第五章時間序列剖析與建模簡介時間序列建模（Modellingviatimeseries）。時間序列剖析與建模是數(shù)理統(tǒng)計的重要分支，其主要學術(shù)貢獻人是Box和Jenkins。本章簡要介紹吳憲民和Pandit的工作，僅要求一般認識目前時間序列剖析與建模的一些主要結(jié)果。參照書：“時間序列及系統(tǒng)剖析與應用（美）吳憲民，機械工業(yè)第一版社（1988）TP13/66。前言依據(jù)對系統(tǒng)觀察得出的依據(jù)時間次序擺列的數(shù)據(jù)，經(jīng)過曲線擬合和參數(shù)預計或許譜剖析，成立數(shù)學模型的理論與方法，理論基礎是數(shù)理統(tǒng)計。有時域和頻域兩類建模方法，這里歸納介紹時域方法，即鑒于曲線擬合與參數(shù)預計（如最小二乘法）的方法。常用于經(jīng)濟系統(tǒng)建模（如市場展望、經(jīng)濟規(guī)劃）、氣象與水文預告、環(huán)境與地震信號辦理和天文等學科的信號辦理等等。5—1ARMA模型剖析一、模型類把擁有有關(guān)性的觀察數(shù)據(jù)構(gòu)成的時間序列{xk}視為以正態(tài)同散布白噪聲序列{ak}為輸入的動向系統(tǒng)的輸出。用差分模型ARMA(n,m)為(z-1)xk=(z-1)ak式（5-1-1）此中：(z-1)=1-1z-1--nz-n(z-1)=1-1z-1--mz-m失散傳函式（5-1-2）為與參照書符號一致，以下用B表示時間后移算子即：Bxk=xk-1B即z-1，B2即z-2(B)=0的根為系統(tǒng)的極點，若所有落在單位園內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)固；(B)=0的根為系統(tǒng)的零點，若所有在單位園內(nèi)則系統(tǒng)逆穩(wěn)固。二、對于格林函數(shù)和時間序列的穩(wěn)固性1．格林函數(shù)Gi格林函數(shù)Gi用以把xt表示成at及at既往值的線性組合。xtGjatjj0式（5-1-3）GI能夠由下式用長除法求得：例1．AR(1):xt-1xt-1=atj（顯示）即：Gj=1例2．ARMA(1,1):xt-1xt-1=at-1atG0=1;Gj=(1-1)1j-1,j1（顯示）例3．ARMA(2,1)(1-1B-2B2)xt=(at-1B)at得出：G0=1G1=0G0-1G2=1G1+2G0.....Gj=1Gj-1+2Gj-2（j2）Gj為知足方程(1-1B-2B2)Gj=0的解，稱為隱式表達式。該結(jié)論可推行到ARMA(n,m)模型。2．格林函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)固性當j時：Gj有界，則系統(tǒng)穩(wěn)固；Gj衰減，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)固；Gj發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)固。j例：AR(1):Gj=1當<1時，Gj衰減，漸進穩(wěn)固；當=1時，Gj=1j=1，有界，則系統(tǒng)穩(wěn)固；當>1時，Gj發(fā)散，不穩(wěn)固。例：ARMA(2,1)xt11Bat11B2B)at11B2B2(11B)(11和2和為特點方程的根，有1+2=1和12=2當1<1且2<1時，ARMA(2,1)漸進穩(wěn)固；當1=1且2<1或1<1且2=1時，ARMA(2,1)穩(wěn)固；當1=2且或1=（兩根同號）時，不穩(wěn)固。由此得出ARMA(2,×)2的穩(wěn)固域以下列圖所示。