第05講空間向量及其應用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.（3）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用．2023年I卷第18題，12分2023年II卷第20題，12分2022年I卷第19題，12分2022年II卷第20題，12分空間向量解立體幾何一般以解答題形式為主,每年必考,一般12分.以解答題為主,難度中等,可靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體會向量方法的優(yōu)越性.選擇題和填空題一般不用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質(zhì),感悟“基底”的思想,并運用它解決立體幾何中的問題.知識點一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結合律，知識點二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．知識點三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．知識點四：空間向量的坐標運算及應用（1）設，，則；；；；；．（2）設，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識點五：法向量的求解與簡單應用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關系=1\*GB3①直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識點六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．知識點七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．【解題方法總結】用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關向量用基底向量表示，并進行向量運算．題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算例1．（2023·全國·高三專題練習）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同例2．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（

）

A． B．C． D．例3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┰谌忮FP-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（

）A． B． C． D．變式1．（2023·高三課時練習）如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．變式2．（2023·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，且，設，，，則下列向量與相等的向量是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【解題方法總結】空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，可以類比平面向量的運算法則．題型二：空間共線向量定理的應用例4．（2023·全國·高三專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對例5．（2023·全國·高三專題練習）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高三專題練習）向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，變式5．（2023·全國·高三專題練習）若點，，在同一條直線上，則（

）A．21 B．4 C．4 D．10變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知，，如果與為共線向量，則（

）A． B． C． D．變式7．（2023·浙江·高三專題練習）若、、三點共線，則（

）．A．B．C．D．【解題方法總結】空間共線向量定理：．利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．題型三：空間向量的數(shù)量積運算例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．例8．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）如圖，在平行六面體中，其中以頂點A為端點的三條棱長均為6，且彼此夾角都是，下列說法中不正確的是（

）

A．B．C．向量與夾角是D．向量與所成角的余弦值為例9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（

）A． B． C． D．變式8．（多選題）（2023·?？寄M預測）在平行六面體中，已知，，則（

）A．直線與所成的角為B．線段的長度為C．直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為變式9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）空間直角坐標系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標為或D．在方向上的投影向量的坐標為變式10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知空間向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則變式11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為.

變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知空間向量，，則在方向上的投影向量為.變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知是棱長為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則．變式14．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則．變式15．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知空間向量，，，若，則．變式16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知向量，向量，則與的夾角的大小為.【解題方法總結】；求模長時，可根據(jù)；求空間向量夾角時，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．為銳角；為鈍角．由此，通常通過計算的值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．題型四：證明三點共線例10．（2023·全國·高三專題練習）在四面體OABC中，點M，N分別為OA、BC的中點，若，且G、M、N三點共線，則．例11．（2023·全國·高三專題練習）已知點A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點共線，則．例12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點共線；(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．變式17．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點.求證：，E，N三點共線.【解題方法總結】先構造共起點的向量，，然后證明存在非零實數(shù)，使得．題型五：證明多點共面的方法例13．（2023·全國·高三專題練習）下面關于空間向量的說法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點不共面，則向量，，不共面例14．（2023·江蘇常州·高三?？茧A段練習）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、例15．（2023·全國·高三對口高考）已知，若三向量共面，則等于（

）A． B．9 C． D．變式18．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐中，棱長為2的側棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側棱、相交于點、，當時，截面的面積為（

）A． B．2 C． D．3變式19．（2023·全國·高三專題練習）為空間任意一點，若，若四點共面，則（

）A． B． C． D．變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．變式21．（2023·廣東廣州·高三執(zhí)信中學校考階段練習）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過點A作一個平面分別交于點E，F(xiàn)，G，若，則的值為（

）A． B． C． D．變式22．（2023·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（

）A．四點必共面 B．四點必共面C．四點必共面 D．五點必共面變式23．（2023·全國·高三專題練習）已知A、B、C三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（

）A． B．C． D．變式24．（2023·全國·高三專題練習）如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，，分別為，的中點．(1)若點是線段上的點，且，判斷點是否在平面內(nèi)，并證明你的結論；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式25．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；變式26．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，.(1)求二面角A－CF－D的余弦值；(2)判斷點D與平面CEF的位置關系，并說明理由.變式27．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在邊長為3的正方體中，點P，Q，R分別在棱，，上，且.（1）求點D到平面的距離；（2）若平面與線段的交點為N，求的值.變式28．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.

(1)求證：四點共面；【解題方法總結】要證明多點（如，，，）共面，可使用以下方法解題．先作出從同一點出發(fā)的三個向量（如，，），然后證明存在兩個實數(shù)，使得．題型六：證明直線和直線平行例16．（2023·高二課時練習）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，為的中點，，求證：．

例17．（2023·高二課時練習）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.例18．（2023·高二課時練習）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：.變式29．（2023·全國·高三專題練習）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．【解題方法總結】將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．題型七：證明直線和平面平行例19．（2023·全國·高三專題練習）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．(1)證明：平面；例20．（2023·廣東潮州·高三?？茧A段練習）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點．(1)證明：//平面AEC例21．（2023·天津濱海新·高三?？计谥校┤鐖D，且，，且，且，平面，.

