NUMPAGES46DATE\"yy-M-d"6/8/2022..第十二章曲線積分與曲面積分一．根本要求1．正確理解兩類曲線積分與兩類曲面積分的概念和性質(zhì)及幾何意義和物理意義。2．熟練掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的計(jì)算方法，了解兩類曲線積分和兩類曲面積分之間相互關(guān)系。3．掌握格林公式及應(yīng)用，熟悉和會應(yīng)用平面曲線積分與路經(jīng)無關(guān)的條件。掌握二元函數(shù)全微分方程的求解方法。4．掌握高斯公式及應(yīng)用，了解斯托克斯公式，知道通量與散度，環(huán)流量與旋度。5．會用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物理量〔弧長、曲面面積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、功及流量等〕。二．主要容(見第二頁至第十三頁)主要容聯(lián)系〔框圖〕曲線積分和曲面積分〔表格〕曲線和曲面積分的解題步驟〔框圖〕格林公式、高斯公式及斯托克斯公式〔表格〕在平面區(qū)域上曲線積分與路徑無關(guān)的〔四個(gè)等價(jià)〕條件〔框圖〕全微分方程〔框圖〕注解〔注一至注十〕〔表格〕三．考點(diǎn)與難點(diǎn)考點(diǎn)：1．兩類曲線積分化為定積分的計(jì)算方法及兩類曲面積分化為二重積分的計(jì)算方法。2．格林公式和高斯公式成立的條件和結(jié)論，正確靈活地應(yīng)用格林公式和高斯公式。3．應(yīng)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的四個(gè)條件。4．曲線積分和曲面積分的幾何意義和物理意義，將幾何問題和物理問題化為曲線積分問題和曲面積分問題求解。難點(diǎn)：應(yīng)用各類型的積分之間關(guān)系，選擇適宜的〔可計(jì)算的，更方便的〕積分計(jì)算。四．例題及題解〔見第十四頁至第二十一頁〕例至例五．局部習(xí)題題解〔見第二十二頁至第三十頁〕習(xí)題〔一〕至習(xí)題〔十五〕六．試卷〔見第三十一頁至第三十八頁〕試卷、試卷、試卷七．試卷答案及題解〔見第三十九頁至第四十六頁〕試卷、試卷、試卷答案及題解二．主要內(nèi)容1。主要容聯(lián)系〔框圖〕曲面積分聯(lián)系曲面積分聯(lián)系曲線積分斯托克斯公式〔空間上〕斯托克斯公式〔空間上〕意義推廣意義推廣特殊特殊聯(lián)系高斯公式格林公式〔平面上〕聯(lián)系高斯公式格林公式〔平面上〕聯(lián)系意義意義散度、通量。散度、通量。參見注解之注九旋度、環(huán)流量。參見注解之注十〔物理意義〕〔化為〕二重積分〔化為〕二重積分〔化為〕三重積分在平面區(qū)域在平面區(qū)域上曲線積分與路徑無關(guān)的〔四個(gè)等價(jià)〕條件應(yīng)應(yīng)用對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分聯(lián)系聯(lián)系對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分聯(lián)系聯(lián)系對弧長的曲線積分兩類曲面積分之間聯(lián)系公式兩類曲線積分之間聯(lián)系公式兩類曲面積分之間聯(lián)系公式兩類曲線積分之間聯(lián)系公式求全微分函數(shù)求全微分函數(shù)聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系直接法參見解題步驟及注解之注八直接法參見解題步驟及注解之注七直接法參見解題步驟及注解之注四直接法參見解題步驟及注解之注三直接法參見解題步驟及注解之注八直接法參見解題步驟及注解之注七直接法參見解題步驟及注解之注四直接法參見解題步驟及注解之注三全微分方程全微分方程〔化為〕定積分〔化為〕二重積分〔化為〕定積分〔化為〕二重積分2．曲線積分和曲面積分〔表格〕〔A〕兩類曲線積分及相互之間聯(lián)系類型積分類型容對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義平面：空間：〔光滑曲線弧〕───積分弧段〔在上有界〕───被積函數(shù)〔在上有界〕───被積函數(shù)參見注解之注一〔第12頁〕平面：空間：類似定義：、。