Chapter1

第^sgr一___z早dc.集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合的概念

第1課時(shí)集合的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義2理解集合中元素的特征.3.體會(huì)元素與集合的“屬

于"關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一元素與集合的概念

1.元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素（element）,常用小寫(xiě)的拉丁字母小b,c?…表示.

2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合（set）,（簡(jiǎn)稱(chēng)為集），常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,C…

表示.

3.集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的.

4.集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的.

思考我班所有的“追夢(mèng)人”能否構(gòu)成一個(gè)集合？

答案不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤白穳?mèng)人”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn).

知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系

1.屬于：如果。是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A,記作且.

2.不屬于：如果4不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合4,記作組4

知識(shí)點(diǎn)三常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)

數(shù)集非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N*ZQR

■思考辨析判斷正誤

1.組成集合的元素一定是數(shù).（X）

2.接近于0的數(shù)可以組成集合.（X）

3.分別由元素0,1和1,0組成的兩個(gè)集合是相等的.（V）

4.一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

'------------------------------------------------------------------------------V----------------

一、對(duì)集合的理解

例1(1)考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()

①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；

②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)：

③不小于3的自然數(shù)；

④截止到2019年1月1日，參加一帶一路的國(guó)家.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

答案B

解析①中“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，②③④中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，

故選B.

(2)下列說(shuō)法中，正確的有.(填序號(hào))

①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；

②集合M中有3個(gè)元素a,b,c,其中a,h,c是AABC的三邊長(zhǎng)，則△48C不可能是等腰

三角形；

③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)

集合.

答案②

解析①不正確.book的字母。有重復(fù)，共有3個(gè)不同字母，元素個(gè)數(shù)是3.

②正確.集合M中有3個(gè)元素a,b,c,所以a,b,c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不

相等，故不可能是等腰三角形.

③不正確.小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,123,4,5,6,7,8,9這10

個(gè)數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無(wú)關(guān).

反思感悟判斷一組對(duì)象是否為集合的三依據(jù)

(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合.

(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個(gè)數(shù).

(3)無(wú)序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順序

無(wú)關(guān).

二、元素與集合的關(guān)系

例2下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()

②一1壟N；顏莊R；@|-4|ez.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析①?；啦是無(wú)理數(shù)，.??虛?(?,故①錯(cuò)誤；②一14N,②正確；③???兀是實(shí)數(shù)，，兀CR,

故③錯(cuò)誤；④：|-4|=4是整數(shù)，.F-4|ez,故④正確.

反思感悟判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法

(1)直接法：集合中的元素是直接給出的.

(2)推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特

征即可.

跟蹤訓(xùn)練1給出下列說(shuō)法：

①R中最小的元素是0；

②若adZ,則一〃Z；

③若aCQ,bGN*,則a+6GQ.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析實(shí)數(shù)集中沒(méi)有最小的元素，故①不正確；對(duì)于②，若?€Z,則一。也是整數(shù)，故一aGZ,

所以②也不正確；只有③正確.

三、元素特性的應(yīng)用

例3已知集合4含有兩個(gè)元素。一3和2a—1,若一3G4,試求實(shí)數(shù)a的值.

解V-3SA,

—3=a—3或一3=2a—I,

若一3=4-3,

則a=0,

此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素一3,-I,符合題意；

若一3—2a—1,則“=—1,

此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素一4,-3,符合題意；

綜上所述，a=0或a=-1.

延伸探究

若將“一3WA”換成“adA”，求實(shí)數(shù)a的值.

解,/a^A,'.a=a—3或。=2a—1,

解得。=1,此時(shí)集合A中有兩個(gè)元素一2,1,

符合題意.

故所求a的值為I.

反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的步驟

跟蹤訓(xùn)練2已知集合A中含有兩個(gè)元素〃和。2,若則實(shí)數(shù).

答案T

解析若ISA,則4=1或屋=1,即〃=±1.

當(dāng)。=1時(shí)，a=a2,集合A中有一個(gè)元素，

??.1.

當(dāng)a=-i時(shí)，

集合A中含有兩個(gè)元素1,-1,符合互異性.

?\a=11.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1--------------------------------------%-------

1.下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是（）

A.一切很大的數(shù)

B.好心人

C.漂亮的小女孩

D.方程/-1=0的實(shí)數(shù)根

答案D

2.下列結(jié)論不正確的是（）

A.OGNB.啦在QC.06QD.8GZ

答案C

解析0是有理數(shù)，故0GQ,所以C錯(cuò)誤.

