2021-2022學年江蘇省南京市浦口區(qū)江浦高級中學高一（下）期

中數(shù)學試卷

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.sin70cos370-sin830sin37°的值為()

A.-近B.--D.近

c.—

2222

2.設(shè)2=年-，則|z|=（）

l+2i

A.2B.73C.&D.1

3.已知W=（1，1），b=（羽1），"a-L(Z+E),則犬=()

A.-1B.1C.3D.-3

4.隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)上購物幾乎成為了人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?，這也使得

快遞行業(yè)市場規(guī)模呈現(xiàn)出爆發(fā)式的增長.浦口區(qū)的張先生計劃在住的小區(qū)內(nèi)開一家菜鳥

驛站，為了確定驛站規(guī)模的大小，他統(tǒng)計了隔壁小區(qū)的菜鳥驛站和快寶驛站一周的日收

件量（單位：件），得到折線圖如下，則下列說法不正確的是（）

?英

25C'

鳥

2X亮

站

1M

快

.寶

IX

驛

站

m期一m期二三期三m期三星掂六=

A.菜鳥驛站一周的日收件量的極差小于快寶驛站一周的日收件量的極差

B.菜鳥驛站星期三的日收件量小于快寶驛站星期六的日收件量

C.菜鳥驛站日收件量的平均值大于快寶驛站的日收件量的平均值

D.菜鳥驛站和快寶驛站的日收件量的方差分別記為s；，s%則

5.在△A8C中，a=百，b=l,NB=30°,則/A=（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

6.已知sin則sin（2。+■/-）的值是（）

A.—B.C.-J-D._2?

9999

7.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括

一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱

為“圭”）.當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長

的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)北京的地理位置

設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即/ABC）為26.5°,夏至正午

太陽高度角（即NACC）為73.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）

為“，則表高（即AC的長）為（）

Aasin530

'2sin47°

Dn.-2-s-i-n-4-7-°--

asin53

ratan26.5°tan73.5°

tan47°

nasin26.5°sin73.5°

'sin47°

8.若函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x€R,都有/(x-1)=/(x+l),且當xe[O,

1]時，f(x)=2*-1,若函數(shù)g(x)=/(x)-log?(x+2)(a>l)在區(qū)間(-1,3)

恰有3個不同的零點，則實數(shù)”的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（3,5）C.（3,5]D.（1,5]

二、選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

（多選）9.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,原點為O,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確

的是（）

A.若|z|=l,貝ljz=±l或z=±i

B.若2=料-2>貝Ijz的虛部為-2i

C.若點Z的坐標為（-1,/）,則對應(yīng)的點在第三象限

D.若l4|z|《加，則點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為7T

（多選）10.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,以下說法中正確的是（）

A.若A>B,則sinAAsinB

B.若。=4,b=5,c=6,則△ABC為鈍角三角形

C.若。cosA=bcos3,則△A3C一定是等腰三角形

D.若a=5,b=10,A』兀；，則符合條件的三角形不存在

4

（多選）11.若不共線向量之、E滿足1二IEI，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.向量胃、芯的夾角恒為銳角

B.2r

C.|2b|>|a-2b|

D.12KEi

（多選）12.在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,已知a=28cosB,且

bWc,則（）

A.A=2B

B.角8的取值范圍是（0,子JT）

C.cosA的取值范圍是（0,]■）

D.包的取值范圍是（、歷，愿）

b

三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)無1,X2,…，x〃的方差為0.01,則數(shù)據(jù)lOxi+1,10尤2+1,…的

方差為.

TT

14.已知Z是單位向量，Z與三的夾角是—「，且G+%I=J7，則陰=.

O

15.在菱形ABCD中，A吟71，AB=2,P為菱形ABCD所在平面內(nèi)的一點，則

（江-標）?（玩+而）的最小值為-

16.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x4)+l.當x€［圣，塔＜時，關(guān)于x的方程［/COF

-(2，〃+1)/(x)+，〃2+m=0恰有三個不同的實數(shù)根，則，〃的取值范圍是.

