.2用空間向量研究距離、夾角問題（第2課時）導學案學習目標1.能用向量方法解決簡單夾角問題.2.通過用空間向量解決夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．重點難點重點用向量方法求平面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角；難點用空間向量解決立體幾何中的夾角問題與綜合問題.課前預習自主梳理知識點：空間角的向量求法空間角向量求法空間角的范圍異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是則直線與平面所成的角直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為，平面α的法向量為，則兩個平面的夾角若平面α，β的法向量分別是，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為θ，則思考：為什么求空間角的公式中都帶有絕對值？提示因為異面直線所成的角的范圍是,斜線與平面所成的角的范圍是,平面與平面的夾角的范圍是,而兩個向量的夾角的范圍是,因此計算時要加絕對值.自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．()(2)直線與平面所成的角等于直線的方向向量與該平面法向量夾角的余角．()(3)平面與平面的夾角的取值范圍與二面角的取值范圍相同．()(4)兩個平面的夾角就是該二面角兩個面的法向量的夾角．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【詳解】(1)錯誤．兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等或互補．(2)錯誤．直線與平面所成的角和直線的方向向量與該平面法向量的夾角互余或與其補角互余．(3)錯誤．平面與平面的夾角的取值范圍是，二面角的取值范圍是．(4)錯誤．兩個平面的夾角與該二面角兩個面的法向量的夾角相等或互補．2.在正方體中，為線段上的動點，則與直線夾角為定值的直線為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，，，可得，利用線線角的向量求法可求得結果.【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，，，，設，，即，，；對于A，不是定值，A錯誤；對于B，不是定值，B錯誤；對于C，，直線與所成角為定值，C正確；對于D，不是定值，D錯誤.故選：C.新課導學學習探究環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境，引入課題知識點1：求解直線與直線所成的角導入問題：與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質上，角度是對兩個方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨特的優(yōu)勢.本節(jié)我們用空間向量研究夾角問題，你認為可以按怎樣的順序展開研究.師生活動：學生獨立思考、小組交流后，通過全班討論達成對研究路徑的共識，即：直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角.設計意圖:明確研究路徑,為具體研究提供思路.環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念問題1：例7如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．追問1:這個問題的已知條件是什么?根據(jù)以往的經(jīng)驗,你打算通過什么途徑將這個立體幾何問題轉化為向量問題?用向量方法求解幾何問題時,首先要用向量表示問題中的幾何元素.對于本問題,如何用向量表示異面直線與?它們所成的角可以用向量之間的夾角表示嗎?分析：求直線AM和CN夾角的余弦值，可以轉化為求向量與夾角的余弦值．為此需要把向量，用適當?shù)幕妆硎境鰜?，進而求得向量，夾角的余弦值．解：化為向量問題如圖，以作為基底，則，．設向量與的夾角為，則直線和夾角的余弦值等于．在此基礎上,將此問題推廣到一般,學生思考后作答,教師對學生的回答給予補充.梳理出將立體幾何問題轉化為向量問題的途徑:途徑1:通過建立一個基底,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面等元素,從而把立體幾何問題轉化為向量問題;途徑2:通過建立空間直角坐標系,用坐標表示問題中涉及的點、直線、平面等元素,從而把立體幾何問題轉化為向量問題.實際上,空間直角坐標系也是基底,是“特殊”的基底.進行向量運算．又和均為等邊三角形，所以．追問2:請你通過向量運算,求出向量夾角的余弦值,進而求出直線和夾角的余弦值.所以．回到圖形問題所以直線和夾角的余弦值為．思考以上我們用量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？追問3:回顧問題1的求解過程,你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成的角的一般方法嗎?一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得．也就是說，若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是，，則．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念知識點2：類比研究,求解直線與平面、平面與平面所成的角問題2:你能用向量方法求問題1中直線與平面所成的角嗎?一般地,如何求直線與平面所成的角?追問:這個問題的已知條件是什么?如何將幾何問題轉化為向量問題?類似地，直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．