3.若以集合A的四個(gè)元素a,b,c,d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是（）

A.梯形B.平行四邊形

C.菱形D.矩形

答案A

解析由于4,b,C,d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等.

4.一個(gè)小書(shū)架上有十個(gè)不同品種的書(shū)各3本，那么由這個(gè)書(shū)架上的書(shū)組成的集合中含有

________個(gè)元素.

答案10

解析由集合元素的互異性知：集合中的元素必須是互不相同的（即沒(méi)有重復(fù)現(xiàn)象），相同的

元素在集合中只能算作一個(gè)，因此書(shū)架上的書(shū)組成的集合中有10個(gè)元素.

5.如果有一集合含有兩個(gè)元素：x,N-x,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

答案x#0,2

解析由集合元素的互異性可得9一萬(wàn)壬》，解得xN0,2.

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

（1）元素與集合的概念、元素與集合的關(guān)系.

（2）常用數(shù)集的表示.

（3）集合中元素的特性及應(yīng)用.

2.方法歸納：分類(lèi)討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視集合中元素的互異性.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

-----------------------------------------------------N------------------

1"基礎(chǔ)鞏固

1.以下各組對(duì)象不能組成集合的是（）

A.中國(guó)古代四大發(fā)明

B.地球上的小河流

C.方程7=0的實(shí)數(shù)解

D.周長(zhǎng)為10cm的三角形

答案B

解析因?yàn)闆](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)確定什么樣的河流稱(chēng)為小河流,故地球上的小河流不能組成集合.

2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（）

A.3.14B.-5C.1D.市

答案D

解析由題意知a應(yīng)為無(wú)理數(shù)，故?？梢詾橛?

3.有下列說(shuō)法：

①集合N中最小的數(shù)為1；②若一adN,則aWN；③若a^N,b@N,則a+〃的最小值為

2；④所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析N中最小的數(shù)為0,所以①錯(cuò)；由一（一2）GN,而一2在N可知②錯(cuò)；若6CN,

則。+力的最小值為0,所以③錯(cuò)；“小”的正數(shù)沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以④錯(cuò)，故選A.

4.給出下列關(guān)系：①1wR；（2）V5GQ;③-3CZ；其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析g是實(shí)數(shù),①正確；小是無(wú)理數(shù)，②錯(cuò)誤；一3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；一事是無(wú)理數(shù)，④

正確.故選B.

5.集合A中有三個(gè)元素2,3,4,集合8中有三個(gè)元素2,4,6,若x^A且式8,則x等于（）

A.2B.3C.4D.6

答案B

解析集合A中的元素3不在集合8中，且僅有這個(gè)元素符合題意.

6.下列說(shuō)法中：①集合N與集合N*是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素;

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素：④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正

確的有.

答案②④

解析因?yàn)榧螻*表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表

示實(shí)數(shù)集，所以①③中的說(shuō)法不正確，②④中的說(shuō)法正確.

7.已知集合A是由0,m,加2—3根+2三個(gè)元素構(gòu)成的集合，且2GA,則實(shí)數(shù)根=.

答案3

解析由題意知，加=2或,”2—3機(jī)+2=2,

解得機(jī)=2或，"=0或，"=3,經(jīng)驗(yàn)證，

當(dāng)根=0或根=2時(shí)，不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，

當(dāng)膽=3時(shí)，滿(mǎn)足題意，故加=3.

8.若由a,51組成的集合與由a2,〃+瓦0組成的集合相等，則〃2。19+按。19的值為.

答案-1

解析由已知可得4/W0,

因?yàn)閮杉舷嗟?，所以有?住a。

、〃+b=l,

f/?=0,仿=0,

所以?（舍）或

[u-19（ci——1,

經(jīng)檢驗(yàn)，a——1,b=0,滿(mǎn)足條件,

所以。2。19+〃019=一］

9.設(shè)A是由滿(mǎn)足不等式x<6的自然數(shù)組成的集合，若“GA且3“dA,求。的值.

解'：a^A且

a<6,

解得。<2.又〃WN,

3a<6,

?.a=0或1.

10.設(shè)xCR,集合A中含有三個(gè)元素3,x,x2—2x.

(1)求元素x應(yīng)滿(mǎn)足的條件；

(2)若一2dA,求實(shí)數(shù)x的值.

解(1)由集合元素的互異性可得xW3,%2—2x#x,且廣一2xW3,解得xW—1,xWO,且xW3.

(2)若一2?A,則x=-2或JC2—2x=-2.