四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.若復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,當實數(shù)/n為何值時

(1)z是實數(shù)；

(2)z是純虛數(shù)；

(3)z對應(yīng)的點在第二象限.

18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知acosC+ccosA=26cos8.

(1)求角B的大小；

(2)b=2,求△ABC周長的取值范圍.

19.南京市某報社發(fā)起過建黨100周年主題征文活動，報社收到了來自社會各界的大量文章，

打算從眾多文章中選取60篇文章以專欄形式在報紙上發(fā)表，其參賽作者年齡集中在“5,

65］之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，作出頻率分布直方圖如圖：

(1)求頻率分布直方圖中，"的值；

(2)為了展示不同年齡作者心中的黨的形象，報社按照分層抽樣的方法，從這60篇文

章中抽出20篇文章，并邀請相應(yīng)作者參加座談會.求從年齡在［15,35)的作者中選出

參加座談會的人數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，求這60位作者年齡的樣本平均數(shù)彳(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的

中點值作代表)和80百分位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù)).

20.如圖，在邊長為4的正△ABC中，E為AB的中點，。為BC中點，標=3而，令族=

a，AC=b-

(1)試用Z、E表示向量而；

(2)延長線段EF交4c于P,求而.而的值.

A

21.如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島8與小島A、小島。相距都

為5nmiIe,與小島。相距為次尺rmile-/BAO為鈍角，且sinA^.

5

(1)求小島4與小島。之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；

(2)記NBDC為a,NCBD為0,求sin(2a+p)的值.

22.已知平面向量之=(1,x),1=(|x2-1|,x+k),函數(shù)/(x)=；?1,xeR.

(1)若％=1,求方程/(x)=0的實數(shù)解；

(2)若/(X)在(0,2)上有兩個零點xi、X2,求實數(shù)々的取值范圍，并證明：

X1x2

<4.

參考答案

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.sin7°cos37°-sin83°sin37"的值為（）

A.-近B.--C.—D.近

2222

【分析】利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得

解.

解：sin7°cos37°-sin83°sin370

=sin7°cos37°-cos7°sin37°

=sin（7°-37°）

=sin（-30°）

=-sin30°

=1

一'2'

故選：B.

【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三

角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)2=嵩-，則團=（）

A.2B.百C.近D.1

【分析】直接利用復(fù)數(shù)商的模等于模的商求解.

解.由z—3-i-|3-iI3-i|片

解.由z.，得11+2,1|1+2,「五川2.

故選：C.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

3.己知（1,1）,E=（x，1），~^-L（彳+E），則工=（）

A.-1B.1C.3D.-3

【分析】可求出Z+E=（X+1,2），然后根據(jù)（彳+^）即可得出；?金+芯）=0,然后

進行數(shù)量積的坐標運算即可求出X的值.

解：?a+b=(x+1,2)?a=(1>1),且a_L(a+b),

-*-a*(a+b)=x+l+2=0>解得x=-3.

故選：D.

【點評】本題考查了向量坐標的數(shù)量積運算，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

4.隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)上購物幾乎成為了人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠郑@也使得

快遞行業(yè)市場規(guī)模呈現(xiàn)出爆發(fā)式的增長.浦口區(qū)的張先生計劃在住的小區(qū)內(nèi)開一家菜鳥

驛站，為了確定驛站規(guī)模的大小，他統(tǒng)計了隔壁小區(qū)的菜鳥驛站和快寶驛站一周的日收

件量(單位：件)，得到折線圖如下，則下列說法不正確的是()

英

鳥

凝

站

快

寶

驛

站

三期三三期匚3第三

A.菜鳥驛站一周的日收件量的極差小于快寶驛站一周的日收件量的極差

B.菜鳥驛站星期三的日收件量小于快寶驛站星期六的日收件量

C.菜鳥驛站日收件量的平均值大于快寶驛站的日收件量的平均值

D.菜鳥驛站和快寶驛站的日收件量的方差分別記為［，S?，則

【分析】利用極差定義判斷A;利用折線圖判斷B；利用平均數(shù)公式判斷C；利用方差公

式判斷O.

