考研數(shù)學(xué)一向量1.【單項(xiàng)選擇題】若α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性無關(guān)，則（）．A.α1可由α2，α3線性表（江南博哥）示B.α4可由α1，α2，α3線性表示C.α4可由α1，α3線性表示D.α4可由α1，α2線性表示正確答案：A參考解析：對(duì)于A：由a2，a3，a4線性無關(guān)，知a2，a3線性無關(guān)，而a1，a2，a3線性相關(guān)，故a1必能由a2，a3線性表示。對(duì)于B：若a4可由a1，a2，a3線性表示，而a1又能a2，a3線性表示，則a4就能由a2，a3線性表示，這與a2，a3，a4線性無關(guān)矛盾，故a4不能由a1，a2，a3線性表示，所以B不正確。同樣C，D也是錯(cuò)誤的。2.【單項(xiàng)選擇題】向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)等價(jià)于（）．A.存在一組不全為0的數(shù)，使其線性組合不為0B.存在一個(gè)向量不能由其他向量線性表示C.任何一個(gè)向量均不能由其他向量線性表示D.其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)正確答案：C參考解析：3.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量組(Ⅰ)β1，β2，…，βt，(Ⅱ)α1，α2，…，αs，則下列命題①若向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，且s<t，則必有(Ⅰ)線性相關(guān)，②若向量組(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示，且s<t，則必有(Ⅰ)線性相關(guān)，③若向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，且(Ⅰ)線性無關(guān)，則必有s≥t，④若向量組(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示，且(Ⅰ)線性無關(guān)，則必有s≥t，正確的是（）．A.①④B.①③C.②③D.②④正確答案：B參考解析：由結(jié)論“以少表多，多的相關(guān)”，命題①正確，而命題③是命題①的逆否命題，故命題①和命題③正確．如β1-α1+α2，β2-α1-α2，β3=α1+2α2，則β1，β2，β3必線性相關(guān)．3.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量組(Ⅰ)β1，β2，…，βt，(Ⅱ)α1，α2，…，αs，則下列命題①若向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，且s<t，則必有(Ⅰ)線性相關(guān)，②若向量組(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示，且s<t，則必有(Ⅰ)線性相關(guān)，③若向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，且(Ⅰ)線性無關(guān)，則必有s≥t，④若向量組(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示，且(Ⅰ)線性無關(guān)，則必有s≥t，正確的是（）．A.①④B.①③C.②③D.②④正確答案：B參考解析：由結(jié)論“以少表多，多的相關(guān)”，命題①正確，而命題③是命題①的逆否命題，故命題①和命題③正確．如β1-α1+α2，β2-α1-α2，β3=α1+2α2，則β1，β2，β3必線性相關(guān)．4.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T．α3=(c1，c2，c3)T，其中≠0(i=1，2，3)，則三條直線aix+biy+ci=0(i=1，2，3)恰好僅交于一點(diǎn)的充要條件是（）．A.r(α1，α2，α3)=3B.r(α1，α2，α3)=1C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)D.r(α1，α2，α3)=r((α1，α2)=2正確答案：D參考解析：三條直線交于一點(diǎn)，等價(jià)于有唯一的x，y滿足方程組

5.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)α1，α2，α3均為3維向量，則對(duì)任意常數(shù)k和μ，向量組α1+kα3，α2+μα3線性無關(guān)是向量組α1，α2，α3線性無關(guān)的（）．A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件正確答案：C參考解析：

