一筆畫及多筆畫深入分析先講一筆畫概念：我是分割線擴展閱讀部分：哥尼斯堡城七橋問題18世紀初普魯士的哥尼斯堡有一個公園，公園里有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯系起來(如圖1)。當地的市民經常從事一項非常有趣的消遣活動。這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。很多人對此很感興趣，紛紛進行試驗，但在相當長的時間里，始終未能解決。而利用普通數學知識，每座橋均走一次，那這七座橋所有的走法一共有7×6×5×4×3×2×1=5040種，而這么多情況，要一一試驗，這將會是很大的工作量。但怎么才能找到成功走過每座橋而不重復的路線呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七橋問題”。1735年，哥尼斯堡的幾名大學生寫信給當時正在俄羅斯的彼得斯堡科學院任職的天才數學家歐拉，請他幫忙解決這一問題。歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，認真思考走法，但始終沒能成功，于是他懷疑七橋問題是不是原本就無解呢？歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地和小島看成a、b、c、d4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2所示。證明圖二能否一筆畫及怎么畫的問題即可解決哥尼斯堡城七橋問題。1736年29歲的歐拉向圣彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時，開創(chuàng)了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲。也由此展開了數學史上的新歷程。歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為“歐拉定理”。我是分割線一筆畫問題探討先說明幾個定義：奇結點：有奇數條邊的點稱為奇結點。偶結點：有偶數條邊的點稱為偶結點。例如圖三中：A有3條邊，是奇結點；B有3條邊，是奇結點；C有2條邊，是偶結點；D有2條邊，是偶結點；E有3條邊，是奇結點；F有3條邊，是奇結點；G有4條邊，是偶結點；這個圖有4個奇結點，3個偶結點。凡是能一筆畫的圖，我們稱之為歐拉圖。歐拉圖有以下3個特點：歐拉圖必須是連通圖。連通就是說任意兩個點之間可以找到一條直接連接或經由其它點連接它們的線。例如圖三就是個聯通圖，以下圖四，由⊿ABC和⊿DEF構成的一個圖就不是聯通圖。2.都由偶結點組成的連通圖，是歐拉圖。3.無論是否有幾個偶結點（也可以沒有偶結點），只有兩個奇結點的連通圖，是歐拉圖。對于1.很好理解，圖不聯通，肯定也就不能一筆畫了。例如圖四是怎么都無法一筆畫的（2個三角形之間沒有連接線，當然不聯通啦，也就不能一筆畫啦）。對于2.和3.我們通過以下幾個圖來理解：我們來看圖五圖五是個歐拉圖，圖中僅有一個點A，A既是圖的起點又是圖的終點，對A來說它有兩條邊，A是個偶結點?？磮D六圖六是個歐拉圖，圖中有兩個點，A和B，其中一個是起點，則另一個必是終點。A和B都是奇結點。看圖七圖七是個歐拉圖。我們現在只看C點，C有2條邊，被途經1次。因為連線途經C點，對C點來說，有一進線則必有一出線（否則也就不是途經了），點C是個偶結點。在一筆畫問題中，我們對于線段的長短以及線段是彎是直或是弧線并不關心，我們關注的是點與點之間是否有連線以及圖形的連接構造。因此可以說，就一筆畫問題，所有的圖都是由最基本的圖五、圖六、圖七所組合而成的。我們接著看圖八圖八也是一個歐拉圖。還看C點，C不是起點也不是終點，C有4條邊，被途經2次。