〔光滑有向曲線弧〕───積分弧段〔在上有界〕───被積函數(shù)〔在上有界〕───被積函數(shù)參見注解之注二〔第12頁〕幾何意義及物理意義平面：；空間：當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)是曲線弧或的弧長。平面：當(dāng)非負(fù)，為與軸平行的柱面?zhèn)让娣e。[柱面底是，高是]。線密度為被積函數(shù)的曲線弧或的質(zhì)量。變力沿有向曲線所作的功變力沿有向曲線所作的功向量形式，,的定義見左側(cè)。，的定義見左側(cè)。性質(zhì)1．〔為常數(shù)〕2．〔〕3．設(shè)在上，那么特別地1．〔為常數(shù)〕2．〔，與的方向一致〕3．是的反向曲線弧，那么解題方法直接法：化為定積分。參見解題步驟及注解之注三〔第7頁、第12頁〕。聯(lián)系法：化為對坐標(biāo)的曲線積分，再應(yīng)用對坐標(biāo)的曲線積分解題方法之直接法及公式法。參見解題方法及兩類曲線積分之間聯(lián)系〔本頁〕。直接法：化為定積分。參見解題步驟及注解之注四〔第7頁、第12頁〕。當(dāng)曲線積分與路徑無關(guān)，選一條更方便路線〔選與坐標(biāo)軸平行的折線段替代規(guī)定路線〕簡化計(jì)算。參見曲線積分與路徑無關(guān)的條件〔第10頁〕。聯(lián)系法：化為對弧長的曲線積分，再應(yīng)用對弧長的曲線積分解題方法之直接法。參見解題方法及兩類曲線積分之間聯(lián)系〔本頁〕。公式法：對封閉的積分路線，應(yīng)用格林公式化為重積分，對非封閉的積分路線，補(bǔ)上一條使之封閉，然后再應(yīng)用格林公式化為重積分，〔轉(zhuǎn)化后的重積分及補(bǔ)上的曲線積分要容易計(jì)算〕，假設(shè)積分路線為空間曲線上述格林公式改為斯托克斯公式即可。參見格林公式，高斯公式及斯托可斯公式〔第9頁〕。兩類曲線積分之間的聯(lián)系〔平面上〕〔空間上〕。。是有向曲線在點(diǎn)處的單位切向量或〔B〕兩類曲面積分及相互之間聯(lián)系類型容對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定義〔光滑曲面〕───積分曲面〔在上有界〕───被積函數(shù)。參見注解之注五〔第12頁〕。〔光滑有向曲面〕───積分曲面〔在上有界〕───被積函數(shù)。參見注解之注六〔第13頁〕。幾何意義及物理意義當(dāng)為空間薄片的面積。面密度為的空間薄片的質(zhì)量。流速的流體〔不可壓縮〕在單位時(shí)間穿過有向曲面的通量〔流量〕。向量形式性質(zhì)1．〔為常數(shù)〕2．3．在上，那么特別地1．〔為常數(shù)〕2．〔與的方向一致〕3．是取相反側(cè)的有向曲面，那么解題方法直接法：化為重積分。參見解題步驟及注解之注七〔第8頁、第13頁〕。聯(lián)系法：化為對坐標(biāo)的曲面積分，再應(yīng)用對坐標(biāo)的曲面積分解題方法之直接法及公式法。參見解題方法及兩類曲面積分之間聯(lián)系〔本頁〕。公式法：對封閉的積分曲面，應(yīng)用高斯公式化為重積分，對非封閉的積分曲面，補(bǔ)上一片使之封閉，然后再應(yīng)用高斯公式化為重積分，〔轉(zhuǎn)化后的重積分及補(bǔ)上的曲面積分要容易計(jì)算〕。直接法：化為重積分。參見解題步驟及注解之注八〔第8頁、第13頁〕。聯(lián)系法：化為對面積的曲面積分，再應(yīng)用對面積的曲面積分解題方法之直接法及公式法。參見解題方法及兩類曲面積分之間聯(lián)系〔本頁〕。公式法：對封閉的積分曲面，應(yīng)用高斯公式化為重積分，對非封閉的積分曲面，補(bǔ)上一片使之封閉，然后再應(yīng)用高斯公式化為重積分，〔轉(zhuǎn)化后的重積分及補(bǔ)上的曲面積分要容易計(jì)算〕。兩類曲面積分之間的聯(lián)系。是有向曲面在點(diǎn)處的單位法向量或3．曲線積分和曲面積分的解題步驟〔框圖〕(A)曲線積分(直接法)曲線積分解題步驟曲線積分解題步驟對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分第一步第一步曲線弧在軸投影為零〔曲線?。浩渲?常數(shù)〕〔為中之一〕對坐標(biāo)〔為中之一〕對坐標(biāo)的曲線積分為零不得選取為積分變量曲線弧起點(diǎn)和終點(diǎn)分別對應(yīng)于參數(shù)。