ARMA(2,m)的穩(wěn)固域三、逆函數(shù)與逆穩(wěn)固性逆函數(shù)Ij表示xt的既往值對目前值的影響，與格林函數(shù)Gj表示既往的at值對xt的影響正相反。定義：即：或：at=(1-I1B-I2B2-)xt(B)GjBj(B)j0at格林函數(shù)xtxt逆函數(shù)at系統(tǒng)逆穩(wěn)固的條件是(B)的根<1（落在單位園內(nèi)）。合理的模型不單要求是穩(wěn)固的，也要求是逆穩(wěn)固的，因為假如>1，即意味著過時愈久的xt的老數(shù)據(jù)對xt的此刻值影響愈大，這明顯是不合理的。自協(xié)方差函數(shù)與偏自有關(guān)函數(shù)及其截尾性(略)§5—2時間序列建模及其應用一、對于吳憲民andPandit的建模策略簡介ARMA(n,m)模型,當n和m設定后,可由非線心、非線性最小二乘法預計參數(shù),并計算出殘差平方總和。設定不一樣的n和m值，用F查驗比較，確立合理的n、m值。窮舉法（最笨的建模策略）：高階模型要做好多次搜尋，計算量大。吳憲民—Pandit建模策略目的是減少建模的搜尋次數(shù)。策略可歸納為：10.依據(jù)ARMA(2n,2n-1)擬合模型，即當nn+1時，模型增添2階，原因是過程的基點常常是成對的。20.檢查ARMA(2n,2n-1)模型的高階項參數(shù)2n和2n-1的絕對值能否很小，它們的置信區(qū)間能否包含零在內(nèi)？假如，則進一步擬合降落一階后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F查驗檢查。30.探究進一步降低MA的階次的可能性，即設ARMA(2n-1,m)，m<2n–1，用F查驗確立。增補：對于參數(shù)預計偏差的置信區(qū)間假設參數(shù)預計切合正態(tài)散布N（0，2）則預計值的置信區(qū)間(95%置信度)為：j1.96j參數(shù)的預計偏差協(xié)方差陣為：的置信區(qū)間為：j=1,2,二、時間序列建模應用舉例例1.太陽黑子年均數(shù),由1749-1924年合計176個觀察數(shù)據(jù)。擬合ARMA2，1）模型，F(xiàn)查驗ARMA（4，3）較前者沒有明顯改良。ARMA（2，1）模型預計結(jié)果為：參數(shù)預計95%置信區(qū)間1=1.42(1.26~1.58)2=-0.72(-0.86~-0.58)1=0.15(-0.07~0.37)因為1的值較小，并且置信區(qū)間包含零在內(nèi)，因此進一步實驗降為AR（2）模型。預計結(jié)果：參數(shù)預計95%置信區(qū)間1=1.43(1.23~1.45)2=-0.65(-0.76~-0.54)F查驗表示ARMA（2，1）模型較之AR（2）模型并無明顯改良，并且2的置信區(qū)間不包含零，因此AR（2）模型適合。例2．IBM股票每日值（61.5.1~—Pandit建模策略，得出ARMA（6，5）模型。例3．航空企業(yè)月銷售額（49.1~60.12）建模結(jié)果-ARMA(13,13)一、趨向項和季節(jié)性1．恒定趨向即總的趨向保持在同一水平，均值0。引入算子，定義為：=（1-B），即xt=xt-xt-1能夠除去恒定趨向。比如IBM股票模型用xt=（1-1B）at更加適合。有恒定趨向的模型有一個極點的絕對值靠近為1。2．線性趨向總趨向依據(jù)線性規(guī)律增減，即模型有兩個極點的絕對值靠近為1的狀況。用算子=(1–B)2能夠除去線性趨向，比如：2xt=（1-1B）at多項式趨向有多個極點的絕對值靠近于1,引入算子=(1–B)3比如：3xt=（1-1B-2B2）at季節(jié)性有的時間序列依據(jù)必定的周期顛簸,比如月均勻溫度是依據(jù)12個月的周期顛簸的，每小時用電量依據(jù)24小時的周期變化，稱為季節(jié)性。為除去季節(jié)性的影響，引入算子：