由于方程x2-2v+2=0無(wú)實(shí)數(shù)解，所以x=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)，知x=-2符合互異性.故x=-2.

X綜合運(yùn)用

11.集合A中含有三個(gè)元素2,4,6,若adA,且6—aeA,那么a為()

A.2B.2或4C.4D.0

答案B

解析若a=2,則6-2=4J；

若。=4,則6-4=26A；

若a=6,則6—6=0辦，故選B.

12.己知x,y為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式占+己+苫的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是

RIiyi孫

()

A.-lewB.lewC.2GMD.3陣M

答案A

解析①當(dāng)x,y均為正數(shù)時(shí)，代數(shù)式a+己+咎的值為3；②當(dāng)x,y為一正一負(fù)時(shí)，代數(shù)

式三+已+苫的值為-1；③當(dāng)X，y均為負(fù)數(shù)時(shí),代數(shù)式三+已+告的值為-1,所以集合M

的元素有一1,3,故選A.

13.由〃2,2一見(jiàn)4組成一個(gè)集合A,且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值可以是()

A.1B.-2C.-1D.2

答案C

解析由題意知4#4,2—a#4,辟w2—a,解得aN±2,且aWl,結(jié)合選項(xiàng)知C正確，故選

C.

14.已知集合A中的元素滿(mǎn)足x=3A-l,k《Z,則一1______A，-34A.（填

或“住”）

答案仁W

解析當(dāng)4=0時(shí)，x=-1,所以一1WA；令-34=34—1,得/=-11,所以一34WA.

口拓廣探究

15.已知集合M有2個(gè)元素x,2—x,若一侔M,則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是.

①26M；②IdM；③xW3.

答案②

xW-1,

解析依題意,2r#—1,解得x#—1,且xW3,

—x.

當(dāng)x=2或2—x=2,即x=2或。時(shí)，M中的元素為0,2,故①可能正確；

當(dāng)x=l或2—x=l,即x=l時(shí)，M中兩元素為1』不滿(mǎn)足互異性，故②不正確，③顯然正確.

16.設(shè)集合A中的元素均為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足條件：若。右4則??！一6&所勺）.

求證：（1）若2GA,則A中必還有另外兩個(gè)元素；

（2）集合A不可能是單元素集.

證明（1）若“G4,則11一^4

又因?yàn)?CA,所以丁\=一164

1—2

因?yàn)橐籰eA,所以■；~；~~-=1sA.

1-（—1）2

因?yàn)樗浴甀=2CA.

]~2

所以A中另外兩個(gè)元素為一1,

（2）若A為單元素集，則。=丁匚，

1—a

即42-4+1=0,方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

所以所以集合A不可能是單元素集.

1—a

第2課時(shí)集合的表示

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語(yǔ)言的意義和作

用.2.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)息礎(chǔ)

--------------------------N-------

知識(shí)點(diǎn)一列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

知識(shí)點(diǎn)二描述法

一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共J她LP(x)的元素x所組成的集合表示為

｛xGA|P(x)｝,這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法.

思考不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征？

答案元素的共同特征為xGR,且x<5.

■思考辨析判斷正誤

1.由1』,2,3組成的集合可用列舉法表示為｛1,1,2,3｝.(X)

2.集合｛(1,2)｝中的元素是1和2.(X)

3.集合A=｛x僅-1=0｝與集合8=｛1｝表示同一個(gè)集合.(J)

4.｛4r>l｝與｛比>1｝是不同的集合.(X)

題型探究-----------探-究-重-點(diǎn)、-素-養(yǎng)-提-升

一、列舉法表示集合

例1用列舉法表示下列集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(2)方程N(yùn)=2X的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(3)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；

(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.

解(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非

負(fù)偶數(shù)集是｛0,2,4,6,8,10).

(2)方程f=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為｛0,2｝.

⑶將x=0代入y=2x+l,得y=l,即交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是｛(0,1)｝.

(4)正整數(shù)有1,2,3,…，所求集合為｛1,2,3,…｝.

反思感悟用列舉法表示集合應(yīng)注意的兩點(diǎn)

(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素；

(2)若集合中的元素是點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對(duì)用小括號(hào)括起來(lái)表示一個(gè)元素.

跟蹤訓(xùn)練1用列舉法表示下列給定的集合：

⑴大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；

(2)方程(一9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合B；

(3)一次函數(shù)y=x+2與y=-2x+5的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.

解(1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.

(2)方程9=0的實(shí)數(shù)根為一3,3,所以B={-3,3}.