6.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)三維列向量α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性無關(guān)，記(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A3×3，(γ1，γ2，γ3)=(α2，α3，α4)B3×3，則（）．A.存在矩陣A3×3，使得β1，β2，β3線性無關(guān)B.不存在矩陣A3×3，使得β1，β2，β3線性相關(guān)C.存在矩陣B3×3，使得γ1，γ2，γ3線性無關(guān)D.不存在矩陣B3×3，使得γ1，γ2，γ3線性相關(guān)正確答案：C參考解析：7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量α1，α2，α3滿足是k1α1+k2α2+k3α3=0，k1，k2，k3為常數(shù)，且k1k3≠0，則（）．A.α1與α3等價(jià)B.α1，α2與α1，α3等價(jià)C.α1，α2與α2，α3等價(jià)D.α1，α3與α2，α3等價(jià)正確答案：C參考解析：兩個(gè)向量組等價(jià)是指這兩個(gè)向量組可以互相線性表示．

8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)4維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，βi(i=1，2，3，4)為非零列向量，且βi與α1，α2，α3均正交，則r(β1，β2，β3，β4)=（）．A.1B.2C.3D.4正確答案：A參考解析：

9.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B均是m×n矩陣，則Ax=0與Bx=0同解的充要條件是（）．A.A，B的列向量組等價(jià)B.A，B的行向量組等價(jià)C.A，B是等價(jià)矩陣D.ATx=0與BTx=0同解正確答案：B參考解析：

10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T，α3=(c1，c2，c3)T，α4=(d1，d2，d3)T，則三個(gè)平面a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0,a3x+b3y+c3z+d3=0兩兩相交成三條平行直線的充分必要條件是（）．A.r(α1，α2，α3)=1，r(α1，α2，α3，α4)=2B.r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3，α4)=3C.在α1，α2，α3中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān)，且α4可由α1，α2，α3線性表示D.在α1，α2，α3中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān)，且α4不能由α1，α2，α3線性表示正確答案：D參考解析：

由三個(gè)平面兩兩相交，知方程組

11.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，下列命題中正確的是A.若向量組Ⅰ線性無關(guān)，則r≤s.B.若向量組Ⅰ線性相關(guān)，則r>s.C.若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則r≤s.D.若向量組Ⅱ線性相關(guān)，則r>s.正確答案：A參考解析：因向量組Ⅰ可由Ⅱ線性表示，故關(guān)于(D)的反例請(qǐng)同學(xué)自己構(gòu)造．12.【單項(xiàng)選擇題】如果向量組α1，α2，…，αs的秩為r則下列命題中正確的是A.向量組中任意r-1個(gè)向量都線性無關(guān)．B.向量組中任意r個(gè)向量都線性無關(guān)．C.向量組中任意r-1個(gè)向量都線性相關(guān)．D.向量組中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)．正確答案：D參考解析：13.【單項(xiàng)選擇題】若α1，α2，α3線性相關(guān)α2，α3，α4線性無關(guān)，則(??)．A.α1可由α2，α3線性表示B.α4可由α1，α2，α3線性表示C.α4可由α1，α3線性表示D.α4可由α1，α2線性表示正確答案：A參考解析：因?yàn)棣?，α3，α4線性無關(guān)，所以α2，α3線性無關(guān)，又因?yàn)棣?，α2，α3線性相關(guān)，所以α1可由α2，α3線性表示，選(A)．14.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2。且向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅰ)線性表示，則(??)．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩為r1+r2B.向量組α1-β1，α2-β2，…。Αs-βs的秩為r1-r2C.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r2D.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1正確答案：D參考解析：因?yàn)橄蛄拷Mβ1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表示，所以向量組α1，α2，…，αs與向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等價(jià)，所以選(D)．15.【單項(xiàng)選擇題】向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)的充要條件是(??)．A.α1，α2，…，αs都不是零向量B.α1，α2，…，αs中任意兩個(gè)向量不成比例C.α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示D.α1，α2，…，αs中有一個(gè)部分向量組線性無關(guān)正確答案：C參考解析：若向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則其中任一向量都不可由其余向量線性表示．反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs一定線性無關(guān)，因?yàn)槿籀?，α2，…，αs線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，故選(C)．16.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)α為n階矩陣，且|A|=0，則A()．A.必有一列元素全為零B.必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C.必有一列是其余列向量的線性組合D.任一列都是其余列向量的線性組合正確答案：C參考解析：因?yàn)閨A|=0，所以r(A)<n，從而A的行個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選(C)．17.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)矩陣A=(α1，α2，α3，α4)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，則(??)．A.β4不能由β1，β2，β3線性表示B.β4能由β1，β2，β3線性表示，但表示法不唯一C.β4能由β1，β2，β3線性表示，且表示法唯一D.β4能否由β1，β2，β3線性表示不能確定正確答案：C參考解析：18.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)α1，α2，…，αm與β1，β2，…，βs為兩個(gè)n維向量組，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，則(??)．A.兩個(gè)向量組等價(jià)B.r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=rC.若向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βs線性表示，則兩向量組等價(jià)D.兩向量組構(gòu)成的矩陣等價(jià)正確答案：C參考解析：不妨設(shè)向量組α1，α2，...，αm的極大線性無關(guān)組為α1，α2，...αr，向量組β1，β2，…，βs的極大線性無關(guān)組為β1，β2，…，βr，若α1，α2，...，αm可由β1，β2，…，βs線性表示，則α1，α2，...αr也可由β1，β2，…，βr線性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，...αr線性表示，則β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，...，αm線性表示，所以兩向量組的秩不等，矛盾，C正確。19.【單項(xiàng)選擇題】已知向量組若α1，α2，α3不能由β1，β2，β3線性表示，則a=(??)．A.3B.-3C.2D.-2正確答案：A參考解析：20.【填空題】已知向量α1=(1，2，3)T，α2=(2，-1，1)T，α3=(-2，k，4)T線性相關(guān)，則k=______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：6【解析】對(duì)于3個(gè)3維向量線性相關(guān)性的問題，用行列式或秩．本題用秩進(jìn)行計(jì)算．

