向量組的線性相關(guān)性

矩陣a-12，矩陣a=（12，m）=（ij）nxm，向量組a的線性相關(guān)性，矩陣a的秩，以及排列方程a的zs=0的解決方案（包括x=（x1、q2、…，xn）和非零子矩陣的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。這可以加深對(duì)這些概念的理解和應(yīng)用，并從不同角度和深度來(lái)處理問題。一、高齊次線性方程組和n維列向量組的關(guān)系1.向量組的線性相關(guān)性的定義:若存在一組不全為零的數(shù)λi=(i=1,2,…,n),使得,λ1?α1+λ2?α2+?+λn?αn=n∑i=1λi?αi=?0?則稱向量組A線性相關(guān),否則,稱向量組A線性無(wú)關(guān)。2.若向量組(或矩陣)A的秩R(A)=r,則r<m時(shí),向量組A線性相關(guān),r=m時(shí),向量組線性無(wú)關(guān)。3.若齊次線性方程組XA=?0有非零解,則向量組A線性相關(guān),否則(方程組只有零解),向量組A線性無(wú)關(guān)。4.若m=n,若矩陣A可逆,則向量組A線性無(wú)關(guān),否則向量組A線性相關(guān)。5.m>n時(shí),向量組A必線性相關(guān)。6.若矩陣A有一個(gè)m階非零子式,則向量組A線性無(wú)關(guān)。7.向量組等價(jià)的概念:若向量組B中的每一個(gè)向量都能由向量組A線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示;若向量組A與向量組B能互相線性表示,則稱向量組A與向量組B等價(jià),記為A～B。8.所含向量個(gè)數(shù)相等的兩個(gè)等價(jià)的向量組具有相同的線性相關(guān)性。9.矩陣乘積后秩不可能變大,即對(duì)任意矩陣A和B,有R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B)10.矩陣A乘一個(gè)非奇異陣(可逆陣)P后,不改變矩陣A的秩,從而不改變向量組A的線性相關(guān)性。11.對(duì)任意實(shí)矩陣A,有矩陣ATA與矩陣A秩相等,即R(ATA)=R(A)12.設(shè)有n維列向量組A:?α1??α2????αr線性無(wú)關(guān),顯然r<n。即矩陣A=(?α1??α2????αr)=(αij)nxr的秩為r,則ATA是r階非奇異的對(duì)稱陣。二、向量組b線性相關(guān)【例1】設(shè)向量組?α1??α2??α3??α4線性無(wú)關(guān),?β1=?α1+?α2??β2=?α2+?α3??β3=?α3+?α4??β4=?α4+?α1?試證向量組B:?β1??β2??β3??β4,線性相關(guān)。[證Ⅰ]因?yàn)?β1?-β2?+β3?-β4?=0??所以向量組B:β1??β2??β3??β4?線性相關(guān)。[證Ⅱ]記λ1β1?+λ2β2?+λ3β3?+λ4β4?=0?,則有(λ1+λ4)α1?+(λ1+λ2)α2?+(λ2+λ3)α3?+(λ3+λ4)α4?=0?因?yàn)棣??,α2?,α3?,α4?線性無(wú)關(guān),所以上式的系數(shù)全為零,即得線性方程組{λ1+λ4=0?λ1+λ2=0?λ2+λ3=0?λ3+λ4=0其系數(shù)行列式|B|=|1001110001100011|=0方程組有非零解,所以向量組B:β1?,β2?,β3?,β4?線性相關(guān)。[證Ⅲ]記(β1?,β2?,β3?,β4?)=(α1?,α2?,α3?,α4?)Κ,由行列式|Κ|=|1001110001100011|=r1+r3?r2+r4|1111111101100011|=0所以向量組B:β1?,β2?,β3?,β4?線性相關(guān)。例1給出的三種證明方法.證法Ⅰ正好湊成向量組線性相關(guān)的條件,這種方法具有很大的偶然性;證法Ⅱ利用了向量組線性相關(guān)性的定義,來(lái)尋找可以存在非零的系數(shù)λi(i=1,2,3,4),從而說(shuō)明向量組是線性相關(guān)的,這種方法具有一般性,是討論向量組線性相關(guān)性的基本方法;證法Ⅲ的立腳點(diǎn)就比較高,得到的結(jié)論是因?yàn)閨K|=0,由B=AK,可知向量組B的秩小于向量組A的秩,而R(A)=4,則R(B)<4,即向量組B的秩小于它的向量的個(gè)數(shù),所以向量組B線性相關(guān)?！纠?】設(shè)向量組A:α1?,α2?,??αr?線性無(wú)關(guān),β1?=α1?,β2?=α1?+α2?,??βr?=α1?+α2?+?+αr?則向量組B:β1?,β2?,??βr?線性無(wú)關(guān)。[證Ⅰ]記λ1β1?+λ2β2?+?+λrβr?=0??則有(λ1+λ2+?+λr)α1?+(λ2+λ3+?+λr)α2?+?+λrαr?=0?因?yàn)棣??,α2??,αr?線性無(wú)關(guān),所以上式的系數(shù)全為零,即得線性方程組{λ1+λ2+λ3+?+λr=0?λ2+λ3+?+λr=0?????λr=0其系數(shù)行列式|B|=|11?101?1????00?1|=1≠0,方程組只有零解,即λ1=λ2=…=λr=0所以向量組B:β1?,β2?,??βr?線性無(wú)關(guān)。[證Ⅱ]記(β1?,β2?,??