三角形的中位線北師大版數(shù)學(xué)八年級下

學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）知道三角形中位線的概念，明確三角形中位線與中線的不同。（2）理解三角形中位線定理，并能運用它進行有關(guān)的論證和計算。下面給出了四邊形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比,其中能識別四邊形ABCD為平行四邊形的是(

).A.1:2:3:4

B.2:3:2:3

C.2:2:3:3

D.1:2:2:1B新知導(dǎo)入問題1：你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎?問題2：你能通過剪拼的方式，將一個三角形拼成一個與其面積相等的平行四邊形嗎？BCA新知講解BCAD··E·F小明是這樣做的：

（1）連接三角形每兩邊的中點，看上去就得到了四個全等的三角形連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線定義的兩層含義：（2）∵DE為△ABC的中位線，（1）∵D、E分別為AB、AC的中點，∴DE為△ABC的中位線．∴D、E分別為AB、AC的中點．猜想:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.已知:如圖,DE是△ABC的中位線.分析:要證明線段的倍分關(guān)系到,可將DE加倍后證明與BC相等.從而轉(zhuǎn)化為證明平行四邊形的對邊的關(guān)系,于是可作輔助線,利用全等三角形來證明相應(yīng)的邊相等.DEBCA求證:DE∥BC,DE=BC證明:如圖,延長DE至F,使EF=DE,連接CF.∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ABC≌△CDA(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴BD∥CF.∵AD=BD,∴BD=CF.DEBCAF∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,三角形中位線的性質(zhì)定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.這個定理提供了證明線段平行,和線段成倍分關(guān)系的根據(jù).∵DE是△ABC的中位,DEBCA幾何語言：∴DE∥BC,ED=BC利用定理“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”,可以證明小明分割出的四個小三角形全等.已知:如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點.求證:△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.BCADEF證明:∵D,E,F分別是△ABC各邊的中點.(三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半)∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).分析:利用三角形中位線性質(zhì),可轉(zhuǎn)化用(SSS)來證明三角形全等.如圖,四邊形ABCD四邊的中點分別為E,F,G,H,四邊形EFGH是怎樣四邊形?你的結(jié)論對所有的四邊形ABCD都成立嗎?猜想:四邊形EFGH是平行四邊形.這個結(jié)論對所有的四邊形ABCD都成立.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG已知:如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點.分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉(zhuǎn)化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點,∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.ABCHDEFG∴EF∥AC,EF=ACHG∥AC,HG=ACAMBCN變式1：如圖,MN為△ABC的中位線,若∠ABC=59°則∠AMN=

,

若MN=13,則BC=_______.

59°26變式2：如圖,已知△ABC中,AB=4㎝,BC=4.6㎝AC=6㎝且D,E,F分別為AB,BC,AC邊的中點,則△DEF的周長是

㎝.ABCDEF7.3課堂練習(xí)

變式3：如下圖：在Rt△ABC中，∠A=90°,D、E、F分別是各邊中點,AB=9cm，AC=12cm，則△DEF的周長=______cm。18EFBACD

變式4：如圖：工人師傅要把一塊三角形的鋼板，通過切割焊接成一個與其面積相等的平行四邊形．請你設(shè)計一種方案并在圖中標(biāo)出焊接線，然后證明你的結(jié)論．

沿中位線將三角形分割開，將得到的小三角形繞AC的中點旋轉(zhuǎn)180度再與梯形拼接即可，如圖所示：

ABCDEF在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點D，使AD=1/2AB，點E,F分別為BC,AC的中點，試說DF=BE理由。拓展提高解：∵點E,F分別為BC,AC的中點∴EF∥AB,EF=AB∴∠DAC=∠EFC=90°∵

AD=AB，∴AD=EF,∵

AF=CF,∴△ADF≌△FEC(SAS)∴DF=EC∵

BE=EC,∴DF=BE2121定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，

并且等于第三邊的一半.課堂總結(jié)必做題：課本P152隨堂練習(xí)1、2題選做題：課本P152習(xí)題6.6中1、2、3題課堂總結(jié)第六章平行四邊形三角形的中位線

情景引入四兄弟分土地問題：

在一塊考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的古巴比倫泥板上記載著這樣一個有趣的故事：在巴比倫兩河流域，有四位兄弟本來相安無事地生活著。直到一天他們父親的去世打破了這一份平靜，大家為了分割父親留下的一塊土地而爭論不休，誰都不想吃虧。土地為三角形形狀，請同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識設(shè)計方案幫助這四位兄弟解決矛盾，回歸平靜的生活，同時也要對自己設(shè)計的方法有所說明，來說服四兄弟停止?fàn)幷?情景引入問題：請問你們是如何進行分割的？分割線段是怎樣形成的？面積

相等的理由是什么？方案一方案二追問1：這兩種方案有什么相通之處？追問2：還有別的分割方案嗎？情景引入問題：請問你們是如何進行分割的？分割線段是怎樣形成的？面積

相等的理由是什么？方案三追問3：如何說明方案三中四個三角形全等？方案一方案二探索新知中位線概念：連接三角形兩邊中的線段叫做三角形的中位線.猜想：關(guān)系DE∥BC數(shù)量位置問題：根據(jù)剛才的操作你能發(fā)現(xiàn)中位線與底邊有關(guān)系？

即中位線DE和第三邊BC之間有怎么樣的關(guān)系？追問：如何證明？探索新知已知：在三角形ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的中點.

求證：DE∥BC，

.中位線倍長構(gòu)造全等三角形平行四邊形證明：如圖，延長DE到F，使EF=DE，連接CF.

在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF,AD=CF.∴CF∥AB.∵BD=AD,∴CF=BD.

∴四邊形DBCF是平行四邊形

（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴DF∥BC（平行四邊形的定義），

DF=BC（平行四邊形的對邊相等）.∴DE∥BC，

.探索新知已知：在三角形ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的中點.

求證：DE∥BC，

.鏈接古代數(shù)學(xué)——方法拓展

方法1方法2方法3幾何畫板演示鏈接古代數(shù)學(xué)——歐幾里得與三角形中位線定理得出定理現(xiàn)在你能證明方案三中的四個三角形全等了嗎？符號語言：在△ABC中

∵點D,E分別為AB，AC的中點，∴DE∥BC，

.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

三角形中位線定理應(yīng)用新知

1、如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點組成一個新四

邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？請證明你的結(jié)論.方法總結(jié)：連接兩點構(gòu)造中位線及應(yīng)用

應(yīng)用新知2、如圖，已知點M為△ABC的邊BC的中點，AB=12，AC=18，BD⊥AD

于點D，連接DM.(1)如圖1，若AD為∠BAC的角平分線，求DM的長，

（2）如圖2，若AD為∠BAC的外角平分線，求MD的長．方法總結(jié)：利用角平分線+垂直構(gòu)造中位線及應(yīng)用圖1圖2拓展提升1、如圖，在△ABC