解：對于4,菜鳥驛站一周的日收件量的極差為：200-130=70,

快寶驛站一周的日收件量的極差為160-40=120,

二菜鳥驛站一周的日收件量的極差小于快寶驛站一周的日收件量的極差，故A正確；

對于5,菜鳥驛站星期三的日收件量為130,快寶驛站星期六的日收件量為160,

菜鳥驛站星期三的日收件量小于快寶驛站星期六的日收件量，故B正確；

對于C,菜鳥驛站日收件量的平均值為：—(160+200+130+150+160+190+180)=U也,

77

寶驛站的日收件量的平均值為：4(50+120+80+40+120+160+120)=粵，

77

.?.菜鳥驛站日收件量的平均值大于快寶驛站的日收件量的平均值，故C正確;

對于菜鳥驛站和快寶驛站的日收件量的方差分別記為sj，S2-

S?=—[2(160-口亞)2+(200-坦必2+(130-Ui上)2+(150-生上)2+(180

177777

_1170_)2+(190-3)21=24800

7749)

2222

g2=A(3X(120-+(50-+(80-+(160-+(40-

2777777

_79000

721一"49-1

，S；〈S會故。錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.在△ABC中，a=百，b=l,ZB=30°,則NA=()

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)，大邊對大角以及正弦定理，即可解出.

解：由可得A>2,

有正弦定理可知，

sinAsinB

即

sinksin30

，sinA=乂二，

2

Ae(30°,180°),

：.A=60°或A=120°,

故選：C.

【點評】本題考查了解三角形，正弦定理，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

兀1

6.已知sinGy-a)則sin(2a■H23-)的值是()

1o

272c_7_2V2

9,3~T~

【分析】利用角的變換將所要求解的角轉(zhuǎn)化為已知的角表示，再利用二倍角公式求解即

可.

解設(shè)

與-a=t,2agm-2t,sin(2aW)=sin$-2t)=cos2t=l-2sin2tq

?1.4NJ.4Ny

故選：A.

【點評】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，主要考查了二倍角公式的運用，解決此

類問題的關(guān)鍵是將要求的角轉(zhuǎn)化為己知的角表示，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，

屬于中檔題.

7.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括

一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱

為“圭”）.當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長

的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)北京的地理位置

設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即NABC）為26.5°,夏至正午

太陽高度角（BPZADC）為73.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）

為“，則表高（即AC的長）為（）

圖1圖2

Aasin530

,2sin470

2sin47°

Dn.----------------T-

asin53

ratan26.5°tan73.50

tan47°

nasin26.5°sin73.5°

sin470

【分析】先求出NBA。，然后利用正弦定理求出AD,再在△ADC中，求出AC.

解：由題可知：ZBAD=73.5Q-26.5°=47°,

B

在△54。中，由正弦定理可知：.PDAn=-；-^-―即sin：7。=sin2弋5。

sinZBADsinZABD

則AD=asin2，，

sin47

又在△AC。中，黑?二sinNADC二sin73.5°，

AD

所以人。asin26,5°sin73.5°

sin470

故選：D.

【點評】本題考查了解三角形，考查了學生數(shù)學建模思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意X6R,都有f(x-1)=/(x+l),且當xe［O,

1］時，/(工)=2V-1,若函數(shù)g(x)=f(x)-log?(x+2)(a>1)在區(qū)間(-1,3)

恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,3)B.(3,5)C.(3,5］D.(1,5J

【分析】本題先要根據(jù)分析出函數(shù)在［-1,OJ上的表達式，以及/CO是以2為周期的周

期函數(shù).然后畫出函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,3)上的大致圖象，再根據(jù)圖象得出兩個臨

界的對數(shù)函數(shù)曲線，分別計算出a的值，即可得到實數(shù)a的取值范圍.