(1)若為的中點，為的中點，求證：平面；變式30．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；變式31．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點，.

(1)求證：PB平面AEC；變式32．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)在線段AB（含端點）上，是否存在一點P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解題方法總結】（1）利用共面向量定理．設為平面內(nèi)不共線的兩個向量，證明存在兩個實數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．題型八：證明平面與平面平行例22．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

例23．（2023·高二課時練習）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.例24．（2023·高二課時練習）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG∥平面PBC．變式33．（2023·高二課時練習）在正方體中，分別是的中點，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求證：平面平面.【解題方法總結】（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．題型九：證明直線與直線垂直例25．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，.(1)求的長；(2)求證：.例26．（2023·北京海淀·高二?？计谥校┮阎忮F（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，和均為正三角形.在三棱錐中：(1)求點到平面的距離；(2)若點在棱上，滿足，點在棱上，且，求的取值范圍.例27．（2023·全國·高三專題練習）如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內(nèi)．(1)若為中點，求證：；(2)若平面，求線段長度的最小值．變式34．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┬比庵母骼忾L都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；變式35．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，棱臺中，，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面是邊長為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；變式36．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點，交于點E．(1)證明：；變式37．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎比庵?，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；

(1)證明：.【解題方法總結】設直線的方向向量為，則．這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．題型十：證明直線與平面垂直例28．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；例29．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）如圖，已知直三棱柱為的中點，為側棱上一點，且，三棱柱的體積為32．

(1)過點作，垂足為點，求證：平面；例30．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┤鐖D，直三棱柱中，，，，D為BC的中點，E為上的點，且．

(1)求證：BE⊥平面；變式38．（2023·全國·高三專題練習）如圖，直三棱柱的側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點，．(1)證明：平面；【解題方法總結】（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直例31．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；例32．（2023·全國·高三專題練習）已知在直三棱柱中，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；例33．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中校考三模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面平面；變式39．（2023·北京·北京四中?？寄M預測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；變式40．（2023·江西新余·高三江西省分宜中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點E在棱PD上，且.(1)證明：平面平面ACE；變式41．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點.(1)求證：平面平面PAD；變式42．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側面是等邊三角形，.(1)求證：平面平面；(2)設為側棱上一點，四邊形是過兩點的截面，且平面，是否存在點，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.變式43．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點，PD⊥平面ABC，點M在線段PE上．(1)再從條件①、②、③、④四個條件中選擇兩個作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；(2)在（1）的條件下，求直線BP與平面MBD所成的角的正弦值．條件①：；條件②：∠PED＝60°；條件③：PM＝3ME：條件④：PE＝3ME．【解題方法總結】（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面．題型十二：求兩異面直線所成角例34．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.例35．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學?？寄M預測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，為棱上的動點（不含端點），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.例36．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為變式44．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．變式45．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.變式46．（2023·全國·高三對口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)線段上是否存在點N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點N，并求的長；若不存在，說明理由．【解題方法總結】設兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．題型十三：求直線與平面所成角例37．（2023·湖南長沙·高三長郡中學校考假期作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.例38．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接.

(1)當為上不與點重合的一點時，證明：平面；(2)已知分別為的中點，是邊長為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當時，求與平面所成角的正弦值.例39．（2023·山西運城·高三?？茧A段練習）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點在直線上，求直線與平面所成角的最大值.變式47．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.

(1)求證：；(2)設是棱上的動點（不包括邊界），當?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.變式48．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.變式49．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.【解題方法總結】設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．題型十四：求平面與平面所成角例40．（2023·全國·高三專題練習）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)當多面體ABE﹣DCF的體積為4時，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．例41．（2023·黑龍江大慶·高三大慶中學校考開學考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．例42．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.變式50．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．變式51．（2023·全國·高三專題練習）在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.變式52．（2023·四川成都·高三四川省成都市第四十九中學校?？茧A段練習）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側面底面，側面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且．

(1)證明：底面；(2)當點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值．【解題方法總結】（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．（2）設是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)側，另一個指向二面角的外側，則二面角的余弦值為．題型十五：求點面距、線面距、面面距例43．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點.

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點F的位置；②求點C到平面PEF的距離.例44．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點到平面的距離.例45．（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點.

(1)當是棱的中點時，求證：平面；(2)若，，求點到平面距離的范圍.變式53．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．變式54．（2023·湖北·模擬預測）如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．變式55．（2023·云南昆明·昆明市第三中學?？寄M預測）如圖，已知是側棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側棱的中點.則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．變式56．（2023·全國·高三專題練習）兩平行平面分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．變式57．（2023·全國·高三專題練習）空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．變式58．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．變式59．（2023·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．變式60．（2023·全國·高三專題練習）已知是棱長為1的正方體，則平面與平面的距離為．變式61．（2023·高二單元測試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點，則直線到平面的距離為．變式62．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點，則直線到平面的距離為.變式63．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預測）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為．變式64．（2023·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．(1)求直線到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．【解題方法總結】如圖所示，平面的法向量為，點是平面內(nèi)一