[y=~x~\~2,x~~1,

⑶由，c」得o

[產(chǎn)一2%+5,(y=3,

所以一次函數(shù)y=x+2與y=—2x+5的交點(diǎn)為(1,3),所以。={(1,3)}.

二、描述法表示集合

例2用描述法表示下列集合：

(1)正偶數(shù)集；

(2)被3除余2的正整數(shù)集合；

(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合.

解(1)偶數(shù)可用式子x=2〃，“ez表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定"GN”,所以正偶數(shù)

集可表示為{中=2〃,"GN*}.

(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,〃GZ,但元素為正整數(shù)，故〃6N,所以被3除余2

的正整數(shù)集合可表示為{x|x=3〃+2,〃GN).

(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x,y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0,即到=0,故平面直角坐標(biāo)系

中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x,y)hy=0}.

反思感悟利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)

(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{xeRk<l}不能寫(xiě)成{x<l}.

(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi).例如，{x?Z|x=2燈，kQZ,這種表達(dá)方式就不符合

要求，需將也寫(xiě)進(jìn)花括號(hào)內(nèi)，即{xezk=2k,%ez}.

(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母.

(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫(xiě).例如，方程『

-2x+1=0的實(shí)數(shù)解集可表示為{xdR|x2—2x+l=0},也可寫(xiě)成HF—2x+l=0}.

跟蹤訓(xùn)練2下列三個(gè)集合：

①A={x|y=/+l}；

②8={九=/+1}；

③C={(x,)?)|>'=x2+l}.

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義分別是什么？

解(1)不相同.

(2)集合A={x|y=N+l}的代表元素是x,且xGR,所以{x|y=/+l}=R,即4=孫集合8

={)觸=/+1}的代表元素是丫，滿(mǎn)足條件了=/+1的y的取值范圍是所以{y|y=x2+

”={九2}.

集合C={(x,y)|y=N+l}的代表元素是(x,y),是滿(mǎn)足y=N+1的數(shù)對(duì).可以認(rèn)為集合C是

由坐標(biāo)平面內(nèi)滿(mǎn)足>=9+1的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的.

三、集合表示法的綜合應(yīng)用

例3集合An&lfcx2—8x+16=0},若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)%的值組成的集合.

解(1)當(dāng)k=0時(shí)，方程3一8x+16=0變?yōu)橐?x+16=0,解得x=2,滿(mǎn)足題意；

(2)當(dāng)ZWO時(shí)，要使集合人;⑶江2—8x+16=0}中只有一個(gè)元素，則方程立-8X+16=0有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以/=64—64憶=0,解得&=1,此時(shí)集合4={4},滿(mǎn)足題意.

綜上所述，%=0或%=1,故實(shí)數(shù)a的值組成的集合為{0,1}.

延伸探究

1.本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)A的值組成

的集合.

解由題意可知，方程Ax2—8x+16=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

故ZW0,且/=64—64心>0,即A<1,且kWO.

所以實(shí)數(shù)”組成的集合為{如1<1,且EWO}.

2.本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“至少有一個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)%的取

值范圍.

解由題意可知，方程區(qū)2—8x+16=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

①當(dāng)％=0時(shí)，由一8x+16=0得x=2,符合題意；

②當(dāng)ZWO時(shí)，要使方程依一8x+16=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則/=64—64420,即1,

且20.

綜合①②可知，實(shí)數(shù)上的取值范圍為{4&W1}.

反思感悟(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，

如例3集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的

個(gè)數(shù)問(wèn)題.

(2)在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

■----------------------------------------------------------%------------

1.用列舉法表示集合{#^-2%—3=0}為()

A.{-1,3}B.{(-1,3)}

C.{x=l}D.{3-2x-3=0}

答案A

2.一次函數(shù)y=x-3與>=一級(jí)的圖象的交點(diǎn)組成的集合是()

A.{1,-2}B.{x=l,y=~2}

C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}

答案D

3.設(shè)A={x6N|lWx<6},則下列正確的是()

A.6GAB.OCAC.3GAD.3.544

答案D

4.第一象限的點(diǎn)組成的集合可以表示為()

A.{(x,y)|xy>0}B.{(x,y)|xyeO}

C.{(x,y)|x>0且y>0}D.{(x,y)|x>0或)>0}

答案C

5.下列集合不等于由所有奇數(shù)構(gòu)成的集合的是()

A.{x|x=4Jt-l,JteZ)

B.(x\x=2k~l,kRZ]

C.{x|x=2A+l,kQZ]

D.{x[x=2k+3,ZCZ}

答案A

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)描述法表示集合的理解.

