中小學(xué)1對1課外輔導(dǎo)專家PAGE精銳教育網(wǎng)站：直線和平面位置關(guān)系——垂直作者：李忠華7-/NUMPAGES8空間直線和平面的位置關(guān)系引例:簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明：（1）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？（2）直線，直線，則和的位置關(guān)系如何？解：（1）；（2）.[說明]（1）引導(dǎo)學(xué)生掌握空間直線與平面的各種位置關(guān)系，學(xué)會各種位置關(guān)系的畫法與表示方法.注意立體幾何中，文字、符號語言與圖形直觀的互相轉(zhuǎn)化.（2）小結(jié)空間直線和平面的位置關(guān)系[說明]同時用圖形語言、符號語言、幾何語言表述這些位置關(guān)系.今天我們來探索空間直線和平面相交中的一種特殊位置關(guān)系——直線和平面垂直二、學(xué)習(xí)新課問題1：在日常生活中你見到最多的直線與平面垂直的情形是什么？請舉例說明.[說明]引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系等.問題2：結(jié)合對下列問題的思考，討論能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線和這個平面垂直呢？圖1ABCB’C’（1）如圖1，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽的移動，圖1ABCB’C’圖2AB（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B′圖2AB（3）如圖2，當(dāng)旗桿AB傾斜時，還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？定義：一般地，如果一條直線l與平面α上的任何直線都垂直，那么我們就說直線l與平面α垂直（lineperpendiculartoplaneα），記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線（perpendicularline），平面α叫做直線l的垂面．l與面α的交點(diǎn)叫做垂足.αlPαlP圖3辨析1：下列命題是否正確？為什么？（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直.（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線.[說明]通過問題辨析，加深概念的理解.由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思.而（2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法.引導(dǎo)學(xué)生給出命題（2）的符號表示：問題3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？如何改進(jìn)？[說明]感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學(xué)生探索判定定理的需要，體會有限與無限的辨證關(guān)系.DCBA圖4引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，可DCBA圖4實(shí)驗(yàn)：如圖4，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.問題4：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結(jié)論？[說明]通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕娥AD是BC邊上的高，即AD⊥BC時翻折后的折痕AD與桌面垂直.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征：AD是BC邊上的高時，無論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，同時CD、BD是兩相交直線不變，這就是說，當(dāng)AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線CD、BD時，它就垂直于桌面所在的平面.定理2：如果直線與平面上的兩條相交直線、都垂直，那么直線與平面垂直.用符號語言表示為：辨析2：（1）下列命題是否正確？為什么？如果一條直線與一個平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于平行四邊形所在的平面.圖5o（2）如圖5,若α內(nèi)兩條相交直線m、n與l無公共點(diǎn)且l⊥m、l⊥n，直線l還垂直平面α嗎？圖5o[說明]通過辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”.三、鞏固練習(xí)例1：如圖,觀察跨欄、跳高架，你認(rèn)為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么?[說明]用學(xué)習(xí)到的知識解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識，深化對直線與平面垂直定理的理解.ab\b圖6α例2：如圖6，已知a∥b，a⊥αab\b圖6α[說明]初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的定理與定義解決問題，明確運(yùn)用線面垂直定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件.讓學(xué)生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果給出了直線和平面垂直的又一個判定方法.圖7CDAB1BD1A1C1EF例3：（1）如圖7，在正方體ABCD-A1B圖7CDAB1BD1A1C1EF①AC⊥面CDD1C1②AA1⊥面A1B1C1③AC⊥面BDD1B1④EF⊥面BDD1B1⑤AC⊥BD1（2）將（1）中正方體改成長方體呢，以上結(jié)論是否正確？[說明]利用所學(xué)知識解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用.其中①是定義的應(yīng)用，②是定理的應(yīng)用，④是思考題2結(jié)論的應(yīng)用，③⑤是定理與定義的綜合應(yīng)用.四、應(yīng)用應(yīng)用之一是利用直線與平面垂直的定義、定理進(jìn)行一些簡單的推理，體會幾何推理證明的思考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性.我們繼續(xù)研究圖7例4:如圖7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，，連接，求證:[說明]要證線線垂直，可找線面垂直，反之亦然.即：直線與直線垂直直線與直線垂直直線與平面垂直這是立體幾何證明垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法.除此之外，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系通過計(jì)算找線線垂直，如勾股定理等，有時會利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線合一等等.應(yīng)用之二是利用直線與平面垂直的定義、定理解決一些度量問題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來探究距離的度量問題.問題5：你能舉例說明距離在日常生活中的重要性嗎？[說明]引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的需要測量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線離地面需要相當(dāng)?shù)木嚯x；為了購買家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗(yàn)探究距離的必要性，距離定義：（1）點(diǎn)和平面的距離：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，我們把點(diǎn)到垂足之間的距離叫做點(diǎn)和平面的距離.（2）直線和平面的距離：設(shè)直線平行于平面．在直線上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做直線和平面的距離.（3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做平面和平面的距離.（4）異面直線和的距離：設(shè)直線和是異面直線，當(dāng)點(diǎn)、分別在和上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時，我們把直線叫做異面直線和公垂線，，垂足、之間的距離叫做異面直線和的距離.[說明]立體幾何中，求距離的關(guān)鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，體現(xiàn)了“降維”的思想.我們繼續(xù)研究圖7圖7CDAB1BD1A1C1EF例5：如圖7,在長方體ABCD-A圖7CDAB1BD1A1C1EF（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的距離；（2）求點(diǎn)到棱的距離；（3）求棱和平面的距離；（4）求異面直線和的距離.[說明]求距離的基本步驟是作、證、算，此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過程的延續(xù).因此求距離的關(guān)鍵是直線與平面位置關(guān)系的論證.四、課堂小結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？（3）你會利用直線與平面垂直的定義和定理找到點(diǎn)、線、面的距離并計(jì)算嗎？五、作業(yè)布置1、點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD.題3ADCBA’B’C’D’2、探究題：如圖，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，題3ADCBA’B’C’D’3、課本P14練習(xí)P為⊙O所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥⊙O，PB與平面所成角為45（1）證明：BC⊥平面PAC；（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．[說明]通過訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識，檢測運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.其中第1題主要運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線與平面垂直的定義與判定定理.第3、4題是利用直線與平面垂直的定義與判定定理找到點(diǎn)、線、面的距離并計(jì)算.六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明空間直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是點(diǎn)、直線、平面和平面之間的距離以及直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一.在探索空間直線與平面垂直的定義及判定定理時，注意從具體實(shí)例出發(fā)，通過觀察、思考與討論，讓學(xué)生感悟“一條直線與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”是這條直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵.引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對兩條相交情形，通過折紙活動進(jìn)行討論，再通過辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的.所謂：“線不在多，相交則靈”.在這個過程中，用問題驅(qū)動課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、歸納、總結(jié)出相關(guān)概念，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，