2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《解三角形》知識點總結(jié)1.1正弦定理一、三角形的面積公式1.一般地，若記△ABC的面積為S，則S=12absinC=12acsinB=二、正弦定理1.文字語言：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等2.符號語言：a三、正弦定理的推論及常見變形1.正弦定理的推論：在△ABC中，asinA2.常見變形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.四、解三角形習(xí)慣上，我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素，已知三角形的

若干元素求其他元素一般稱為解三角形.五、三角形中的常用結(jié)論1.三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2.三角形中，大邊對大角，大角的正弦值也較大，即a>b?A>B?sinA>sinB；3.在△ABC中，A+B+C=π，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=cosC，sinA+B2=cosC2，cosA+B24.三角形中最大內(nèi)角的取值范圍是π3，π，最小內(nèi)角的取值范圍是六、用正弦定理解三角形時如何確定解的個數(shù)1.利用正弦定理解三角形常分為兩類：(1)已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.其中，第(1)類問題的解是唯一的，但第(2)類問題可能出現(xiàn)多解或無解的情況，判斷

解的情況可從代數(shù)和幾何角度出發(fā)，以下舉例說明.在△ABC中，已知a，b，A，用正弦定理求B時，解的情況如下：①若sinB=bsin②若sinB=bsin③若sinB=bsin七、如何用正弦定理判斷三角形的形狀1.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法(1)化邊為角.利用正弦定理得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系并進行判斷.例如在△ABC中，sinA=sinB?A=B，sin(AB)=0?A=B，sin2A=sin2B?A=B或A+B=90°等.常用的轉(zhuǎn)化方式有：①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②ab=sinAsinB(2)化角為邊.利用代數(shù)變換得出三角形的邊之間的關(guān)系并進行判斷.常用的轉(zhuǎn)化方式有：①sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；②sinAsinB=ab八、如何用正弦定理解決三角形中的最值和范圍問題1.解決三角形中的最值和范圍問題時，通常有兩種基本思路，一是將角轉(zhuǎn)化為邊，

然后借助均值不等式、函數(shù)單調(diào)性等進行求解；二是將邊轉(zhuǎn)化為角，然后通過三

角恒等變換，借助三角函數(shù)中的相關(guān)知識求解.兩種思路都要借助正弦定理進行

邊和角的轉(zhuǎn)化.2.注意三角形中隱含條件的挖掘，如兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

等，據(jù)此建立不等式(組)確定邊的取值范圍；三角形中各內(nèi)角均為正角，且內(nèi)角和

等于180°，據(jù)此建立不等式(組)確定角的范圍，進而利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定取

值范圍.3.將三角形中的邊轉(zhuǎn)化為角求解范圍時，要注意輔助角公式、降冪公式等在解題

中的合理運用.1.2余弦定理一、余弦定理1.文字語言：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍2.符號語言：a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC二、余弦定理的變形cosA=b2+c2?三、如何用正、余弦定理解三角形三角形共有6個元素，有時已知條件比較復(fù)雜，這就需要我們正確地辨別條件，恰當(dāng)選擇定理來解決問題.1.當(dāng)已知條件以邊或正弦值之比的關(guān)系出現(xiàn)時，考慮用正弦定理；2.當(dāng)已知條件涉及內(nèi)角的正弦或外接圓半徑時，考慮用正弦定理；3.當(dāng)已知條件涉及內(nèi)角的余弦值，邊的平方或者邊的乘積時，考慮用余弦定理；4.正弦定理和余弦定理交替使用，進行邊與角的互化，解決問題.四、如何用余弦定理根據(jù)三角形的形狀確定邊的取值范圍1.在根據(jù)三角形的形狀確定邊的取值范圍時，主要依據(jù)余弦定理，將角為直角、鈍

角、銳角分別轉(zhuǎn)化為兩邊的平方和與第三邊平方的大小關(guān)系，進而通過解方程(組)或不等式(組)求得結(jié)果.求邊的取值范圍時，還要注意各邊長度均為正值，兩邊之和大于第三邊，兩邊之

差小于第三邊等隱含條件對參數(shù)取值范圍的限制.典型例題訓(xùn)練1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）在中，，，，則（