(2)用列舉法和描述法表示集合.

(3)兩種表示法的綜合應(yīng)用.

2.方法歸納：等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

-----------------------------------\------------

營(yíng)基礎(chǔ)鞏固

1.用列舉法表示集合{^^-2%+1=0}為()

A.{1,1}B.{1}

C.{x=l}D.{/-2x+l=0}

答案B

解析方程r-Zx+lnO有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解1,根據(jù)集合元素的互異性知B正確.

2.已知集合4=*僅（乂-1）=0},那么下列結(jié)論正確的是（）

A.OWAB.1陣AC.-IGAD.（WA

答案A

解析：A={xk（x-1）=0}={0,1},

.?.OJ.

3.如果4={9>一1},那么（）

A.~2￡AB.{0}CAC.~3^AD.O^A

答案D

解析vo>-l,故OWA,選D.

4.下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（）

A.{4r=l}B.{x|x2=l}

C.{1}D.{y[G，-1）2=0}

答案B

解析比乒=1}={-1,1},另外三個(gè)集合都是{I},故選B.

5.下列命題中正確的是（）

A.集合{xGRF=l}中有兩個(gè)元素

B.集合{0}中沒(méi)有元素

小}

D.{1,2}與{2,1}是不同的集合

答案A

解析{XGRIX2=1}={1,-1}；集合{0}是單元素集，有一個(gè)元素，這個(gè)元素是0;*卜<2小}

={xlx<V12},V13>VT2,回價(jià)x|x<25};根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知{1,2}與{2,1}是同一

個(gè)集合.

6.能被2整除的正整數(shù)的集合，用描述法可表示為.

答案{x\x=2n,"GN*}

解析正整數(shù)中所有的偶數(shù)均能被2整除.

7.已知集合4=32%+〃>0},且侔A,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案{a|aW—2}

解析Vl?{x|2x+d>0},

...2Xl+aW0,即aW—2.

8.已知一5晝{小2—辦一5=0},則集合{加2—4x—a=0}中所有元素之和為.

答案2

解析由-5G{Mx2一以一5=0},得（一5/一aX（—5）—5=0,所以a=—4,所以{xpt2—4x+

4=0}={2},所以集合中所有元素之和為2.

9.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

⑴一年中有31天的月份的全體；

(2)大于一3.5小于12.8的整數(shù)的全體；

(3)梯形的全體構(gòu)成的集合；

(4)所有能被3整除的數(shù)的集合；

(5)方程(x—l)(x—2)=0的解集：

(6)不等式2工一1>5的解集.

解(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3){“|〃是梯形}或{梯形}.

(4){木=3",nGZ}.

⑸{1,2}.

(6){x|x>3}.

10.已知集合4={a+3,(a+l)2,a2+2a+2),若1GA,求實(shí)數(shù)a的值.

解①若a+3=l,則a=-2,

此時(shí)A={1』,2},不符合集合中元素的互異性，舍去.

②若(a+l)2=1,則a=0或a=-2.

當(dāng)a=0時(shí)，A={3,1,2},滿(mǎn)足題意；

當(dāng)。=一2時(shí)，由①知不符合條件，故舍去.

③若/+2a+2=l,貝！]a=-1,

此時(shí)A={2,0,l},滿(mǎn)足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的值為-1或0.

X綜合運(yùn)用

11.設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a+b,a&A,b&B},則M中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析1,2,3與4,5分別相加可得5,6,6,778,根據(jù)集合中元素的互異性可得集合M中有4個(gè)

兀素?

12.已知A={1,2,3},2={2,4},定義集合A,8間的運(yùn)算4*B={x[xGA且廨B},則集合A*B

等于()

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}

答案C

解析因?yàn)閷儆诩?的元素是1,2,3,但2屬于集合B,所以A*B={1,3}.

13.已知集合4={-1,0,1},集合B={y|y=W，x&A},則B=.

答案（0,1）

解析"."xGA,.,.當(dāng)x=-1時(shí)，），=仇|=1；

當(dāng)x=0時(shí)，y=|x|=0；當(dāng)x=l時(shí)，y=|x|=l.

；.8={0,1}.

14.若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱(chēng)該數(shù)集為可倒數(shù)集，則集合A

={-1,1,2}（填“是”或“不是”）可倒數(shù)集.試寫(xiě)出一個(gè)含三個(gè)元素的可倒數(shù)集

.（答案不唯一）

答案不是“，2,多

解析由于2的倒數(shù);不在集合A中，故集合A不是可倒數(shù)集.若一個(gè)元素“GA,則!GA.

