抽屜原理與排列組合.抽屜原理把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有3種放法，不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果?！M一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關鍵是要應用所學的數(shù)學知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”?！纠?】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？【分析】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙?！纠?】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？【分析】從最“不利”的取出情況入手。最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。故總共至少應取出10＋5=15個球。思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？(答案分別為31和33）當我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。提示語抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。運用抽屜原理的關鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類排列組合問題例1：某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析：某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食。其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法。故可以由乘法原理解決：解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法。例2：書架上有6本不同的外語書，4本不同語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少本不同的取法？分析：要做的事情是從外語、語文書中各取一本。完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）。所以，用乘法原理解決。解：從架上各取一本共有6×4＝24種不同的取法。例3：由數(shù)字0、1、2、3組成的三位數(shù)，問：（1）、可組成多少個不相等的三位數(shù)？（2）、可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析：在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應該一位一位地去確定。所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成。（1）：要求組成不相等的三位數(shù)。所以，數(shù)字可以重復使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個數(shù)字中任取一個，有4種不同的取法；個位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4＝48個不相等的三位數(shù)。（2）：要求組成的三位數(shù)中沒有重復數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一個，故只剩下0和其它兩個數(shù)字，故有3種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數(shù)字，故只能在剩下的兩個數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)。例4：現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析：要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個錢數(shù)，需一步一步地來做。如先取一解的，再取貳角的，最后取壹元的。但注意到，取2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的。這就會產(chǎn)生重復，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮。即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種。分析得知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共8種情況。整個問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢。這樣，第一步，從8張壹角的人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9×4＝36種情形，但注意到，要求”至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應減掉。所以有35種不同的情形。例5：學校組織讀書活動，要求每個同學讀一本書。小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？分析：在這個問題中，小明選一本書有三類方法。即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說。所以，是就用加法原理的問題。解：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法。例6：一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同。問：（1）、從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？（2）、從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？分析：（1）、從兩個口袋中只需取一個小球，則這個小球要么從第一個口袋中取，要么從第二個口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問題。（2）、要從兩個口袋中各取一個小球，則可看成先從第一個口袋中取一個，再從第二個口袋中取一個，分兩步完成，是乘法原理的問題。解（1）：3＋8＝11（種）（2）：3×8＝24（種）例7：有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析：要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮。第一類：兩個數(shù)字同