分子的電矩發(fā)生轉(zhuǎn)向，這時(shí)它們的等效電偶極矩的矢量和不再為零,如下圖（b)所示。這種情況稱為電介質(zhì)的極化(Polarized)。極化的結(jié)果是在電介質(zhì)的內(nèi)部和表面形成極化電荷，這些極化電荷在介質(zhì)內(nèi)激發(fā)出與外電場(chǎng)方向相反的電場(chǎng)，從而使介質(zhì)中的電場(chǎng)不同于介質(zhì)外的電場(chǎng)。

在外加電場(chǎng)力的作用下，無極分子正、負(fù)電荷的作用中心不再30

電介質(zhì)的極化

(a)正常狀態(tài)下正負(fù)電荷中心重合(b)極化電介質(zhì)的等效電偶極矩電介質(zhì)的極化31

設(shè)介質(zhì)在外電場(chǎng)作用下發(fā)生了極化，為了描述介質(zhì)極化的狀態(tài)，引入極化強(qiáng)度矢量。在極化電介質(zhì)中取一小體積ΔV,則ΔV內(nèi)的電矩總和記為∑p，定義單位體積內(nèi)的電偶極矩為極化強(qiáng)度矢量(PolarizationIntensityVector),即如果pav表示ΔV內(nèi)每個(gè)分子的平均偶極矩，N是每單位體積內(nèi)的分子數(shù)，則極化強(qiáng)度也可以表示為P=Npav

在線性、均勻、各向同性的介質(zhì)中，極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度滿足下列關(guān)系：P=χeε0E設(shè)介質(zhì)在外電場(chǎng)作用下發(fā)生了極化，為了描述介質(zhì)極化的狀態(tài)32極化電介質(zhì)外一點(diǎn)的場(chǎng)

如圖所示，極化介質(zhì)內(nèi)取一微小體積元dV′，dV′內(nèi)電偶極矩為dp=PdV′，電偶極矩dp在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位相當(dāng)于一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位，其表達(dá)式為極化電介質(zhì)外一點(diǎn)的場(chǎng)如圖所示，極化介質(zhì)內(nèi)取一微小體積33考慮到

，則有利用矢量恒等式考慮到，則有利用矢量恒34

因此，整個(gè)極化電介質(zhì)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電位表達(dá)式為

上式表明，極化介質(zhì)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位是兩項(xiàng)的代數(shù)和。定義ρSb=P·an為束縛面電荷密度，▽·P為束縛體電荷密度，于是可得因此，整個(gè)極化電介質(zhì)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電位表達(dá)式為上35束縛電荷密度的產(chǎn)生是由于無極分子電荷對(duì)的分離和有極分子電偶極矩的有序排列。如果電介質(zhì)中除了束縛電荷密度還有自由電荷密度，則電介質(zhì)中的電場(chǎng)E是自由電荷和束縛電荷共同作用的結(jié)果，即即

▽

·(ε0E+P)=ρV該式右邊僅有自由體電荷密度一項(xiàng)。當(dāng)討論自由空間的電場(chǎng)時(shí)，有▽·D=ρV。事實(shí)上，在自由空間極化強(qiáng)度P=0。因此，任意媒質(zhì)中電通量密度為：D=ε0E+P=ε0E+χeε0E=εrε0E=Εe束縛電荷密度的產(chǎn)生是由于無極分子電荷對(duì)的分離和有極分36

在自由空間中，εr=1，因此有D=ε0E。在任意介質(zhì)中，靜電場(chǎng)滿足下列方程式:在自由空間中，εr=1，因此有D=ε0E。在任意介質(zhì)中373.4導(dǎo)體的電容

在很多情況下，電荷分布在導(dǎo)體上或?qū)w系統(tǒng)中，因此導(dǎo)體是儲(chǔ)存電荷的容器。儲(chǔ)存電荷的容器稱為電容器(Capacitor)。實(shí)際上，相互接近而又相互絕緣的任意形狀的導(dǎo)體都可構(gòu)成電容器，如圖所示。