解：由題意，令尤［-1,0］,則-友［0,1J,

f(-X)=2x-1=(A)x-i=/J).

(y)x_l>-l4x<0

(x)

2X-1,0<x<l

:對任意xeR,都有/(x-1)=/(x+l),

令f=x-l,則x=r+l,/(力=/(r+2),

?V(x)是以2為周期的周期函數(shù).

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,3)上的大致圖象如下:

???函數(shù)g(x)=f(x)-logu(x+2)(a>l)在區(qū)間(-1,3)恰有3個不同的零點，

；.y=/(x)的圖象與y=log“(x+2)(41)在區(qū)間(-1,3)恰有3個不同的交點.

根據(jù)圖，當y=log“(x+2)經(jīng)過點(1,1)時，有兩個交點，

此時log”(1+2)=f(1)=1,解得a=3.

當y=log“(x+2)經(jīng)過點(3,1)時，有4個交點，

此時log”(3+2)~f(3)=1,解得a=5.

...當3<aW5時，恰有3個不同的交點，

即函數(shù)g(x)=f(x)-log?(x+2)(6Z>1)在區(qū)間(-1,3)恰有3個不同的零點.

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

對數(shù)的基本計算能力.本題屬中檔題.

二、選擇題。本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。

(多選)9.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,原點為O,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確

的是()

A.若|z|=l,則2=±1或z=±i

B.若z/-2i，則z的虛部為-2i

C.若點Z的坐標為(-1,/),則W對應(yīng)的點在第三象限

D.若l<|z|《&，則點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為TT

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷AZ)；由復(fù)數(shù)的基本概念判斷BC.

解：由|z|=l,可得z=a+歷(a,/?eR),且。2+按=1,故A錯誤；

若Z=-2「則z的虛部為-2,故8錯誤；

若點Z的坐標為(-1,/),則與對應(yīng)的點的坐標為(-1,-1),在第三象限，故C

正確；

若Iz|<V2-則點z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為兀X(、歷)2-兀X12=兀，

故。正確.

故選：CD.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

(多選)10.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,以下說法中正確的是()

A.若A>3,則sinA>sinB

B.若〃=4,b=5,c=6,則△ABC為鈍角三角形

C.若acosA=bcosBf則△ABC一定是等腰三角形

jr

D.若a=5,b=10,A--,則符合條件的三角形不存在

4

【分析】由三角形中大邊對大角結(jié)合正弦定理判斷A；利用余弦定理求得cosC判斷脫

由正弦定理化邊為角判斷C；利用正弦定理及正弦函數(shù)的有界性判斷D.

解：對于A,A>B<^a>b,又一.---=—；---,/.sinA>sinB,故A正確；

sinAsinB

222

對于8,若。=4,b=5,c=6,則cosC=4.J§二.-」■>（）,最大角為銳角，則AABC

2X4X58

為銳角三角形，故8錯誤；

對于C,若acosA=Z?cos8,貝ijsin4cosA=sin8cos8,即sin2A=sin28,

???2A=28或2A+2B=ir,即A=8或4+8=方，則△ABC是等腰三角形或直角三角形,

故C錯誤；

TT

對于。，若a=5,b=10,A=^,由正弦定理得，sin8=b,sinA>1,

符合條件的三角形不存在，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題.

（多選）11.若不共線向量之、石滿足|a-b|=|bI-則下列結(jié)論中正確的是（）

A.向量彳、4的夾角恒為銳角

B-2|m<示

C.|2b|>|a-2b|

D.|2al<|2a-bl

【分析】根據(jù)向量的減法及等腰三角形可判斷4根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律，結(jié)合等

腰三角形的性質(zhì)可判斷BCD.

