9三空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量,則a·b= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.由條件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.2.已知兩異面直線(xiàn)的方向向量分別為a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,則兩直線(xiàn)的夾角為 (A.30° B.60°C.120° D.150°【解析】選B.設(shè)向量a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b3.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為 ()A.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】選B.由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為D1C1的中點(diǎn),則向量在向量上的投影向量是 ()A.1010 B.105C.55 D.25【解析】選D.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因?yàn)?=+=a+b,=+=+12=c+12a,所以·=(a+b)·c+12a=a·c+b·c+12a2+12a·b=12a2=12,||=12+(12)

2=5所以向量在向量上的投影向量是||cos<,>=25.5.(多選題)下列各命題中,正確的有 ()A.a·a=|B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a【解析】選ABC.因?yàn)閍·a=|a|2,故a·a=|a|,A正確;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正確;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正確;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b與|b|2a6.(多選題)如圖,已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積為零的是 ()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選BCD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,則·=0;同理可得·=0;而PC與AD所成角為∠PCB,顯然不垂直.7.已知a,b是兩異面直線(xiàn),A,B∈a,C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則直線(xiàn)a,b所成的角為_(kāi)_________.

【解析】由題意,得⊥,⊥,即·=·=0.因?yàn)?++,所以·=(++)·==1.因?yàn)閏os<,>==12,所以<,>=60°,所以直線(xiàn)a,b所成的角為60°.答案:60°8.已知空間向量a,b,c中每?jī)蓚€(gè)向量的夾角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,則|a+b+c|=________【解析】因?yàn)閨a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π3所以|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,所以|a+b+c|=10.答案:109.已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1的中心,F為A1D1的中點(diǎn).試計(jì)算:(1)·;(2)·;(3)·.【解析】如圖,設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=b·12(c-a)+b=|b(2)·=c-a+12b·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)·=12(c-a)+12=12(-a+b+c)·12b+a=-12|a|2+14|b|210.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2,且PA與AB,AD的夾角都等于60°,M是PC的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,=c.(1)試用a,b,c表示向量;(2)求BM的長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)镸是PC的中點(diǎn),所以=12(+).因?yàn)?,=-,所以=12[+(-)],結(jié)合=a,=b,=c,得=12[b+(c-a)]=-12a+12b+1(2)因?yàn)锳B=AD=1,PA=2,所以|a|=|b|=1,|c|=2.因?yàn)锳B⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos60°=1.由(1)知=-12a+12b+12所以=-1=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=14×(1+1+4-0-2+2)=3所以||=62,即BM的長(zhǎng)等于6211.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,則△ABC是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【解析】選B.因?yàn)?-2=(-)+(-)=+,所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.12.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下面給出的結(jié)論正確的是 ()A.|++|2=3||2B.·(-)=0C.與的夾角為60°D.此正方體體積為|··|【解析】選AB.A項(xiàng),由題意知|++|=||=3||,所以|++|2=3||2,正確;B項(xiàng),由題意知·(-)=(++)·(-)=+·+·-·-·-=0,正確;C項(xiàng),由題意可求得AD1與A1B兩異面直線(xiàn)的夾角為60°,但與的夾角為120°,錯(cuò)誤;D項(xiàng),因?yàn)椤?0,所以|··|=0,與實(shí)際不符,錯(cuò)誤.13.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等,若M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)AB1和BM所成的角的大小是______.

【解析】設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為2,則=-,=+12,cos<,>==0-2+2-022×5答案:90°14.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,則點(diǎn)B與點(diǎn)D1之間的距離為_(kāi)_________.

【解析】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=++,所以||2=(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,所以||=2.所以點(diǎn)B與點(diǎn)D1兩點(diǎn)間的距離為2.答案:215.如圖,正四面體V-ABC的高VD的中點(diǎn)為O,M為VC的中點(diǎn).(1)求證:AO,BO,CO兩兩垂直;(2)求<,>.【解析】(1)設(shè)=a,=b,=c,正四面體V-ABC的棱長(zhǎng)為1,則=13(a+b+c),可得=16(b+c-5a),=16(a+c-5b),=16(a+b-5c),所以·=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136(18a·b-9|a|2)=136所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO兩兩垂直.(2)=+=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b+c),所以||=16(-2a又因?yàn)閨|=16(b+·=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=14所以cos<,>=1412×2所以<,>=45°.16.已知MN是正方體的內(nèi)切球的一條直徑,點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),正方體的棱長(zhǎng)是2,則·的取值范圍為 ()A.0,4 BC.1,4 D【解析】選B.設(shè)正方體的內(nèi)切球的球心為O,則O