任意形狀導(dǎo)體構(gòu)成的電容3.4導(dǎo)體的電容在很多情況下，電荷分布在導(dǎo)38

一個(gè)導(dǎo)體上的電荷量與此導(dǎo)體相對(duì)于另一導(dǎo)體的電位之比定義為電容，其表達(dá)式為其中C為電容，單位為F；Qa表示導(dǎo)體a的電荷，單位為C；Uab表示導(dǎo)體a相對(duì)于導(dǎo)體b的電位，單位為V。上面討論的是由兩個(gè)平板導(dǎo)體構(gòu)成的電容器的電容。下圖所示為兩根平行雙導(dǎo)線及同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間的電容也可仿此導(dǎo)出。

一個(gè)導(dǎo)體上的電荷量與此導(dǎo)體相對(duì)于另一導(dǎo)體的電位之比定義39雙導(dǎo)線與同軸線的電容

(a)雙導(dǎo)線；(b)同軸線雙導(dǎo)線與同軸線的電容40

圖(a)所示的平行雙導(dǎo)線，每根導(dǎo)線的直徑為d，雙導(dǎo)線間的距離為D，其間充填有介質(zhì)ε。設(shè)平行雙導(dǎo)線間的電壓為U，單位長(zhǎng)度的電荷為ρl，則雙導(dǎo)線間的電場(chǎng)強(qiáng)度為將上式積分即得雙導(dǎo)線間的電壓:

圖(a)所示的平行雙導(dǎo)線，每根導(dǎo)線的直徑為d，雙導(dǎo)線間41根據(jù)電容的定義得平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電容為如圖(b)所示的同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體的半徑分別為a和b，其間充填有介質(zhì)ε，類似的推導(dǎo)可得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為根據(jù)電容的定義得平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電容為如圖(b)所示的42四導(dǎo)體系統(tǒng)的電容四導(dǎo)體系統(tǒng)的電容43第21.22學(xué)時(shí)

3.5靜電場(chǎng)的邊界條件

在介電常數(shù)分別為ε1與ε2的媒質(zhì)1與媒質(zhì)2的分界面上作一個(gè)小的柱形閉合面，分界面的法線方向n由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1,

如圖所示。因柱形面上、下底面積ΔS很小，故穿過截面ΔS的電通量密度可視為常數(shù)，假設(shè)柱形面的高h(yuǎn)→0，則其側(cè)面積可以忽略不計(jì)。返回3.5.1電通量密度D的法向分量電通量密度的邊界條件

第21.22學(xué)時(shí)

3.5靜電場(chǎng)的邊界條件在介電常數(shù)44

設(shè)分界面上存在的自由面電荷密度為ρS，根據(jù)高斯定理有

n·(D1-D2)=ρS或D1n-D2n=ρS由于D=εE，因而有ε1E1n-ε2E2n=ρS，將E=-▽?duì)沾肟傻糜秒娢缓瘮?shù)表示的邊界

，

設(shè)分界面上存在的自由面電荷密度為ρS，根據(jù)高斯定理有45

當(dāng)分界面在兩種不同介質(zhì)之間時(shí)，若非特意放置，分界面上一般不存在自由面電荷，此時(shí)，穿過介質(zhì)分界面的電通量密度的法向分量是連續(xù)的，即D1n=D2n

或ε1E1n=ε2E2n或當(dāng)分界面在兩種不同介質(zhì)之間時(shí)，若非特意放置，分界面上46當(dāng)媒質(zhì)2為導(dǎo)體時(shí)，由靜電場(chǎng)條件D2必然為零。若媒質(zhì)1中存在著D1的法向分量，則導(dǎo)體表面必然存在自由面電荷密度，即D1n=ρS或ε1E1n=ρS

或當(dāng)媒質(zhì)2為導(dǎo)體時(shí)，由靜電場(chǎng)條件D2必然為零。若媒質(zhì)147

由于靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，將這一結(jié)論應(yīng)用于穿越媒質(zhì)分界面的矩形閉合路徑abcda，如圖所示。3.5.2電場(chǎng)強(qiáng)度E的切向分量電場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條件

由于靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，將這一結(jié)論應(yīng)用于穿越媒質(zhì)分界面的48圖中，ab和cd的長(zhǎng)度為Δl，ab的方向?yàn)閍t，閉合路徑所包圍的矩形平面的方向?yàn)閟，bc和da的長(zhǎng)度為h，分界面的法線方向n由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1，顯然有s×n=at。當(dāng)h→0時(shí)bc和da對(duì)積分的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)，因此有所以at·(E1-E2)=0或E1t=E2t上式表明，分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量總是連的。故又可以寫成(s×n)·(E1-E2)=0由矢量恒等式(A×B)·C=A·(B×C)