解：對于A,因為不共線向量Z、三滿足|=|EI，所以由向量；、與、W-E組成

的三角形是等腰三角形，

且向量Z是底邊，所以向量；，E的夾角恒為銳角，A正確；

對于8，21bl2<a'b=|a||b|cos<a,b>o2|b|<|a|cos<a,b>，

:|b|+|a-b|=2|b|>|a|>|a|cos{a,b〉，所以8不正確；

對于C,

12bl>|a-2bl04|b|?〉|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos<Ca,b)+4|b|2

即41al,|b|cosC,b〉>|a|%故41blcosG，b〉>|a|，

T7-?2——

乂a-2a*b=0,

?e?2|b|cos（a,b〉=|aI，?'?4|b|cosC,b〉>|a|，故C正確；

對于D，若|2a|<|2a-b|‘類似C中,平方后化簡可得

41alCQS<a,b><|b>

所以有81ble0$2<a,b><|b1即8cos?<a,b〉<L

而8cos2<W,E><1不一定成立,

例如<；,所以。不正確.

故選：AC.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬于中檔題.

（多選）12.在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知a=26cos8,且

b￥c,則（）

A.A=2B

jr

B.角B的取值范圍是（0,個）

C.cosA的取值范圍是（0,￡）

D.包的取值范圍是（&,我）

b

【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用判斷A、3、C、。的結(jié)論.

解：因為a=2bcosB,所以sinA=2sinBcosB=sin2B,

所以A=2B或A+2B=TT.

因為AWc,所以8WC,

所以A+2B7A+B+C=n,則A=2B,故A正確.

因為4+B+C=TT,所以C=7T-A-B=TT-3B.

因為AABC是銳角三角形，

0<A<^-

所以40<B<￡，

0<C<-y

0<2B<^-

即《0<B<4，解得?<B<g

264

0<n-3B<^

所以工六<cosB

利用正弦定理：A=sinA=sin2B=2cQsBg（亞，、行），故p錯誤，。正確.

bsinBsino

TTTP

因為A=23,所以:—

所以0<cosA</,則以正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查

學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,%的方差為0.01,則數(shù)據(jù)lOxi+1,10x2+1,…，10x,,+l的

方差為1.

【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X"的方差為52,對應(yīng)數(shù)據(jù)61+〃，0X2+6,…，axn+b

的方差為。2s2,計算即可.

解：因為樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X”的方差為0.01,

所以數(shù)據(jù)10羽+1,10X2+1,…，10x“+l的方差為102X0.01=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了樣本數(shù)據(jù)方差的定義與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14.已知Z是單位向量，Z與三的夾角是3，且口+三1=近，則8=2.

【分析】把|a+bI坊的兩邊同時平方，化簡即得.

TT

解：???■；是單位向量，w與E的夾角是g，

0

由l^+bI=V7'得a2+2；『+g2=7,

?,?1+2X|bIXy+|bI=7>

所以|b|2+|b|-6=0-

???尼1=2或lbI=-3(舍去)?

故答案為：2.

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.在菱形ABCD中，A號，AB=2,P為菱形ABCD所在平面內(nèi)的一點，則

(AP-AD)?(BC+CP)的最小值為_il_-

【分析】建立直角坐標系，利用坐標運算化簡求值即可.

解：建立如圖所示直角坐標系，

則B(0,-1),D(0,1),P(x,y),

所以(AP-AD)?(BC+CP)^DP-BP

=(x,y-1)?(x,y+1)

=^2+>2-12-1,

【點評】本題考查了平面向量坐標表示及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知函數(shù)f(x)=2sin(2xW)+l?當x￡[%，喑?]時，關(guān)于x的方程網(wǎng)》)產(chǎn)

-(2，〃+l)f(x)+/+〃?=()恰有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是卜1,0].