如圖，直線與平面相交于點，設直線與平面所成的角為，直線的方向向量，平面的法向量為，則．環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念問題3:類比已有的直線、平面所成角的定義,你認為應如何合理定義兩個平面所成的角?進一步地,如何求平面和平面的夾角?在學生討論、交流的基礎上,教師小結如下:如圖，平面與平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角．類似于兩條異面直線所成的角，若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補角．設平面與平面的夾角為，則．追問1:如何求平面的法向量?追問2:你能說說平面與平面的夾角與二面角的區(qū)別和聯(lián)系嗎?二面角的大小是指其兩個半平面的張開程度,可以用其平面角的大小來定義,它的取值范圍是;而平面與平面的夾角是指平面與平面相交,形成的四個二面角中不大于的二面角.環(huán)節(jié)五：課堂練習，鞏固運用鞏固應用,解決立體幾何中的角度問題例8如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．分析：因為平面與平面的夾角可以轉化為平面與平面的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問題以為原點，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補角．進行向量運算因為平面，所以平面的一個法向量為，根據(jù)所建立的空間直角坐標系，可知，，．所以，．設，則所以所以取，則．回到圖形問題設平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．例9圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°，已知禮物的質量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N)．師生活動:教師引導學生思考下列問題:(1)降落傘勻速下落,下落過程中,8根繩子拉力的合力大小與禮物重力大小有什么關系?(2)每根繩子的拉力和合力有什么關系?(3)如何用向量方法解決這個問題?分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．解：如圖，設水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為．因為，所以在上的投影向量為．所以8根繩子拉力的合力．又因為降落傘勻速下落，所以．所以，所以．例10如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。隳苷业浇鉀Q問題的方法嗎?分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．解：以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設．（1）證明：連接，交于點，連接．依題意得，，．因為底面是正方形，所以點是它的中心，故點的坐標為，且，，所以，即．而平面，且平面，因此平面．（2）證明：依題意得，，又，故，所以．由已知，且，所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面與平面的夾角．設點的坐標為，則．因為，所以，即，，，設，則，所以，點的坐標為．又點的坐標為，所以．所以．所以，即平面與平面的夾角大小為．追問2:直線和平面是由哪些要素確定的?直線和平面的平行關系是用這些要素之間怎樣的關系來刻畫的?你能用這些要素之間的關系證明平面嗎?追問3:直線和平面的垂直關系是用確定直線和平面的要素之間怎樣的關系來刻畫的?你能證明平面嗎?追問4:如何根據(jù)平面與平面的夾角與兩個平面的法向量的關系求出平面與平面的夾角?例8如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．分析：因為平面與平面的夾角可以轉化為平面與平面的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問題以為原點，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補角．進行向量運算因為平面，所以平面的一個法向量為，根據(jù)所建立的空間直角坐標系，可知，，．所以，．設，則所以所以取，則．回到圖形問題設平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．環(huán)節(jié)六：歸納總結,反思提升教師引導學生回顧本單元的學習內容,并回答以下問題:（1）向量方法解決立體幾何問題的基本步驟是什么?你能用一個框圖表示嗎?（2）通過本節(jié)的學習,你對立體幾何中的向量方法是否有了一定的認識?請結合例題和上面的框圖談談體會.（3）解決立體幾何中的問題,可用三種方法:綜合法、向量法、坐標法.你能說出它們各自的特點嗎?師生共同梳理總結本單元的學習內容,引導學生畫出用向量法解決立體幾何問題的一般步驟的“三步曲”的框圖,具體如下:環(huán)節(jié)七：目標檢測，作業(yè)布置布置作業(yè)教科書習題第14,15題.備用練習1.在由三棱柱截得的幾何體中，平面點分別是棱的中點.若直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題通過建立如圖空間直角坐標系，分別求得直線與的方向向量，再利用向量的夾角公式，即可得解.【詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系.設則，，，所以直線與所成角的余弦值解得故選：A.2.已知二面角的大小為，點B、C在棱l上，，，，，則AD的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算及二面角的概念求解.【詳解】如圖所示，由題意知