圖中，ab和cd的長(zhǎng)度為Δl，ab的方向?yàn)閍t，閉合49

因此，分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量形式的表達(dá)式為

n×(E1-E2)=0根據(jù)電位函數(shù)的形式有

φ1=φ2

該式表明，兩種不同媒質(zhì)的分界面上電位是連續(xù)的。因此，分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量形式的表達(dá)式為50

設(shè)分界面兩側(cè)的電場(chǎng)與法線n的夾角分別為θ1和θ2，如圖所示，則可以得到，ε1E1cosθ1=ε2E2cosθ2

E1

sinθ1=E2

sinθ2

將兩式相除得，3.5.3分界面上電場(chǎng)的方向該式表明，在兩種不同介質(zhì)的分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度E和電通量密度D一定會(huì)改變方向，只有當(dāng)θ1或θ2等于零時(shí)，分界面上的電場(chǎng)方向才不改變，像平行板、同軸線和同心球中的電場(chǎng)就是這種情況。

設(shè)分界面兩側(cè)的電場(chǎng)與法線n的夾角分別為θ1和θ2，如圖51平行板電容器

平行板電容器52例

圖3-19所示平行板電容器的長(zhǎng)和寬分別為a和b，板間距離為d，電容器的一半厚度(0-d/2)用介電常數(shù)為ε的玻璃填充，另一半為空氣。若板上外加電壓為U0:(1)分別求出有介質(zhì)填充(0-d/2)區(qū)域和無填充(d/2-d)區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度;(2)板上及分界面上的自由面電荷密度、束縛電荷密度;(3)電容器的電容量;(4)若玻璃的相對(duì)介電常數(shù)εr=7，絕緣強(qiáng)度為60kV/cm，空氣的絕緣強(qiáng)度為30kV/cm，板間距離為d=0.5cm，當(dāng)兩極板間接電壓為10kV時(shí)電容器是否會(huì)擊穿？例圖3-19所示平行板電容器的長(zhǎng)和寬分別為a和b，板間距53例如圖3-20所示的無限大平板電容器一半為空氣，另一半為介電常數(shù)ε=6ε0的介質(zhì)。設(shè)電容器外加電壓為U0，板間距離為d，試求空氣和介質(zhì)中的電通量密度的比值。平板電容器

例如圖3-20所示的無限大平板電容器一半為空氣，另一半為介電543.6恒

定

電

場(chǎng)

設(shè)空間分布的電荷在電場(chǎng)作用下作定向運(yùn)動(dòng)，則該體積空間中就存在電流。任取一個(gè)面積S，如果在Δt時(shí)間內(nèi)穿過S的電量為Δq，則電流的大小定義為3.6.1電流與電流密度3.6恒定電場(chǎng)設(shè)空間分布的電荷在電場(chǎng)作用55體電流密度

假定體電荷密度為ρV的電荷以速度v沿某方向運(yùn)動(dòng)，如左圖所示。設(shè)在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一面積元ΔS，若流過ΔS的電流為ΔI，則定義矢量

J的大小為

體電流密度假定體電荷密度為ρV的電荷以速度v沿某方向56

J的方向規(guī)定為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，單位為A/m2。矢量J稱為電流密度矢量(CurrentDensityVector)。因?yàn)樗枋鲭娏髟隗w積空間中流動(dòng)的情況，一般稱之為體電流密度。顯然，電荷流動(dòng)的空間是一個(gè)電流密度矢量場(chǎng)，場(chǎng)中任意面積上通過的電流量為該式表明，電流密度J與電流I的關(guān)系是一個(gè)矢量場(chǎng)與它的通量的關(guān)系；或者說電流是電流密度矢量場(chǎng)的通量。

J的方向規(guī)定為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，單位為A/m2。矢57電流密度矢量與電荷密度的關(guān)系。設(shè)體電荷密度ρV在Δt時(shí)間內(nèi)流過的距離為Δl，如下圖所示，圓柱形體積內(nèi)總的電荷為Δq=ρVΔlΔS，而Δq在Δt時(shí)間內(nèi)全部通過面積ΔS，故穿過面積ΔS的電流為式中，v為電荷流動(dòng)的速度。由電流密度的定義得J=ρVv將上式寫成矢量表達(dá)式為J=ρVv其表明，體電流密度的大小正比于體電荷密度與其運(yùn)動(dòng)速度的乘積，電流密度的方向就是電荷運(yùn)動(dòng)的方向。