【分析】令r=2x-匹?日旦L,1：兀],問題轉(zhuǎn)化為/(x)=h(Z)=2sinf+l與y=機，

366

y=，〃+l的交點個數(shù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域，討論m并判斷有2個交點情況下機的范

圍.

解功：由.「—「7兀，1號3兀5-r]，七有，=C2x-兀虧曰「5兀三，11兀I

izizo00

則/(x)=h(r)=2sinr+l,

而原方程可化為1/(x)-m]\f(x)-(加+1)]=0,可得/(尤)=m,或/(x)=m+1,

所以/(x)=次+1有一個實數(shù)解且/(x)=m有兩個不同的實數(shù)解或/(x)=加有一個

實數(shù)解且/(x)=帆+1有兩個不同的實數(shù)解.當mV-1或m>2時，f(x)=m無解，

不符合題意；當〃?=-1時，則m+1=0,，(冗)=機有一個實數(shù)解，f(x)=〃?+1有兩個

不同實數(shù)解，符合題意；當-IVmWO時，則0Vm+lW2,/(x)=能有兩個不同的實數(shù)

解，f(x)=m+1有一個實數(shù)解，符合題意；當0VnzW2時，則1V"?+1W3,f(x)=m

有一個實數(shù)解，/(x)=〃?+1至多有一個實數(shù)解，不符合題意.綜上所述，機的取值范圍

為：[-1,0].故答案為：[-1,0].

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬于中檔題.

四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.若復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,當實數(shù)〃?為何值時

(1)z是實數(shù)；

(2)z是純虛數(shù);

(3)z對應(yīng)的點在第二象限.

【分析】(1)令復(fù)數(shù)z的虛部為0,即可求解；

(2)令復(fù)數(shù)z的實部為0且虛部不為0,即可求解；

(3)根據(jù)第二象限點的符號特征，列出不等式，即可求出機的范圍.

解：(1)由題意可得：tn2-m-2=0,

解得：加=-1或2；

(2)由題意可得：m2+機-6=0,且m2_加_2W0,

*.m=2或-3,且機#-1且m#2,

；?m=-3；

、+fm2+m-6<C0

(3)由題意可得：<，

m-m-2>0

解得：-3VmV-1.

【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,己知〃cosC+ccos4=20cos3.

(1)求角8的大小；

(2)b=2,求△ABC周長的取值范圍.

【分析】(1)由已知等式結(jié)合正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,得到

cosB=p結(jié)合B的范圍且求得交B；

TT

(2)根據(jù)(1)中所求，B吟，又b=2,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得〃+cW4,

再由a+c>b=2,可得△ABC周長的取值范圍.

解：(1);acosC+ccosA=2/?cosB,

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=2sin^cos^,

/.sin(A+C)=sinB=2sinBcosB,

i兀

VsinB>0,cosb=—9得B=&:

乙o

jr

(2)根據(jù)(1)中所求，B—，又b=2,

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=(。+。)2-3。。=4,

貝IJ(?+c)2-4=3ac(3?C^)2，即a+c<4,

當且僅當a=c時取得等號，又tz+c>/?=2,...4<a+c+bW6,

△ABC周長的取值范圍為(4,6］.

【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理、余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，考查

運算求解能力，是中檔題.

19.南京市某報社發(fā)起過建黨100周年主題征文活動，報社收到了來自社會各界的大量文章,

打算從眾多文章中選取60篇文章以專欄形式在報紙上發(fā)表，其參賽作者年齡集中在［15,

65］之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，作出頻率分布直方圖如圖：

(1)求頻率分布直方圖中，"的值；

(2)為了展示不同年齡作者心中的黨的形象，報社按照分層抽樣的方法，從這60篇文

章中抽出20篇文章，并邀請相應(yīng)作者參加座談會.求從年齡在［15,35)的作者中選出

參加座談會的人數(shù)；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，求這60位作者年齡的樣本平均數(shù)彳(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的

中點值作代表)和80百分位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù)).