若集合中有三個(gè)元素，故必有一個(gè)元素a=\,即。=±1,故可取的集合有{1,2,斗，

{-1,3,9等.

天拓廣探究

15.設(shè)集合A={0,l,2},則集合8={x-y仇WA,yGA}中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.IB.3C.5D.9

答案C

解析因?yàn)锳={0,l,2},又集合8中元素為x—y且尤64,y^A,

所以x的可能取值為0,1,2；y的可能取值為0,1,2.

當(dāng)x=0時(shí)，y=0或1或2,

此時(shí)對(duì)應(yīng)的x-y的值為0,-1,-2.

當(dāng)x=l時(shí)，y—0或1或2,

此時(shí)對(duì)應(yīng)的x-y的值為1,0,-1.

當(dāng)x=2時(shí)，y=0或1或2,

此時(shí)對(duì)應(yīng)的x-y的值為2,1,0.

綜上可知，集合3={-2,-1,0,1,2）,

所以集合8中的元素的個(gè)數(shù)為5.

16.設(shè)集合j-.

（1）試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系；

（2）用列舉法表示集合B.

解（1）當(dāng)x=l時(shí)，普=2CN；

當(dāng)x=2時(shí)，百萬(wàn)=^N,

所以1CB,24B.

(2)因?yàn)橛蒀N,xGN,

所以2+x只能取2,3,6,

所以x只能取0,1,4,

所以8={0,1,4}.

1.2集合間的基本關(guān)系

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念2能用符號(hào)和Venn圖表達(dá)集合間

的關(guān)系3掌握列舉有限集的所有子集的方法.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)息礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一子集、真子集、集合相等

1.子集、真子集、集合相等

定義符號(hào)表示圖形表示

如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合BAQB

子集（^0）

中的元素，就稱(chēng)集合A是集合B的子集（或阻4）

如果集合AU8,但存在元素且行A_B

真子集

A，就稱(chēng)集合A是集合8的真子集（或B_A）

如果集合4的任何一個(gè)元素都是集合B的

集合相等元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集A=B

合A的元素，那么集合A與集合8相等

2.Venn圖

用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱(chēng)為Venn圖.

3.子集的性質(zhì)

(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集,即AUA.

(2)對(duì)于集合A,B,C,如果AUB,且8UC,那么4UC.

知識(shí)點(diǎn)二空集

1.定義:不含任何元素的集合叫做空集，記為鄉(xiāng)

2.規(guī)定：空集是任何集合的子集.

思考｛0｝與。相等嗎？

答案不相等.｛0｝表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素0；而。表示空集，其不含有

任何元素，故｛O｝W0.

-思考辨析判斷正誤

I.空集中不含任何元素，所以。不是集合.(X)

2.任何一個(gè)集合都有子集.(V)

3.若4=8,則AUB且8UA.(7)

4.空集是任何集合的真子集.(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

--------------------------%--------

一、集合間關(guān)系的判斷

例1(1)下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是()

①{0}40,1,2}；②{0,1,2)32,1,0}；③0c{0,1,2}；④。{0}；@{0,1}={(0,1)};?0={0}.

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析對(duì)于①，是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)為{0}{0,1,2)；對(duì)于②，實(shí)際為同一集合，任何一

個(gè)集合是它本身的子集；對(duì)于③，空集是任何集合的子集；對(duì)于④，{0}是含有單元素。的集

合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以。{0}；對(duì)于⑤，{0,1}是

含有兩個(gè)元素0與1的集合，而{(01)}是以有序?qū)崝?shù)對(duì)(0,1)為元素的單點(diǎn)集，所以{0,1}與{(0,1)}

不相等；對(duì)于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關(guān)系，所以06{0}.故②③?是正確的.

(2)指出下列各組集合之間的關(guān)系：

①A={-1,1},B={(—1,—1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

②加二“僅二？〃一1,"GN*},N={x[x=2n+\,〃GN*}.

解①集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系.

②方法一兩個(gè)集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于“CN*,因此集合〃含有元素“1”，

而集合N不含元素“1”，故NM.

方法二由列舉法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM.

反思感悟判斷集合間關(guān)系的方法

(1)用定義判斷

①任意xWA時(shí)，xGB,則AU2.

②當(dāng)AU8時(shí)，存在xGB,且超4,則AB.

③若既有AU8,又有BUA,則4=8.

(2)數(shù)形結(jié)合判斷

對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍.