電流密度矢量與電荷密度的關(guān)系。設(shè)體電荷密度ρV在Δt58面電流密度

如果電流只分布于導(dǎo)電媒質(zhì)的表面，可以用面電流密度來描述，如右圖所示。在垂直于電荷流動(dòng)的方向上取一線元Δl，若流過線元Δl的電流為ΔI，則定義面電流密度矢量（CurrentArealDensityVector）JS的大小為面電流密度如果電流只分布于導(dǎo)電媒質(zhì)的表面，可以用面電59

JS的方向仍為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，單位為A/m（安/米）。同樣可得面電流密度與電荷密度的關(guān)系為JS=ρSv

面電流與體電流概念的區(qū)別：面電流是在厚度為零的表面上流動(dòng)的電流，其所占體積為零，這實(shí)際上是一種抽象的概念；體電流密度是分布于體積內(nèi)的有限值，在厚度為零的表面上流過的電流只能為零，否則將會(huì)得到體電流密度為無窮大的后果。JS的方向仍為正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，單位為A/m（安/米）60

根據(jù)電荷守恒定律，電荷既不能產(chǎn)生，也不能被消滅，它們只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，因此從任意閉合面S流出的電流應(yīng)等于由S所包圍的體積V中單位時(shí)間內(nèi)電荷減少的數(shù)量，即稱該式為電流連續(xù)性方程的積分形式。應(yīng)用散度定理，又可改寫為3.6.2恒定電場(chǎng)的基本方程由于所考察的體積是任意的，因而有

根據(jù)電荷守恒定律，電荷既不能產(chǎn)生，也不能被消滅，它61稱上式為連續(xù)性方程的微分形式，它表明電荷密度ρV隨時(shí)間變化的點(diǎn)為體電流密度J的源點(diǎn)。對(duì)于流過恒定電流（直流）的導(dǎo)電媒質(zhì)，其中電荷密度不隨時(shí)間變化，此時(shí)電流連續(xù)性方程簡(jiǎn)化為

上述兩式分別表明，通過任一閉合曲面的凈恒定電流為零，導(dǎo)電媒質(zhì)通過恒定電流時(shí)，其內(nèi)部電流密度是無散或連續(xù)的。由于電流恒定時(shí)，電荷分布ρV不隨時(shí)間變化，所以恒定電場(chǎng)必定與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)具有相同的性質(zhì)，即它也是保守場(chǎng)，或者說恒定電場(chǎng)沿任一閉合路徑的積分等于零，即稱上式為連續(xù)性方程的微分形式，它表明電荷密度ρV隨時(shí)62

▽×E=0(或E=-▽?duì)?

實(shí)驗(yàn)證明,在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度有如下關(guān)系:J=σE

式中，σ為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率(Conductivity)，其單位是S/m也稱上式為歐姆定律的微分形式(DifferentialFormofOhm'sLaw)，它表明電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，對(duì)于線性媒質(zhì)J與E的方向相同。

▽×E=0(或E=-▽?duì)?實(shí)驗(yàn)63當(dāng)電流密度J已知時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為將上式與E點(diǎn)積，得導(dǎo)體內(nèi)單位體積內(nèi)的功率損耗為稱之為焦耳定律(Joule'sLaw)的微分形式。綜上所述，恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式和微分形式分別為當(dāng)電流密度J已知時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為將上式與E點(diǎn)積，得導(dǎo)64

無線電儀器設(shè)備或電氣裝置常需要接地。所謂接地，就是將金屬導(dǎo)體埋入地內(nèi)，而將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接，稱埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)稱為接地體或接地電極。電流由電極流向大地時(shí)所遇到的電阻稱為接地電阻。當(dāng)遠(yuǎn)離電極時(shí)，電流流過的面積很大，而在接地電極附近，電流流過的面積很小，或者說電極附近電流密度最大。接地電阻主要集中在電極附近，如下圖所示。

3.6.3接地電阻無線電儀器設(shè)備或電氣裝置常需要接地。所謂接地，就是將金65接地電阻接地電阻66

參照?qǐng)D，設(shè)經(jīng)引線由O點(diǎn)流入半球形電極的電流為I，則距球心為r處的地中任一點(diǎn)的電流密度為相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

