第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省惠州市惠城區(qū)惠臺學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把點(diǎn)P(?2,4)沿xA.(?1,4) B.(?2.下列不等式中不一定成立的是(

)A.若x>y，則?x<?y B.若x>y，則x2>y23.若分式2aba+b中的a、b的值同時擴(kuò)大到原來的A.不變 B.是原來的3倍 C.是原來的6倍 D.是原來的9倍4.已知一次函數(shù)y=?x+A.y的值隨x的值增大而增大 B.圖象經(jīng)過第一、二、三象限

C.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(0,2) D.5.小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先活動學(xué)具成為圖1所示菱形，并測得∠B=60°，對角線AC=20cm，接著活動學(xué)具成為圖A.20cm B.30cm C.6.為計(jì)算某樣本數(shù)據(jù)的方差，列出如下算式S2=(2A.樣本容量是4 B.樣本的平均數(shù)是4 C.樣本的眾數(shù)是3 D.樣本的中位數(shù)是37.若4x2?(k+A.±6 B.±12 C.?13或11 D.8.關(guān)于x的不等式組6?3x<02x≤A.a=10 B.10≤a<129.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1)，B(3,1)A.?1≤b≤1

B.?110.如圖，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上連接EF、A.①②③ B.①③ C.①二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.因式分解：3a2?2712.如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3和y=?x+b的圖象交于點(diǎn)P

13.如圖，已知長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B

14.若關(guān)于x的方程kx+1+3x15.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點(diǎn)，P是線段EF的中點(diǎn)，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H為垂足，連接GH.三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題10.0分)

(1)解方程：x2?2x?2417.(本小題7.0分)

先化簡，再求值：(2m+1m18.(本小題7.0分)

如圖，已知△ABC中，AB=BC，

(1)用直尺和圓規(guī)在邊AC上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等.(保留作圖痕跡，不要求寫作法19.(本小題9.0分)

某超市計(jì)劃購進(jìn)甲，乙兩種商品進(jìn)行銷售.經(jīng)了解，甲種商品的進(jìn)價比乙種商品的進(jìn)價高50%，超市用1500元購進(jìn)甲種商品比用2000元購進(jìn)乙種商品的重量少50千克，已知超市對甲，乙兩種商品的售價分別為45元/千克和30元/千克．

(1)求甲，乙兩種商品的進(jìn)價分別是多少？

(2)若超市購進(jìn)這兩種商品共45020.(本小題9.0分)

如圖，直線y=?2x+7與x軸、y軸分別相交于直C、B.與直線y=32x相交于點(diǎn)A．

(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果在y軸上存在一點(diǎn)P，使△OAP是以O(shè)21.(本小題9.0分)

我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的3倍的三角形叫做非凡三角形.例如：某三角形三邊長分別是3，2和3，因?yàn)?3)2+32=12=3×22，所以這個三角形是非凡三角形．

(1)若△ABC是非凡三角形，且AB=3，22.(本小題12.0分)

【方法回顧】連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線，探索三角形中位線的性質(zhì)，方法如下：如圖1，D、E分別是AB、AC中點(diǎn)，延長DE到F，使EF=DE，連接CF；

(1)證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到線段DE與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為______、______．

(2)【初步運(yùn)用】如圖2，正方形ABCD中，E為邊AD中點(diǎn)，G、F分別在邊AB、CD上，且AG=2，DF=3，∠GEF=23.(本小題12.0分)

已知，如圖①，在?ABCD中，∠A=90°，AB=BC=45，點(diǎn)E為CD上的一動點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H，以CH為腰作等腰直角△HCG，∠HCG=90°，連接答案和解析1.【答案】A

【解析】解：將點(diǎn)P(?2,4)向右平移1個單位長度，得到點(diǎn)′(?12.【答案】B

【解析】解：A、在不等式x>y的兩邊同時乘?1，不等號的方向改變，即?x<?y，原變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)0>x>y時，則x2>y2不成立，故本選項(xiàng)符合題意．

C、在不等式x<y的兩邊同時除以3，不等號的方向不變，原變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意．

D、在不等式x+m<y+m的兩邊同時減去m，不等號的方向不變，原變形正確，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：B3.【答案】B

【解析】解：原式=2×3a×3b3a4.【答案】C

【解析】解：A、由于一次函數(shù)y=?x+2的k=?1<0，所以y的值隨x的值增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、一次函數(shù)y=?x+2的k=?1<0，b=2>0，所以該函數(shù)過一、二、四象限，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、將(0,2)代入y=?5.【答案】D

【解析】解：如圖1，圖2中，連接AC．

圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=20cm，

在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴A6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)方差算式s2=(2?x?)2+2(3?x?)2+(7?x?)2n可得，這組數(shù)據(jù)有2，3，3，7共4個，