在歐拉圖中，只要不是起點或終點的點永遠是有一進線則必有一出線，這個點無論被線路途經過多少次，它都是個偶結點，B點、C點、D點都不是起點或終點，且都是偶結點。接著看圖九圖九是個歐拉圖。這次我們重點看B點，點B是起點（或者是終點），它有3條邊，被途經1次，它是個奇結點。在歐拉圖中，起點和終點不是同一個點的話，起點或終點無論是否另有線路途經，無論被途經過多少次，它都是個奇結點。接著看圖十圖十是個歐拉圖。圖中的點都是偶結點，如果我們把A作為起點，則A也是終點，其它點都被途經，其中D被途經2次。我們也可以把D點作為起點，則D點也是終點，被途經1次。對于全是偶結點的聯通圖，它肯定是個歐拉圖，而且任何一點都可以作為起點一筆畫?？磮D十一圖十一不是一個歐拉圖，該圖共有4個奇結點。對于一個歐拉圖來說，如果起點和終點不是同一個點的話，那么起點必然是個奇結點，終點也必然是個奇結點。一個圖要想一筆畫，不可能有一個起點和多個終點，也不可能有多個起點和一個終點，更不可能有多個起點和多個終點。所以，只含有兩個奇結點，無論有無偶結點的聯通圖都是歐拉圖，這個圖的一筆畫只能從奇結點開始。另外還有一個推論：因為如果起點和終點不是同一個點的話，則有一起點就必有另一終點，起點和終點成對出現，且只能是奇結點（即使這個起點或終點又被其它線路途經，途經過程不能改變該點的奇偶性，不明白可回頭看看圖九的B點），所以無論能否一筆畫，聯通圖中的奇結點總是成對出現，即聯通圖中只可能有偶數個奇結點。不信你畫個含3個奇結點的聯通圖試試？再羅嗦一遍，談結論：1.能一筆畫的圖必須是聯通圖；2.全是偶結點的聯通圖能一筆畫，而且可以從任何一個點畫起；3；聯通圖中只含有2個奇結點的話，無論該圖有無偶結點都可以一筆畫，但只能從任一奇結點開始畫起；4；聯通圖中奇結點有2個以上的話，不能一筆畫；5；無論能否一筆畫，聯通圖中只可能有偶數個奇結點。現在一筆畫的概念都講完了，下面做一下，“日”、“田”、“串”、“目”這幾個字形能不能一筆畫，能一筆畫的話該怎么畫？哥尼斯堡城七橋問題答案是什么？我是分割線三.郵遞員最短線路問題郵遞員投遞信件的街道如圖十二所示，圖上數字表示各街道長度（單位：千米）。他從郵局出發(fā)，走遍整個街道，最后回到郵局，怎樣走路程最短？要走多少千米？（郵局在Y點）分析：圖中偶結點有A、E、F、Y共4個，奇結點有B、C、D、G、H、I共6個，超過2個奇結點，這個圖不能一筆畫完成，即要不重復地走遍街道是不可能的。為了走遍所有的街道，必須重復走某些街道。重復走哪些街道才能使總路程最短呢？由于任何一個聯通圖中奇結點的個數都是偶數，所以可把奇結點兩兩配對。如果在一對奇結點之間連一條虛線當作增添的重復邊，奇結點就變成了偶結點。因為只能從偶結點Y出發(fā)，所以只能增加虛線以改變B、C、D、G、H、I的邊數，使所有的這6個奇結點都變?yōu)榕冀Y點。用這種方法可使原來的圖變成沒有奇結點的歐拉圖（增添了重復邊）。現在的問題是如何去連這些虛線，才能保證總路程最短。為總路程最短，增加虛線的原則是：連線（虛線）不能有重疊線路，一個奇結點最多增加一條線路；（3）先連接路徑最短的奇結點；（4）根據（1）（2）（3）可得到推論：在每一個圈上，連線長度之和不能超過圈長的一半。為理解這四條原則，我們看看以下錯誤范例，圖十三：增加虛線后，B、C、D、G、H、I這6個奇結點都變?yōu)榕冀Y點。但BC之間有3條重疊線路，且結點B和C分別都增加了3條線段，導致路線變長。再看錯誤范例圖十四增加虛線后，B、C、D、G、H、I這6個奇結點都變?yōu)榕冀Y點。也沒有重疊線路，但請看BCHI這個圈子，原來圈長3+3+2+2=10，新增連線BI和CH，增加的路徑和為6，新增線路沒有按照先連接路徑最短的奇結點原則，導致新增路徑大于原圈長的一半。解：圖十二中點A、E、F、Y的邊都為2條，是偶結點；B、C、D、G、H、I的邊都為3條，是奇結點。圖中共有4個偶結點和6個奇結點，奇結點大于2個，不能一筆畫。因為Y