21.【填空題】已知3維線性空間的一組基為α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)，則向量β=(2，0，0)在上述基下的坐標(biāo)為．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：(1，1，-1)．【解析】

22.【填空題】設(shè)3維向量空間的兩組基分別為α1=(1，2，3)T，α2=(2，3，1)T，α3=(3，1，2)T，β1=(-1，-1，2)T，β2=(-1，2，-1)T，β3=(3，1，2)T，則從α1，α2，α3到β1，β2，β3的過渡矩陣為_________．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

23.【填空題】已知α1，α2，α3線性無關(guān)，若α1-3α3，aα1+α2+2α3，2α1+3α2+α3亦線性無關(guān)，則a的取值______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

由于24.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：25.【解答題】設(shè)向量組α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2n+3，5)T，α=(0，1，3，6)T．(Ⅰ)求向量組α1，α2，α3，α4的秩及其一個(gè)極大線性無關(guān)組；(Ⅱ)若α不能由α1，α2，α3，α4線性表示，求a，b的取值．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

26.【解答題】設(shè)α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a，1)T，β=(1，b，4，7)T，a，b為何值時(shí)，β不能由α1，α2，α3線性表示，a、b為何值時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，并寫出表達(dá)式．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

27.【解答題】設(shè)有向量組(Ⅰ)α1=(2，3，5)T，α2=(0，1，2)T，α3=(1，0，0)T，(Ⅱ)β1=(3，1，2)T，β2=(1，1，1)T，β3=(1，1，-1)T，β4=(2，1，0)T，證明：向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：證明向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)的基本方法是定義法，即證明(Ⅰ)與(II)可以互相線性表示，而線性表示的問題可轉(zhuǎn)化為解非齊次線性方程組，解方程組一般用初等變換．

28.【解答題】設(shè)向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βt，r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且向量組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示．證明：向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：依題設(shè)，只需證明(11)可由(Ⅰ)線性表示．

29.【解答題】設(shè)A是3階方陣，α1，α2為A的分別屬于特征值-2，1的特征向量，Aα3=α2+α3，證明：α1，α2，α3線性無關(guān)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：法1由特征值的定義，有Aα1=-2α1，Aα2=α2．

