11五空間向量基本定理的應(yīng)用1.已知正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為AA'和CC'的中點(diǎn).則BF與ED'的位置關(guān)系為 ()A.平行 B.異面 C.相交 D.垂直【解析】選A.如圖,=+=+12=+12,=+=12+=12+,所以=,所以∥,因?yàn)橹本€BF與ED'沒有公共點(diǎn),所以BF∥ED'.2.如圖,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點(diǎn).則CE與A'D的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.相交 C.垂直 D.無法確定【解析】選C.設(shè)=a,=b,=c,根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所以=b+12c,=-c+12b-12a所以·=-12c2+12b2=0.所以⊥,即CE與A'D垂直.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點(diǎn),則直線AB和CE所成角的余弦值為 ()A.52 B.55 C.58 【解析】選B.設(shè)AB=1,則由=+=-12,得·=·-12=-12,又||=52,故cos<,>=-55,則直線AB和CE所成角的余弦值為55.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中點(diǎn),則AM= ()A.32 B.52 C.72 【解析】選C.如圖所示,=++=++12(-)=12++12,故||2=12++122=74,則AM=72.5.(多選題)若=λ+μ,則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系可能是 ()A.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.垂直【解析】選BC.因?yàn)?λ+μ,所以,,共面,則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).6.(多選題)在三棱錐P-ABC中,三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分別為棱BC,PB上的點(diǎn),且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,則下列說法正確的是 ()A.EG⊥PG B.EG⊥BCC.FG∥BC D.FG⊥EF【解析】選ABD.如圖,設(shè)=a,=b,=c,則{a,b,c}是空間的一個(gè)正交基底,則a·b=a·c=b·c=0.取AB的中點(diǎn)H,則=c-b,=23=23×12(a+b)=13a+1=+=+13(-)=23b+13則=-=13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c,=-=13a+13b-13b=-=13b-13c+23b=-13c-13b.·=0,故A正確;·=0,故B正確;≠λ(λ∈R),故C不正確;·=0,故D正確.7.已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,在l上有兩點(diǎn)A,B,線段AC?α,線段BD?β,并且AC⊥l,BD⊥l,AB=6,BD=24,AC=8,則線段CD的長為________.

【解析】由題意,知=++,所以=(++)2=++=64+36+576=676,所以CD=26.答案:268.在棱長為a的正四面體ABCD中,E,F分別為棱AD,BC的中點(diǎn),則線段EF的長度為________,異面直線EF與AB所成角的大小是________.

【解析】設(shè)=a,=b,=c,則{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=12a2.所以=-=12(a+b)-12c,所以·=12a2+12a·b-12a·c=12a||=(12a+所以cos<,>==12a222a所以異面直線EF與AB所成的角為π4.答案:22a9.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分別是AD,DC的中點(diǎn).求異面直線MN與BC1所成角的余弦值.【解析】=-=12(-),=+=-+,所以·=12-12·(-+)=12=12,又||=12||=52,||=2,所以cos<,>==1252×2=故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為101010.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分別是CC1,BC,CD和A1C1的中點(diǎn).證明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.【證明】(1)設(shè)正方體棱長為1,=i,=j,=k,則{i,j,k}構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底.=+=i+k,=+=12i+12k=12,所以AB1∥GE.=+=12k+-12(i+j)=-12i-12j+1因?yàn)椤?(i+k)·-12i-12j+12k=-12|i|(2)=++=-k+j+12i,=+=i-12j,=+=i+12k.所以·=-k+j+=-12|j|2+12|i|2=0,所以A1G·=-k+j+1-12|k|2+12|i|2=0,所以A1G又DE∩DF=D,所以A1G⊥平面EFD.11.已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),則“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的 ()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)x=2,y=-3,z=2時(shí),即=2-3+2.則-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根據(jù)共面向量定理知,P,A,B,C四點(diǎn)共面;反之,當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí),根據(jù)共面向量定理,設(shè)=m+n(m,n∈R),即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)·+m+n,即x=1-m-n,y=m,z=n,這組數(shù)顯然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.12.(多選題)(2022·錦州高二檢測(cè))已知空間向量i,j,k都是單位向量,且兩兩垂直,則下列結(jié)論正確的是 ()A.向量i+j+k的模是3B.i+C.向量i+j+k和k夾角的余弦值為3D.向量i+j,i-j共線【解析】選BC.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榭臻g向量i,j,k都是單位向量,且兩兩垂直,所以i=j=k=1,且i·j=i·k=j·k=0,則i+j+k=對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)榭臻g向量i,j,k都是單位向量,且兩兩垂直,所以i,j,k不共面,而向量i+j,i-j均與i,j共面,所以i+j,i-j與k不共面,則i+對(duì)于選項(xiàng)C,設(shè)i+j+k與k的夾角為α,則cosα=(=i·k+j·所以向量i+j+k和k夾角的余弦值為33對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閨i+j|=(i+j)2同理可得|i-j|=2,則cos<i+j,i-j>=(i所以向量i+j,i-j的夾角為90°,則向量i+j,i-j不共線,D錯(cuò)誤.13.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為BD的中點(diǎn),G在棱CD上,且CG=14CD,H為C1G的中點(diǎn),則FH=________【解析】設(shè)=a,=b,=c,則a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.所以=+++=12(a-b)+b+c+12=12(a-b)+b+c+12-c-14a=38a+12b所以||2=38a+12b+12c2=964a2+14b2+14c2所以FH=418答案:4114.如圖所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD=1,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N為A1D1上一點(diǎn),且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,則λ的值為________;若M為棱DD1的中點(diǎn),BM∥平面AB1N,則λ的值為________.

【解析】取空間中的一個(gè)基底:=a,=b,=c.若BD⊥AN,則·=0.因?yàn)?-=b-a,=+=c+λb,所以(b-a)·(c+λb)=0,所以12+λ-32-λ2=0,所以λ=當(dāng)M為棱DD1的中點(diǎn)時(shí),=-a+b+12c,=λb+c,=a+c.因?yàn)锽M∥平面AB1N,所以向量,,共面,所以?x,y∈R,使得=x+y,即-a+b+12c=ya+xλb+(x+y)c所以-解得λ=23答案:3-1215.利用空間向量的知識(shí)證明平行六面體的體對(duì)角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分.【證明】如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,設(shè)O是AC'的中點(diǎn),則=12=12,設(shè)P,M,N分別是BD',CA',DB'的中點(diǎn),則=+=+12=+12=+12=12=12,同理可得=12,=12,所以===,所以O(shè),P,M,N四點(diǎn)重合,所以體對(duì)角線AC',BD',CA',DB'交于一點(diǎn),且在交點(diǎn)處互相平分.16.如圖,在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)G為△ABC的重心,點(diǎn)M在PG上,且PM=3MG,過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA,PB,PC于點(diǎn)D,E,F,若=m,=n,=t,則1m+1n+1t=________.

【解析】連接AG并延長交BC于點(diǎn)H,由題意,可令{,,}為空間的一個(gè)基底,=34=34(+)=34+34