集合的概念（導(dǎo)學(xué)案）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過實(shí)例了解集合的含義．(難點(diǎn))2、掌握集合中元素的三個特性．(重點(diǎn))3、掌握元素與集合的關(guān)系，并能用符號表示4、記住常用數(shù)集及其記法．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一．元素與集合的相關(guān)概念1.元素：一般地，把統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母表示．2.集合：一些組成的總體，簡稱，常用大寫拉丁字母表示．3.集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．1.研究對象a，b，c…2.元素集A，B，C…3.一樣4.確定性互異性無序性注意：(1)確定性：集合元素必須是確定的。不能確定的對象不能組成集合。(2)互異性：給定一個集合，集合中的元素一定是不同的。若相同的對象歸入同一個集合時，只能算集合中的一個元素。(3)無序性：集合中的元素可以任意排列，與次序無關(guān)。二．元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說，記作.2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說，記作.1.a屬于集合Aa∈A2.a不屬于集合Aa?A三．常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR四．列舉法把集合的元素出來，并用括起來表示集合的方法叫做列舉法．一一列舉花括號“{}”思考1：列舉法的特點(diǎn)有哪些?集合中的元素一目了然，適合表示元素較少的集合.[問題1]如何表示方程x23x+2=0的所有解組成的集合?[問題2]關(guān)于x的方程(x1)(xa)=0有幾個解?它的所有解組成的集合如何表示?[問題3]1與｛1｝是否具有相同的意義?[問題4]能否用列舉法來表示無限集?五、描述法（1）定義：用集合所含元素的表示集合的方法稱為描述法．（2）具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的及，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的.（1）共同特征（2）一般符號取值(或變化)范圍共同特征思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2){x|x>1}與{y|y>1}是不是相同的集合？(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5.(2)相同，只是代表元素的符號不同，但是元素相同.．思考3：描述法的特點(diǎn)有哪些?運(yùn)算的規(guī)律與性質(zhì)能清楚地表示出來，適合表示無限集或元素較多的集合.語言簡潔、抽象.注意：(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合{x∈R|x<1}不能寫成{x<1}.(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi).例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)花括號內(nèi)，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.(3)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時可以省略不寫.例如，方程x2－2x＋1＝0的實(shí)數(shù)解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】一、單選題1．下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（

）A．某班視力較好的同學(xué) B．長壽的人C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)集合的定義分析判斷即可.【詳解】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于C，的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和1，故可以構(gòu)成集合；故選：D.，則集合中元素的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)，所以可取，即可得解.【詳解】由集合，，根據(jù)，所以，所以中元素的個數(shù)是3.故選：C3．由，，可組成含個元素的集合，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可求解.【詳解】由元素的互異性可得，解得且且.故選：C.4．給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；【詳解】是實(shí)數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯誤；－3是整數(shù)，③錯誤；－是無理數(shù)，④正確.所以正確的個數(shù)為2.故選：B.二、多選題5．已知集合，，則為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系，集合元素的互異性來求得的值.【詳解】依題意，當(dāng)時，或，若，則，符合題意；若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.當(dāng)時，或，若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.若，則，符合題意.綜上所述，的值為或.故選：BC6．下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B．QC．－3∈N D．∈Z【答案】AB【分析】根據(jù)常見數(shù)集的范圍,直接判斷.【詳解】根據(jù)常見數(shù)集的范圍：，故A正確；不是有理數(shù)，所以Q.故B正確；N為自然數(shù)集合，所以－3N.故C錯誤；為無限不循環(huán)小數(shù)，所以.故D錯誤.故選：AB三、填空題7．已知集合，若集合A中只有一個元素，則實(shí)數(shù)a的取值的集合是______【答案】【分析】分和兩種情況保證方程只有一個解或重根，求出a的值即可．【詳解】當(dāng)時，只有一個解，則集合有且只有一個元素，符合題意；當(dāng)時，若集合A中只有一個元素，則一元二次方程有二重根，即，即綜上，或，故實(shí)數(shù)a的取值的集合為故答案為：8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用符號“”和“”填空：（1）______N；

（2）1______；

（3）______R；（4）______；

（5）______N；

（6）0______．【答案】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.【詳解】由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.四、解答題9．用列舉法表示下列集合：(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合；(2)方程組的解集．【答案】(1){紅色，黃色}；(2).【分析】利用集合的列舉法的概念即得.(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合用列舉法表示為{紅色，黃色}；(2)由，解得，故方程組的解集為.10．用描述法表示下列集合：(1)奇數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合．【答案】(1)；(2).【分析】利用集合的描述法即得.(1)奇數(shù)組成的集合為；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合為.11．設(shè)集合，集合，這里是某個正數(shù)，且，求集合．【答案】B＝{0，7，3，1}．【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得，解得或.因?yàn)椋?當(dāng)時，B＝{0，7，3，1}.故集合B＝{0，7，3，1}．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單選題1．已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【分析】依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以或，解得或或，?dāng)時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時滿足條件；故選：A2．方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出方程的解，再根據(jù)集合的表示方法判斷即可；【詳解】解：由，解得或，所以方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為；故選：C二、填空題A包含3和－1兩個元素，集合B包含和－1兩個元素，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】3或1解析：由題意，或m=1.故答案為：3或1.4．（2022秋?石景山區(qū)期末）設(shè)P為非空實(shí)數(shù)集且滿足：對任意給定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運(yùn)集．有以下結(jié)論：①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}為幸運(yùn)集；②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運(yùn)集；③若集合P1，P2為幸運(yùn)集，則P1∪P2為幸運(yùn)集；④若集合P為幸運(yùn)集，則一定有0∈P．其中正確結(jié)論的序號是②④．【分析】直接利用幸運(yùn)集的定義和賦值法判定①②③④四個結(jié)論．【解答】解：P為非空實(shí)數(shù)集滿足：對任意給定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運(yùn)集．對于①，由于﹣2﹣2＝﹣4?A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不為幸運(yùn)集，故①錯誤；對于②，設(shè)x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運(yùn)集，故②正確；對于③，若集合P1、P2為幸運(yùn)集，設(shè)P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}為幸運(yùn)集，但是P1∪P2不為幸運(yùn)集，故③錯誤；對于④，若集合P為幸運(yùn)集，取x＝y(tǒng)，x﹣y＝0∈P，則一定有0∈P，故④正確．故答案為：②④．【點(diǎn)評】本題考查集合的新定義，注意運(yùn)用賦值法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．三、解答題5.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)組成的集合D．5.解：(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有，用列舉法表示：；(2)所有正奇數(shù)有無數(shù)個，用描述法表示：；(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)，用描述法表示：．6.用列舉法表示如圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合；6.解：題圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合可表示為.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】.(1)若A是空集，求的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；（2）對分情況討論，分別求出符合題意的