βr?)=(α1?α2?,??αr?)Κ,由行列式|Κ|=|11?101?1????00?1|=1≠0,所以向量組B:β1?,β2?,??βr?線性無(wú)關(guān)。例Ⅱ的證明方法沿用了例Ⅰ的證法Ⅱ和證法Ⅲ?！纠?】已知向量組A:α1?,α2?,??αr?線性無(wú)關(guān),向量β?=k1α1?+k2α2?+?+krαr??k1≠0,試證向量組B:β?,α2?,??αr?線性無(wú)關(guān)。[證Ⅰ]用反證法.假設(shè)向量組B:β?,α2?,??αr?線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)λi(i=1,2,…,r),使得λ1β?+λ2α2?+?+λrαr?=0?,顯然λ1≠0(否則α2????αr?線性相關(guān),從而向量組A:α1??α2????αr?線性相關(guān)),于是有λ1Κ1α1?+(λ1Κ2+λ2)α2?+?+(λ1Κr+λr)αr?=0?,λ1Κ1≠0,即向量組A:α1?,α2?,??αr?線性相關(guān),與題設(shè)相矛盾,所以向量組B:β?,α2?,??αr?線性無(wú)關(guān)。[證Ⅱ]因?yàn)棣??能用向量組B線性表示為α1?=1Κ1β?-Κ2Κ1α2?-?-ΚrΚ1αr?,即向量組A能用向量組B線性表示,從而向量組A與向量組B等價(jià)。向量組A與向量組B中所含向量個(gè)數(shù)相等,且向量組A線性無(wú)關(guān),所以向量組B線性無(wú)關(guān)?！纠?】定義n維向量a?=(a1?a2???an)Τ和β?=(b1?b2???bn)Τ的內(nèi)積?α??β??=a1b1+a2b2+?+anbn。證明向量組α1??α2????αm?線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是Gram行列式不等于零,即G=G(α1?,α2?,??αm?)=|?α1??α1???α1??α2????α1??αm???α2??α1???α2??α2????α2??αm???????αm??α1???αm??α2????αm??αm??|≠0[證Ⅰ]充分性,由行列式G≠0證明向量組α1?,α2????αm?線性無(wú)關(guān)。用反證法,假設(shè)向量組α1??α2????αm?線性相關(guān),則其中必有一個(gè)向量可由其它m-1個(gè)向量線性表示,不妨設(shè)α1?=Κ2α2?+?+Κmαm?,于是,對(duì)行列式G做初等行變換r1-(k2r2+k3r3+…+kmrm)后,G中第一行元素?α1??αj???變?yōu)?α1?-(k2α2?+k3α3?+?+kmαm?)?αj?-(k2α2?+k3α3?+?+kmαm?)?=?0?αj?-(k2α2?+k3α3?+?+kmαm?)?=0從而得行列式G=|00?0?α2??α1???α2??α2????α2??αm???????αm??α1???αm??α2????αm??αm??|=0與條件G≠0相矛盾,故假設(shè)向量組α1??α2????αm?線性相關(guān)不能成立。所以向量組α1??α2????αm??線性無(wú)關(guān)。必要性,由向量組α1??α2????αm??線性無(wú)關(guān),證明行列式G≠0。也用反證法。假設(shè)G=0,則用高斯消元法,經(jīng)過初等行變換可以使它的最后一行全變?yōu)榱?。不妨設(shè)所做全部行變換(不考慮行對(duì)調(diào),若需要做行對(duì)調(diào),則下標(biāo)相應(yīng)調(diào)換不影響問題的結(jié)論)。rm+(k1r1+k2r2+…+km-1rm-1),則G中最后一行元素?αm??αj???變?yōu)?αm?-(k1α1?+k2α2?+?+km-1α?m-1)?αj?-(k1αj?+k2αj?+?+km-1αj?)?=0,對(duì)j=1,2,…,m均成立。顯然ki不全為零并且αj?≠0,由α1??α2????αm??線性無(wú)關(guān),知α1?-(k2α2?+k3α3?+?+kmαm?)=0。于是可知αm?可由α1??α2????αm??線性表示,即得向量組α1??α2????αm??線性相關(guān),與題設(shè)相矛盾。故假設(shè)G=0不能成立。所以G≠0。[證Ⅱ]記矩陣A=(α1??α2????αm?),則Gram行列式G=|AΤA|。充分性,由行列式G≠0證明向量組α1??α2????αm?,線性無(wú)關(guān)。因?yàn)镚=|AΤA|≠0,則矩陣ATA為滿秩矩陣,即R(ATA)=m。于是有m=R(ATA)≤R(A)≤m,即得R(A)=m,所以向量組α1??α2????αm?線性無(wú)關(guān)。必要性,由向量組α1??α2????αm?線性無(wú)關(guān),證明行列式G≠0。因?yàn)榫仃嘇=(α1??α2????αm?)的秩為m,所以矩陣ATA為非奇異的對(duì)稱陣,即得G=|AΤA|≠0。例4的兩種證明方法,分別采用了抽象度及理論性不同的兩種證法。很容易看出證法Ⅱ比證法Ⅰ簡(jiǎn)捷得多?！纠?】設(shè)向量β?可由向量組A:α1??α2????αr??線性表示,但不能由向量組α1??α2????α?r-1,線性表示,試證向量組A:α1??α2????αr?與向量組B:β?α1??α2????α?r-1等價(jià)。[證]顯然向量組