n階矩陣的逆矩陣

矩陣是數(shù)學(xué)的一個非常重要和廣泛的概念。它是線性數(shù)學(xué)和代數(shù)學(xué)的主要研究對象和重要工具。它廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等多個領(lǐng)域,因而也就使矩陣成為代數(shù),特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象。它主要討論的是解線性方程組的理論問題,線性變換的理論,旋轉(zhuǎn)坐標軸變換公式的矩陣表示,二次曲線一般方程的矩陣表示,國民經(jīng)濟中的調(diào)運方案等等問題?？赡婢仃囋诰仃嚴碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?它猶如有理數(shù)中的倒數(shù)。那么可逆矩陣的判定就顯得非常重要了。判定矩陣可逆性的方法有定義法、行列式法、初等變換法、初等矩陣法、對角矩陣法、線性方程組法等等。一、逆矩陣與可逆矩陣定義1:設(shè)A是數(shù)域F上一個n階矩陣,若存在F上的n階矩陣B,使得其中I是n階單位矩陣,那么A叫做一個可逆矩陣,B叫做A的逆矩陣。注意:根據(jù)矩陣乘積的定義,滿足上述定義的A必為n階方陣,從而有定理1:對于n階方陣A,若存在F上n階方陣B,使得則A可逆。二、確定矩陣可逆性方法：列方程法定理2:對n階矩陣A,若detA≠0,則矩陣A可逆。求逆矩陣的伴隨矩陣公式如上例中三、確定矩陣可逆性方法—判定矩陣可逆性方法——初等變換法(一)不等于零的子式矩陣的秩是指一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)。若一個矩陣沒有不等于零的子式,就認為它的秩是零,它也是判定矩陣可逆性的一種方法。定理3:若一個n階矩陣A的秩等于n,則矩陣A可逆。(二)君列的可逆矩陣定義2:對一個矩陣施行下列變換:1.交換矩陣的某兩行(列)的位置;2.矩陣的某一行(列)乘以一個非零數(shù)k,即用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一個元素;3.矩陣的某行(列)乘以數(shù)k加到另一行(列),即用某一數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一個元素后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上。定理4:對矩陣A施行初等變換后,得到矩陣可逆,則A可逆.定理5:對矩陣A施行初等變換后,得到的階梯形矩陣的非零行數(shù)為n,則A可逆.定理6:對矩陣A施行初等變換后,若得到的標準形矩陣為單位矩陣,則A可逆.用初等變換法求逆矩陣:我們施行初等變換把A化為I,但每次對右邊的矩陣施行同樣的初等變換,從第二行和第三行分別減去第一行的3倍和-1倍,得進行一系列行初等變換后,得最后一個矩陣就是A-1,即矩陣是否可逆根據(jù)上面的例子可得,它不會因為施行了初等變換而有所改變。正是因為這樣,它才是判定矩陣可逆性最普遍、最重要的一種方法.四、可逆初等矩陣的生成定義3:對單位矩陣施行一次初等變換得到的矩陣叫做初等矩陣.A軍是經(jīng)過對A施行初等變換得到的,那么存在一個對應(yīng)的初等矩陣E使用E的逆矩陣E-1左乘上式的兩端,得E-1可逆,當可逆時,A也可逆.定理7:n階矩陣,可以寫成初等矩陣的乘積時可逆.A可以通過一系列初等變換化為單位矩陣I,就是說,單位矩陣I可以通過一系列初等變換化為A,存在初等矩陣E1,…,Es,Es+1,…,Et使A可逆,A可以表示成初等矩陣的乘積于是Et-1E-1t-1…E1-1A=I初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣,對A施行行初等變換將A化為單位矩陣I,用A-1右乘上式兩端,得五、對角矩陣可逆性一個m×n矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個矩陣這里Ir是R階單位矩陣,Ost表示s×t的零矩陣,r等于A的秩,A軍是一個對角矩陣。對角矩陣是指除主對角線以外的元素全為0的矩陣。對角矩陣是否可逆這是很容易看出的,當A軍等于單位矩陣I時,A軍可逆,因為I本身就是I的逆矩陣。當一個矩陣通過變化后得到上述兩種矩陣,則原矩陣A可逆。這兩種矩陣和上面的初等矩陣都是判定矩陣可逆性的一種特殊情況,只要它們具有可逆性,那么矩陣也就具有了。定理8:對矩陣A施行初等變換后,如果得到的矩陣為對角線上的元素都不等于零的對角矩陣,那么A可逆。六、deta=0的計算這里Ast是行列式detA中元素ast的代數(shù)余子式,由此容易看出那么當A*可逆時,detA≠0它是求逆矩陣的公式,但同時它也可以判定一個矩陣是否具有可逆性,這也算是一種方法,它的計算量非常大,一般主要在理論方面。七、當方程的系數(shù)行列式deta=0時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時,系數(shù)矩陣a可逆時系數(shù)矩陣a利用矩陣乘法可以把這個線性方程組寫成這里(aij)=A是方程組的系數(shù)矩陣,當方程組的系數(shù)行列式detA≠0時,系數(shù)矩陣A可逆。這樣可以求出線性方程組的解,這是矩陣一種常見的應(yīng)用,不屬于矩陣可逆性判定的方法,但是非常重要,因此把它放在這里。八、可逆性判定矩陣定理:若n階矩陣的行向量組(或列向量組)的秩等于n,則矩陣可逆。定理:若n階矩陣的行向量組(或列向量組)線性無關(guān),則矩陣可逆。利用矩陣可逆性判定的方法可以很快地求出矩陣的逆矩陣,它對學(xué)習(xí)矩陣起著至關(guān)