）A． B．4 C． D．3．（2023秋·北京西城·高三統(tǒng)考期末）在中，若，則的面積是（

）A．1 B． C． D．4．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）在中，若，，，則等于（

）A． B． C． D．6．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）在中，若，，，則．7．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，在中，是邊上一點，，則；的面積為．8．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）在中，，則；的值為.9．（2023·北京順義·高三統(tǒng)考期末）在中，，，，則，．10．（2023秋·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）在中，，則，.11．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）在中,.(1)求;(2)若,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使存在且唯一確定,求及的面積.條件①:;條件②:;條件③:.12．（2023秋·北京東城·高三統(tǒng)考期末）如圖，在銳角中，，，，點在邊的延長線上，且.(1)求；(2)求的周長.13．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分交于點，．(1)求的值；(2)求的面積．14．（2023·北京朝陽·二模）在中，，，.(1)求的面積；(2)求c及的值.15．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在中，．(1)求；(2)若，求的最小值．16．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考二模）在四邊形ABCD中，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，解決下列問題．(1)求BD的長；(2)求四邊形ABCD的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17．（2023秋·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）在中，．(1)求A；(2)若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點在邊上，.(1)求的長；(2)若的面積為，求的長.19．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）在中，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．(1)求；(2)若的面積為，求的周長．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．20．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）在中，．(1)求；(2)若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．21．（2023·北京海淀·一模）在中，現(xiàn)有下列四個條件：①；②；③；④．(1)①②兩個條件可以同時成立嗎？請說明理由；(2)請選擇上述四個條件中的三個，使有解，并求的面積．22．（2023·北京海淀·一模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，．已知．(1)求角的大??；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．23．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.D是AB的中點，，.(1)求∠A的大??；(2)求a的值.24．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）在中，，，．(1)求；(2)若角為鈍角，求的周長．25．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）在中，是邊上一點，，，，.(1)求的長；(2)求的面積.26．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）在中，．(1)求b；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求的面積．條件①：；條件②：邊上中線的長為；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．27．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.28．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求的面積．29．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.30．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）在中，，.(1)當(dāng)時，求和；(2)求面積的最大值.參考答案1【解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.2．【解】，，，所以，解得，，因為，所以，.故選：C.3．【解】由余弦定理得，代入，得，聯(lián)立化簡得，解得或（舍去），故，，則,故.故選：D.4．【解】設(shè)，則，由余弦定理得：，；，，，即的取值范圍為.故選：D.5．【解】在中，若，，,則,即，即，解得，舍去，故選：A6．【解】由，得，則，則，所以（負值舍去），由，在三角形中易得，因為，所以.故答案為：.7．【解】在中由余弦定理，即，解得，所以，所以，所以.故答案為：；8．【解】，，故，，；，則，即，，，則，，.故答案為：；9．【解】因為，由正弦定理可得，因為、，則，所以，，則，故，由余弦定理可得，即，，解得.故答案為：；.10．【解】由余弦定理可得，故，故（舍）或，故，而為三角形內(nèi)角，故.故答案為：，.11．【解】（1）由正弦定理得,得,,因為,所以則.所以,所以.（2）選條件①:因為,由正弦定理得,由余弦定理得,解得，則,解得，所以存在且唯一確定,則.選條件②:,已知由正弦定理得,因為,所以,,所以存在且唯一確定,則.選條件③:,由余弦定理得,即,所以,即,因為,所以不存在使得存在.12．【解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因為是銳角三角形，所以.（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周長為.13．【解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，所以；（2）由（1）得，由題設(shè)，，即為等腰三角形，所以，，所以的．14．【解】（1）由且，則，所以.（2）由，則，而，則.15．【解】（1）解：因為，所以，又因為，所以，即有，又因為，所以；（2）解：因為，，所以，當(dāng)時，等號成立，所以，故的最小值為：3.16．【解】（1）選①，由余弦定理得，解得，選②，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，即，解得.（2）選①，，，故，在中，，所以⊥，故，所以四邊形ABCD的面積為；選②，，故，故，因為，所以，故，，故四邊形ABCD的面積為.17．【解】（1）由可得，.因為，所以，又，所以或.（2）若選①：.因為，所以為鈍角，為銳角，又，又，所以，即，所以存在且唯一確定.則，由可得..根據(jù)正弦定理可得，，所以；若選②：.因為，所以，由正弦定理可得，，因為，所以，所以存在且唯一確定.則，所以，；若選③：.因為，所以，此時或，所以，此時存在但不唯一.18．【解】（1）因為，所以在中，因為所以在中，由正弦定理得，所以；（2）的面積為，得因為，所以又因為，所以在中，由余弦定理得所以.19．【解】（1）選①：，因為，所以，因此有，因為，所以；選②：由，因為，所以；（2）因為的面積為，所以有，而，解得：，由余弦定理可知：，所以的周長為.20．【解】（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.（2）選條件①：由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因為，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.選條件③：因為，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.21．【解】（1）由條件①得，解得或，因為，所以；由條件②得，因為，所以．而與矛盾，所以①②不能同時成立．（2）由（1）知，①②中只能選擇其一，若選擇②③④，由知，而，顯然不成立，所以只能選擇①③④．有，即，，因為，所以，所以，即是以為直角的三角形，所以的面積．22．【解】（1）因為，所以，又，所以.因為，所以.（2）選①：由余弦定理可得，.即，此時，無解，不合題意.選②：由余弦定理可得，整理得，解得或（舍），即.滿足存在且唯一確定，則的面積為.選③：，由正弦定理可得.由余弦定理可得，，即.解得，當(dāng)時，，不合題意；所以，滿足存在且唯一確定，則的面積為23．【解】（1）因為，由正弦定理得：，因為，所以，得，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得：，即，解得：(負值舍去)，則，在中，由余弦定理得：，所以.所以.24．【解】（1）在中，因為，所以，因為，，所以，由，得，解得（2）因為，為鈍角，所以，由得，整理得，解得或（舍），所以.所以的周長為.25．【解】（1）因為，則，，，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因為所以，，所以.26．【解】（1）因為，在△中，由正弦定理，可得：，又因為，所以.（2）選擇條件①；由，，以及余弦定理得，該方程無解，故此時三角形不存在，故不能選擇條件①選擇條件②設(shè)邊上的中線為，則，，在△中，