線性方程組的高斯消元法

高思消源法是一種古老的方法，其實質上是通過線性方程組的初行轉換來消除未知的變量。這種方法被稱為小說家卡爾高斯（carlputin），是中國古籍《九章計算》的第九章，寫于19世紀。在西方，17世紀的研究是由拉布尼茨（lavnitz）創(chuàng)立的。在19世紀，他研究了三種含有兩個未知道數(shù)量的線性方程的方程。19世紀，法國哲學家赫布森（br歇德，18歲）對線性方程進行了一系列研究，并從方程n的那一部分獲得了現(xiàn)代的poulier模型。19世紀，英國哲學家希思和巴特森繼續(xù)研究線性方程的理論。第一個引入了方程的自適應矩陣和第二個引入了方程的非正格矩陣的一般關系。后者證實了系數(shù)矩陣的特性和泛在x上的方程的相同性。這是現(xiàn)代方程理論的重要成就之一。大多數(shù)技術問題最終歸因于線性方程的解?，F(xiàn)在，線性方程的數(shù)值解在計算數(shù)學中發(fā)揮著重要作用。線性方程可分為兩類：一類是未知的數(shù)量，另一類是未知的數(shù)量與方程的數(shù)量之間的差值。我們可以使用消元法，或者在前一個特殊的線性方程中使用克里姆法則。1線性方程組的變換高斯消去法,實際上就是我們俗稱的加減消元法,數(shù)學上,高斯-約當消去法,由高斯和約當?shù)妹?很多人將高斯消元法作為完整的高斯-約當消去的前半部分),它是線性代數(shù)中的一個算法.用高斯消元法求解任意多個方程任意多個未知數(shù)的線性方程組,其思想方法是自上而下依次減少方程組中各方程中未知數(shù)的個數(shù),使之成為階梯形方程組,這樣做其實是施行了一系列的變換,這些變換包括:1)把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上;2)互換兩個方程的位置;3)用一個非零的數(shù)乘某個方程的兩邊.這3種變換稱為線性方程組的初等變換,經過初等變換,把原有方程組變?yōu)殡A梯形方程組,然后去解階梯形方程組(從最后1個方程開始,逐次往上解),求得的解就是原方程組的解.例1求此線性方程組的解.分析:從線性方程組中可以我們看出此方程組含有4個未知量,我們要設法消去其中的3個未知量,最后剩下1個未知量,那么就可以求出剩下未知量的值,把所求得未知量的解逐次往上代入經初等變換所得的簡化階梯形方程組中,就可以依次求出剩下3個未知量的值,求得的解就是原方程組的解.今后我們用記號“②+①.(-3)”表示把方程組的第1個方程的(-3)倍加到第2個方程上;用記號“(②,④)”表示把方程組的第2、4個方程互換位置;用記號④×c表示用非零數(shù)c乘第4個方程.方程組(2)的最后一個方程含未知量x4的一次方程,由此得,x4=1.然后往回代入(2)的第3,2,1個方程,相繼求得,x3=2,x2=-1,x1=3.于是得到(3,-1,2,1)是原方程組(1)的唯一一個解.2用克拉默法則解線性方程組克萊姆法則:n個方程的n元線性方程組,如果它的系數(shù)行列式|A|≠0,則它有唯一解;如果它的系數(shù)行列式|A|≡0,則它無解或者有無窮多個解.n個方程的n元線性方程組的系數(shù)行列式|A|≠0時,它的唯一解是,其中|A|是方程組的系數(shù)行列式,并且例2用克拉默則解線性方程組1)線性方程組的個數(shù)與未知量的個數(shù)必須相同,但一般線性方程組并非如此.2)對于齊次線性方程組永遠有解,其解僅有2種情況:要么有唯一零解,要么有無窮多個非零解,因此克拉默法則用于齊次線性方程組時,有著重要的理論價值,很多的命題需要用它來證明.3)非齊次線性方程組的解有3種情況:無解、有唯一解、有無窮多解,但克拉默法則只適應于有唯一解(系數(shù)行列式不等于零)的情形,且計算量大,所以用克拉默法則解線性方程組具有局限性,而任何一個線性方程組的增廣矩陣都可以通過初等變換變成階梯型矩陣,從而可以判定原方程組是否有解,再有解的情況下,就可以很容易求其解.因此可以用矩陣初等變換來求解任何一個線性方程組.3簡化階梯形矩陣的初始變換矩陣的初等變換在高等代數(shù)、線性代數(shù)以及初等數(shù)論中具有廣泛應用,主要依據是矩陣的初等變換在變換前后保持矩陣的秩不變.