【分析】（1）頻率分布直方圖列方程，能求出m

（2）按分層抽樣抽出的20篇最佳文章的作者，利用分布抽樣能求出結(jié)果.

（3）利用頻率分布直方圖能求出樣本平均數(shù)和參賽作者年齡的第80百分位數(shù).

解：（1）頻率分布直方圖知：10X（0.01+0.015+m+0.03+0.01）=1,

二，〃=0.035.

（2）按分層抽樣抽出的20篇最佳文章的作者，

年齡落在［15,25）的有2人，

年齡落在［25,35）的有3人，共5人.

（3）樣本平均數(shù)7=20X0.1+30X0.15+40X0.35+50X0.3+60X0.1=41.歲，

參賽作者年齡的第80百分位數(shù)為45+10X=45+警=51.7.

【點評】本題考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)、面分位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

20.如圖，在邊長為4的正△ABC中，E為A8的中點，。為BC中點，屈=3下，令祈=

a，AC=b-

（1）試用W、芯表示向量而；

（2）延長線段E尸交AC于P,求而.市的值.

【分析】（1）利用三角形法則及向量的線性運算即可求解；

?1f1—

（2）利用向量的線性運算可知DP=VaJb，再利用向量的數(shù)量積即可求解.

解：（1）正=欣+正=+■定亭同4?（正+禰）

=-1AB吊工4-AB=?標年正崇本；

⑵設(shè)下=入瓦，xeco,1），

->—■■?i—■■??i—?—?

EP=EA+AP=EA+入AC謂AB+入AC=-ya+Xb，

由EF與而共線，可知存在《使得而二k而，即《aVb=k（總&+人b），

k1

k1-1-2丁°A

k1、一i，解得人』即即+M，

即(y-y)a+(y-^k)b=0-則，

--Xk=0

6

—?—?—?1—?Q—*1—^>Q—1—?I—?1-1—

DP=DC+CP^BC^AC^(BA+AC)-TAC=^AB^AC=^a^b.

■?.1—1—1—1—1—2]-"?]—―1—2

所以EF，DP=(?*aqb),(-ya-yb)=：,-a-+*7777afcb77Ta*b-zvb

6121224

_1-21-2Io1-2門

-----a-----b=—X4-----X4=2.

624624

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的計算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

21.如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島8與小島A、小島C相距都

為5nmile,與小島。相距為刻虧nmile-NB4力為鈍角，且式心陪

（1）求小島A與小島。之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；

(2)記/BOC為a,NCBD為B，求sin(2a+p)的值.

【分析】（1）由sinA求得cosA,在△ABZ）中，由余弦定理列式求得AO；再由A、B、

C、D四點共圓求解sinC與cosC,在△8OC中，由余弦定理解得C￡>,再求△ABD、△

BCO的面積，可得四個小島所形成的四邊形的面積；

（2）在△BQC中，由正弦定理得sina,求出cosa,再求出sin（a+p）與cos（a+））,

然后利用sin（2a+p）=sin[a+（a+0）],展開兩角和的正弦求解.

解：(1)VsinA=-1-,且A為鈍角，?,.cosA=-Ji.

在△A3。中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2AD'AB'cosA,

/.(3V5)2=AD2+52-2AD-5'(4)，WAD2+8AD-20=0,

5

解得：AD—3或A￡>=-10（舍去）.

小島A與小島。之間的距離為2nmile.

?.?A、B、C、。四點共圓，.'A與C互補，則sinC=E

5

4

cosC=cos(1800-A)=-cosA=-.

5

在△BCC中，由余弦定理得：C￡）2+CB2-2CD?CB?COSC=B￡>2,

CD2+52-2CD-5-^=(3V5)2，得CD2-8co-20=0,

5

解得CD=-2（舍去）或CD=10.

SwiiimAB