由于電流沿徑向一直流出去，直至無窮遠(yuǎn)處，電流在大地中的電壓為參照?qǐng)D，設(shè)經(jīng)引線由O點(diǎn)流入半球形電極的電流為I，則距球67

例一個(gè)半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面與地面重合，如下圖所示。已知土壤的導(dǎo)電率σ=10-2S/m。求：(1)接地電阻；(2)若有短路電流100A流入地中，某人正以0.5m米的步距向接地點(diǎn)前進(jìn)，前腳距半球中心點(diǎn)的距離為2m，求此人的跨步電壓及土壤的損耗功率。例一個(gè)半徑為10cm的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面68接地電阻及跨步電壓

接地電阻及跨步電壓69

電場(chǎng)是驅(qū)使電荷運(yùn)動(dòng)不可缺少的。以金屬為例，金屬中質(zhì)量較大的正離子，在晶格(CrystalLattice)中的正常位置是相對(duì)固定的，無助于形成電流。因此金屬中的電流是自由電子在電場(chǎng)作用下逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)形成的（等效為正電荷沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，如圖所示）。

3.6.4電動(dòng)勢(shì)導(dǎo)電回路中的電場(chǎng)

電場(chǎng)是驅(qū)使電荷運(yùn)動(dòng)不可缺少的。以金屬為例，金屬中質(zhì)量較70

電流是靜電力與非靜電力共同作用的結(jié)果，于是，包含電源的歐姆定律的微分形式為即含電源的閉合回路中的總電場(chǎng)為E+E′，若回路中有恒定電流I且是均勻分布的，則相應(yīng)的總功率為定義電流是靜電力與非靜電力共同作用的結(jié)果，于是，包含電源的71假設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)是均勻的，導(dǎo)電率σ為常數(shù)，由基本方程▽·J=0，可得▽·E=0，乘以導(dǎo)電媒質(zhì)的介電常數(shù)ε，得

▽·D=0

假設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)是均勻的，導(dǎo)電率σ為常數(shù)，由基本方程▽·J=0，72根據(jù)恒定電場(chǎng)基本方程，用與靜電場(chǎng)的邊界條件相似的推導(dǎo)可得：在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，電流密度矢量J的法向分量和電場(chǎng)強(qiáng)度E的切向分量均連續(xù)。上述邊界條件也可用下述兩圖表示。

3.6.5邊界條件根據(jù)恒定電場(chǎng)基本方程，用與靜電場(chǎng)的邊界條件相似的推導(dǎo)73電流密度的邊界條件電流密度的邊界條件74恒定電場(chǎng)的邊界條件

恒定電場(chǎng)的邊界條件75

J1n=J2n

E1t=E2t

將上述邊界條件用電位函數(shù)表示為

從而可得

76

如在導(dǎo)電率為σ1和σ2的兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上下式子成立聯(lián)立以上兩式得

如在導(dǎo)電率為σ1和σ2的兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上下式子成立77

例如右圖所示的兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，分界面半徑為b，外導(dǎo)體半徑為c；兩層介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1和ε2，漏電導(dǎo)率為σ1和σ2。當(dāng)外加電壓為U時(shí)，計(jì)算介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度，分界面上的自由面電荷密度及單位長(zhǎng)度的電容及漏電導(dǎo)。兩層介質(zhì)的同軸線

例如右圖所示的兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸的圓78第23.24學(xué)時(shí)

3.7靜電場(chǎng)邊值問題

在以上各節(jié)中，主要討論了電荷分布已知的情況下求無界空間的靜電場(chǎng)問題。然而，實(shí)際中還會(huì)遇到在給定邊界條件下求有界空間的靜電場(chǎng)和電源外恒定電場(chǎng)的問題，這類問題通稱為邊界值問題(BoundaryValueProblem)。邊值問題可以歸結(jié)為三類：（1）已知場(chǎng)域邊界面S上各點(diǎn)電位的值，即給定φ|S=f1(S)稱為第一類邊界條件或“狄利克萊”條件。（2）已知場(chǎng)域邊界面S上各點(diǎn)電位法向?qū)?shù)的值，即給定返回第23.24學(xué)時(shí)

3.7靜電場(chǎng)邊值問題