30.【解答題】設(shè)矩陣A5×4的秩為2，α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T，α3=(5，-1，-8，9)T是方程組Ax=0的解向量，求Ax=0的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：先求Ax=0的解

空間的一組基，再將其正交單位化，解空間的維數(shù)就是Ax-0的基礎(chǔ)解

系所含解

向量的個(gè)數(shù)，故n-r(A)=4-2=2．

31.【解答題】(Ⅰ)求向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組；(Ⅱ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)對(duì)A進(jìn)行初等行變換，得

(Ⅱ)對(duì)C作初等列變換，得

32.【解答題】設(shè)A是3階矩陣，αi(i=1，2，3)是3維非零列向量，且Aαi=iαi(i=1，2，3)．α=α1+α2+α3，證明：α，Aα，A2α線性無關(guān)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

(Ⅱ)

33.【解答題】設(shè)α1，α2，α3與β1，β2，β3是3維向量空間的兩組基，若向量γ在這兩組基下的坐標(biāo)分別為(x1，x2，x3)與(y1，y2，y3)，且x1=y1，x2=-y1+y2，x3=-y2+y3．(Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的過渡矩陣；(Ⅱ)若α1=(1，2，3)T，α2=(2，3，1)T，α3=(3，1，2)T，求β1，β2，β3．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)依題設(shè)，有

(Ⅱ)

34.【解答題】設(shè)α1，α2，…，αn為起維向量空間Rn的一組基，且β1=α1，β2=α1+α2，…，βn=α1+α2+…+αn(Ⅰ)證明．β1，β2，…，βn也是Rn的一組基，并寫出由α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過渡矩陣P；(Ⅱ)設(shè)向量α∈Rn，α在基α1，α2，…，αn。下的坐標(biāo)為(n，n-1，…，2，1)T，求α在基β1，β2，…，βn下的坐標(biāo)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)依題設(shè)，有

35.【解答題】已知向量組α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1,a)T，α4=(3，10，b，4)T線性相關(guān).(1)求a，b的值.(2)判斷α4能否由α1，α2，α3線性表示?如能就寫出表達(dá)式.(3)求向量組α1，α2，α3，α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：【解】(1)由(2)當(dāng)b=2時(shí)(3)當(dāng)a=1且b=2時(shí)，r(α1，α2，α3，α4)=2，極大無關(guān)組α1，α2，當(dāng)a=1且b≠2時(shí)，r(α1，α2，α3，α4)=3，極大無關(guān)組α1，α2，α4，當(dāng)a≠1且b=2時(shí)，r(α1，α2，α3，α4)=3，極大無關(guān)組α1，α2，α3．36.【解答題】設(shè)α為n×m矩陣，B為m×n矩陣(m>n)，且AB=E．證明：B的列向量組線性無關(guān)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：37.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：38.【解答題】設(shè)α，β是n維非零列向量，A=αβT+βαT．證明：r(A)≤2．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：39.【解答題】設(shè)A為n階矩陣且r(A)=n-1．證明：存在常數(shù)k，使得(A*)2=kA*．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：40.【解答題】設(shè)α1，α2，…，αn為行個(gè)行維列向量，證明：α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分必要條件是請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：41.【解答題】已知α1=[1，2，-3，1]T，α2=[5，-5，a，11]T，α3=[1，-3，6，3]T，α4=[2，-1，3，a]T．問：(1)當(dāng)a為何值時(shí)，向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)；(3)當(dāng)a為何值時(shí)，α4能由α1，α2，α3線性表出，并寫出它的表出式．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：42.【解答題】已知α1=[1+λ，1，1]T，α2=[1，1+λ，1]T，α3=[1，1，1+λ]T，β=[0，λ，λ2]T．問α取何值時(shí)，(1)β可由α1，α2，α3線性表出，且表達(dá)式