矩陣的初等變換包括初等行變換和初等列變換.下面所探究的是用矩陣的初等行變換解線性方程.解任何一個矩陣都能經過一系列初等變換化成階梯形矩陣,并且能進一步用初等變換化成簡化行階梯形矩陣.在解線性方程組時,把它的增廣矩陣經過初等行變換化成簡化階梯形矩陣,行簡化階梯形矩陣所對應的階梯形方程組與原方程組同解.當方程組有解時,將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量,其余的未知量取為自由未知量,即可找出線性方程組的解.而對矩陣A施行的下列3種變換稱為A的初等行變換:1)交換A的第i行與第j行,記作Ri<-->Rj;2)用一個非零實數(shù)c乘以A的第i行,即用該數(shù)乘以該行的每個元素,所得各數(shù)按原來次序作為同一行的元素,記作Ri·c;3)用一實數(shù)c乘以A的第j行后,再加到A的第i行上,記作Ri+Rj·c.例3:求非齊次線性方程組的解.最后這個簡化行階梯形矩陣表示的線性方程組是從第1個方程看出,對于x2每取一個值c2,可以求x1=c2+2,從而得到原方程組的一個解:(c2+2,c2,-1).由于c2可以取任意一個數(shù),因此原方程組有無窮多個解.因此方程組的一般解為其中x2是自由未知量,由一般解得到方程組的一個特解為由于原方程組與它的導出組的系數(shù)矩陣相同,因此把原方程組的一般解的常數(shù)項去掉,就得到導出組的一般解為其中x2是自由未知量,從而得到導出組的一個基礎解系為所以非齊次線性方程組的解集:U={γ0+k1η1|k1∈K}.4添加約束對話求解線性方程組是在科研和生產實際中常遇到的問題,當未知數(shù)的個數(shù)較多時,用Excel解線性方程組是很方便的.通過Excel的計算功能和復制功能,不用編程,我們就可求解或驗證線性方程組的解,對小數(shù)位數(shù)的快速設置,我們甚至無須像編程那樣進行計算精度重新定義,只需選取全部計算數(shù)據,再選擇增加小數(shù)位數(shù),即可得到任意小數(shù)位數(shù)的計算結果.例4求解線性方程組的解解:可按如下的步驟來解這個方程組:1)打開Excel.2)由于在本方程組中未知數(shù)有4個,所以預留4個可變單元格的位置A1～A4.3)將活動單元格移至B1處,從鍵盤鍵入:=A1+A2+2*A3+3*A4:然后回車(此時B1顯示0).即在B1處輸入方程組中第1個方程等號左邊的表達式.4)在B2處從鍵盤鍵入:=3*A1-A2-A3-2*A4;然后回車(此時B2顯示0).即在B2處輸入方程組中第2個方程等號左邊的表達式.5)在B3處從鍵盤鍵人:=2*A1+3*A2-A3-A4;然后回車(此時B3顯示0).即在B3處輸入方程組中第3個方程等號左邊的表達式.6)在B4處從鍵盤鍵入:=A1+2*A2+3*A3-A4;然后回車(此時B4顯示0).即在B4處輸入方程組中第4個方程等號左邊的表達式.7)點擊工具、規(guī)劃求解,出現(xiàn)規(guī)劃求解參數(shù)對話框.8)對話框中第1欄為:設置目標單元格,在相應的框中填入$B$1.9)對話框中第2欄為:等于;后有3個選項,依次為最大值,最小值,值為.根據題意B1表示方程組中第1個方程等號左邊的表達式,它的值應為1,因此點擊值為前的圓圈,輸入1.10)對話框中第3欄為:可變單元格;我們預留的可變單元格為A1-A4,所以在可變單元格框內鍵入A1:A4.11)對話框中最后一欄為:約束;首先點擊添加按鈕,屏幕出現(xiàn)添加約束對話框.12)在添加約束對話框的單元格引用位置鍵入:B2;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束值處鍵入:-4;然后按添加按鈕,屏幕出現(xiàn)空白的添加約束對話框.13)在添加約束對話框的單元格引用位置鍵入:B3;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束值處鍵入:-6;然后按添加按鈕,屏幕出現(xiàn)空白的添加約束對話框.14)在添加約束對話框的單元格引用位置鍵入:B4;在中間的下拉式菜單中選取=;在約束