跟蹤訓(xùn)練1能正確表示集合“={X￡因0?運(yùn)2}和集合N={xWRlx2一》=()}關(guān)系的Venn圖

是()

ABCD

答案B

解析/一x=0得x=l或x=0,故"={0,1},

易得NM,其對(duì)應(yīng)的Venn圖如選項(xiàng)B所示.

二、子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題

例2已知集合M滿(mǎn)足{1,2}例U{1,2,3,4,5},寫(xiě)出集合例所有的可能情況.

解由題意可以確定集合"必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個(gè)，因此依據(jù)集合

M的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)如下：

含有3個(gè)元素：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5)；

含有4個(gè)元素：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}；

含有5個(gè)元素：{1,2,3,4,5}.

故滿(mǎn)足條件的集合M為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5).

反思感悟公式法求有限集合的子集個(gè)數(shù)

(1)含"個(gè)元素的集合有2"個(gè)子集.

(2)含〃個(gè)元素的集合有(2"—1)個(gè)真子集.

(3)含〃個(gè)元素的集合有(2"-1)個(gè)非空子集.

(4)含n個(gè)元素的集合有(2"-2)個(gè)非空真子集.

跟蹤訓(xùn)練2已知集合A={x|0Wx<5,且xGN},則集合A的子集的個(gè)數(shù)為()

A.15B.16C.31D.32

答案D

解析A={0,1,2,3,4},含有5個(gè)元素的集合的子集的個(gè)數(shù)為25=32.

三、集合間關(guān)系的應(yīng)用

例3已知集合A={x|-2WxW5},8={x|〃?+11},若BA,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

解(1)當(dāng)時(shí)，如圖所示.

—2，"+12m-15

，"+1》一2,/?+1>—2,

<2w—1<5,或，2m-lW5,

.2/77—11.2m-11,

解這兩個(gè)不等式組，得2WmW3.

(2)當(dāng)8=。時(shí)，

由”?+得m<2.

綜上可得，，"的取值范圍是{詞，wW3}.

延伸探究

1.若本例條件"A={;v|-2WxW5}”改為“A={x|-2<x<5}"，其他條件不變，求加的取值

范圍.

解（1）當(dāng)8=0時(shí)，由機(jī)+1>2〃?-1,得加<2.

（2）當(dāng)時(shí)，如圖所示.

-2in+12m-15

一2,ni>一3,

2m—1<5解得jm<3,

、m+lW2機(jī)-1,jn22,

即2<利<3,

綜上可得，"7的取值范圍是{刑加<3}.

2.若本例條件“8A”改為“4之2’，其他條件不變，求機(jī)的取值范圍.

解當(dāng)4U8時(shí)，如圖所示，此時(shí)BWQ

w+l-252m-1x

2m—l>w+1,m>2,

，"+1W-2,mW-3,

”23,

；.m不存在.

即不存在實(shí)數(shù)，”使AUB.

反思感悟（1）利用數(shù)軸處理不等式表示的集合間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，可化抽象為直觀，要注意端

點(diǎn)值的取舍，“含”用實(shí)心點(diǎn)表示，“不含”用空心點(diǎn)表示.

（2）涉及到“AUB”或“A8且8/?！钡膯?wèn)題，一定要分A=0和兩種情況討論，不要

忽視空集的情況.

跟蹤訓(xùn)練3若集合A={x|l<x<2},B={x\x>a},滿(mǎn)足4B,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.{a|a22}B.{q|qWl}

C.D.{a|aW2}

答案B

解析如圖所示，AB,

所以aWl.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

-------------------------------------------------------------\------------------

1.下列四個(gè)集合中，是空集的是()

A.{0}B.{x|x>8,且x<5}

C.{xCN|f—1=0}D.{小>4}

答案B

解析選項(xiàng)A,C,D都含有元素，而選項(xiàng)B中無(wú)元素，故選B.

2.已知集合人={川一1-x<0},則下列各式正確的是()

A.OUAB.{0}GAC.0GAD.{0}UA

答案D

解析集合A={x|—1—x<0}={xg-1},所以0《A,{0}UA,0UA,D正確.

3.已知A={x|x是菱形},3={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},那么A,B,C之間

的關(guān)系是()

A.AQBQCB.8UAUC

C.ABUCD.A=BUC

答案B

解析集合A,B,C關(guān)系如圖.

4.已知集合4={-1,3,相},B={3,4},若8UA,則實(shí)數(shù).

答案4

解析-：BQA,

元素3,4必為4中元素,

??6=4.