因此樣本容量為4，樣本眾數(shù)為3，

中位數(shù)是3+37.【答案】C

【解析】解：∵4x2?(k+1)x+9能用完全平方公式因式分解，

∴k+1=±12，8.【答案】B

【解析】解：由6?3x<0得：x>2，

由2x≤a得：x≤a2，

∵不等式組恰好有3個整數(shù)解，

∴不等式組的整數(shù)解為3、4、5，

∴5≤9.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

將A(1,1)，B(3,1)，C(2,2)的坐標(biāo)分別代入直線y=12x+b中求得b的值，即可得到b的取值范圍．

【解答】

解：直線y=12x+b經(jīng)過點(diǎn)B時，將B(3,1)代入直線y=12x+b中，可得32+b10.【答案】C

【解析】解：①∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=FD，

∵在?ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD/?/BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=12∠BCD，故此選項(xiàng)正確；

延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB/?/CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點(diǎn)，

∴AF11.【答案】3(【解析】解：3a2?27

=3(a2?9)

=12.【答案】x>【解析】解：當(dāng)x>2時，kx+3>?x+b，

即不等式kx+3>?x+b的解集為x>2．

故答案為x>2．

觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>2時，函數(shù)y=kx13.【答案】6c【解析】【分析】

此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理．注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．

根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．

【解答】

解：∵將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，

∴BE=ED，

∵AD=9cm=AE14.【答案】?3或?【解析】解：方程兩邊都乘(x+1)(x?1)得：k(x?1)+3(x+1)=7，

∴kx?k+3x+3=7，

∴(k+3)x=k+4，

當(dāng)k+3=0時，方程無解；

當(dāng)k+3≠0時，x=k+4k+3，

∵15.【答案】7

【解析】【分析】

連接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AP=3，然后證四邊形PGCH是矩形，得GH=CP，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時，CP最小=AC?AP=10?3=7，即可求解．

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理以及最短路徑問題等．正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

【解答】

解：連接AC、AP、CP，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD16.【答案】解：(1)x2?2x?24=0，

則(x?6)(x+4)【解析】(1)利用因式分解法解出方程；

(217.【答案】解：(2m+1m?1)÷m2?1m

=【解析】先對分式通分、因式分解、約分等化簡，化成最簡分式，后代入求值．

本題考查了分式的化簡求值，運(yùn)用因式分解，通分，約分等技巧化簡是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：(1)如圖，點(diǎn)P即為所求；

(2)證明：∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

由(【解析】(1)作AB的垂直平分線即可找到點(diǎn)P；

(2)根據(jù)已知條件和線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠CBP=90°19.【答案】解：(1)設(shè)乙種商品的進(jìn)價為x元，則甲種商品的進(jìn)價為(1+50%)x元，根據(jù)題意得，

1500(1+50%)x=2000x?50，

解得x=20，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的根，

∴(1+50%)×20=30元，

答：甲商品的進(jìn)價為30元，乙商品的進(jìn)價為20元；

(2)設(shè)購進(jìn)乙商品a千克，甲商品(450?【解析】(1)設(shè)乙種商品的進(jìn)價為x元，則甲種商品的進(jìn)價為(1+50%)x元，根據(jù)“用1500元購進(jìn)甲種商品比用2000元購進(jìn)乙種商品的重量少50千克”得到等量關(guān)系，列出分式方程，解方程即可．

(2)設(shè)購進(jìn)乙商品a千克，甲商品20.【答案】解：(1)聯(lián)立方程組得：y=?2x+7y=32x，

解得：x=2y=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3)；

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(0,y)，

∵△OAP是以O(shè)A為底邊的等腰三角形，

∴OP=PA，

∴22+(3?y)2=y2，

解得y=136，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是(0,136)，

故答案為(0,136)；

(3)存在；

∵直線y=?2x+7與x軸、y軸分別相交于直C、B．

∴C(72,0)，B(0,7)，

∴S△AOC=12×72×3=214<6，S△【解析】(1)聯(lián)立方程組，即可求得；

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(0,y)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；

(3)分兩種情況：①當(dāng)Q點(diǎn)在線段AB上：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，則QD=x，根據(jù)S△OBQ21.【答案】15【解析】解：(1)∵AB=3，BC=6，

∴3<AC<9，

又∵△ABC是非凡三角形，

∴AB2+BC2=3AC2，或AB2+AC2=3BC2，或AC2+BC2=3AB2(不存在舍去)

∴AC=32+623=15或AC=108?9=311(不符合題意舍去)，

故答案為：15；

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO=12BD22.【答案】DE/?【解析】解：(1)DE//BC，DE=12BC．

如圖1，在△ABC中，延長DE(D、E分別是AB、AC的中點(diǎn))到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF，

在△ADE和△CFE中，

AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF

∴△ADE≌△CFE(SAS)，

∴AD=CF，∠A=∠ECF，

∴AD/?/CF，

∵AD=BD，

∴BD=CF，

∵BD/?/CF，

∴四邊形DBCF是平行四邊形，

∴DE/?/BC，DF=BC，

∴DE=12DF=12BC．

(2)如圖2，延長GE、FD交于點(diǎn)H，