5.已知集合4={工值》1或xW-2},B={xlxea},若8A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案心1

解析,:BA,

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)子集、真子集、空集、集合相等的^念及集合間關(guān)系的判斷.

(2)求子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

(3)由集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或范圍.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽略對(duì)集合是否為空集的討論，忽視是否能夠取到端點(diǎn).

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

----------------------------------N------------

X基礎(chǔ)鞏固

1.已知集合4={0,1},則下列式子錯(cuò)誤的是（）

A.OGAB.{1}GA

C.0GAD.{0,1}￡A

答案B

解析：{i}aA,，{l}eA錯(cuò)誤，其余均正確.

2.集合{1,2}的子集有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

答案A

解析集合{1,2}的子集有。，{1},{2},{1,2}共4個(gè).

3.下列表述正確的有（）

①空集沒(méi)有子集；

②任何集合都有至少兩個(gè)子集；

③空集是任何集合的真子集；

④若。A,則

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案B

解析。1。，故①錯(cuò)；。只有一個(gè)子集，即它本身.所以②錯(cuò)；空集是任何集合的子集，是任

何非空集合的真子集，所以③錯(cuò)；而④正確，故選B.

4.已知集合4={就：2-31+2=0,xGR},B={x\0<x<5,xWN},則滿(mǎn)足條件AUCU8的集

合C的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析由題意知:4={1,2},B={1,2,3,4}.又AUCUB,則集合C可能為{1,2},{1,2,3},

（1,2,4},{1,2,3,4）.

5.設(shè)集合A={x,>1）,8={0,%2）,若A=8,則2x+y等于（）

A.0B.1C.2D.-I

答案C

解析由A=B,得x=0或y=0.

當(dāng)x=0時(shí)，x2=0,此時(shí)B={0,0},不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)y=0時(shí)，x—x2,則x=0或x=l.

由上知x=0不合適，故y=0,x=l,

經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，則2x+y=2.

6.集合。和{0}的關(guān)系表示正確的有.(把正確的序號(hào)都填上)

①{0}=。；②{0}C。；③{0}=0;④。{0}.

答案④

解析。沒(méi)有任何元素，而{0}中有一個(gè)元素，顯然0#{0},又0是任何非空集合的真子集，故

有0{0J,所以④正確，①②③不正確.

7.集合A={x[l<x<6},B=[x\x<a],若AUB,則a的取值范圍為.

答案{a|aN6}

解析?.?A={x[l<r<6},B={x\x<a],由4UB,結(jié)合數(shù)軸可知a26.

I6ax

8.已知集合4={麻加+2%+°=0,aGR},若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的取值構(gòu)成

的集合為-

答案{0,1,-1)

解析因?yàn)榧螦有且僅有2個(gè)子集，所以A中僅有一個(gè)元素，

當(dāng)a=0時(shí)，方程化為2x=0,

方程只有一個(gè)根x=0,符合題意.

當(dāng)aWO時(shí)，方程af+2x+a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，J=22-4-a-a=0,

即(？=],，a=±l.此時(shí)4={-1}或A={1},符合題意..,.“=0或〃=±1.

9.已知集合人={。，y)|x+y=2,x,ySN},試寫(xiě)出A的所有子集.

解因?yàn)锳={(x,y)\x+y=2,x,y?N}.所以A={(0,2),(1,1),(2,0)).

所以A的子集有：0,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},

{(0,2),(1,1),(2,0)).

10.已知集合4={卻忘;<<2},B={x|l&Wa,a》l}.

(1)若AB,求。的取值范圍；

(2)若8UA,求a的取值范圍.

解⑴若AB,由圖可知，a>2.

AB________

012ax

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為囹。>2}.

⑵若BUA,由圖可知,l<a<2.

,BA_______

01a2x

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|lWaW2}.

營(yíng)綜合運(yùn)用

11.若集合4={小=2%+1,kGZ),B={x[x=合一1,&GZ},C={x|x=4k—1,%GZ},則

A,B,C的關(guān)系是()

A.CA—BB.AGCGB

C.A=BCD.BGAGC

答案A

解析,?,A={xk=2(Jt+l)-l,kez],B={4r=2k—1,keZ},C={x1x=2-2k~I,k^Z},

：.CA=B,故選A.

12.設(shè)集合M={{x,y)k+y<0,孫>0}和P={(x,y)pr<0,y<0),那么M與P的關(guān)系為.

答案M=P

解析因?yàn)閷O>0,所以x,y同號(hào)，又x+)<0,所以x<0,y<