曲線弧起點(diǎn)和終點(diǎn)分別對應(yīng)于參數(shù)。：曲線弧兩端點(diǎn)對應(yīng)于參數(shù)。。第二步曲線弧在軸投影非零第二步曲線弧在軸投影非零確定的變化X圍。((平面上)〔空間上〕第三步確定積分元素第三步確定積分元素〔平面上〕〔平面上〕(空間上)〔平面上〕(空間上)第四步第四步曲線弧上的被積函數(shù)化成關(guān)于t的函數(shù)第五步定積分的計(jì)算式第五步定積分的計(jì)算式〔B〕曲面積分〔直接法〕曲面積分解題步驟第三步確定積分元素曲面積分解題步驟第三步確定積分元素對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對面積的曲面積分第一步第一步曲面在坐標(biāo)面上投影為零對坐標(biāo)的曲面積分為零選取其它坐標(biāo)面對坐標(biāo)的曲面積分為零選取其它坐標(biāo)面第二步第二步曲面在坐標(biāo)面上投影非零確定曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域〔不妨坐標(biāo)面為平面〕以投影區(qū)域作為積分區(qū)域由曲面的方向確定曲面在坐標(biāo)面上投影的正負(fù)號以投影區(qū)域作為積分區(qū)域由曲面的方向確定曲面在坐標(biāo)面上投影的正負(fù)號。以投影區(qū)域作為積分區(qū)域第四步第四步曲面上的被積函數(shù)化成關(guān)于積分區(qū)域上的函數(shù)第五步二重積分的計(jì)算式第五步二重積分的計(jì)算式4．格林公式，高斯公式及斯托克斯公式〔表格〕類型容格林公式高斯公式斯托克斯公式定理設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么有設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成。函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么有設(shè)為分段光滑的空間有向曲線，函數(shù)。在曲面〔連同邊界〕上具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么有公式其中是的取正向的邊界曲線。這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦。是以為邊界的分片光滑的有向曲面。的正向與的側(cè)符合右手規(guī)那么。向量形式是在點(diǎn)處的單位法向量。或的定義可見左側(cè)是在點(diǎn)處的單位切向量?；蛞饬x幾何應(yīng)用設(shè)由閉曲線所圍成的區(qū)域D的面積為物理意義向量場通過有向閉曲面外側(cè)的通量〔流量〕等于向量場的散度在有向閉曲面圍成區(qū)域上的三重積分。參見〔注九〕物理意義向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場的旋度場通過所的曲面的通量〔流量〕。參見〔注十〕5．在平面區(qū)域上曲線積分與路徑無關(guān)的〔四個(gè)等價(jià)〕條件〔框圖〕1．定義：對于區(qū)域1．定義：對于區(qū)域內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩曲線，等式恒成立等價(jià)等價(jià)2．沿區(qū)域2．沿區(qū)域內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零。即在單流通域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在單流通域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。等價(jià)，在單連通域，在單連通域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)等價(jià)在在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分。即存在使，在單連通域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。牛頓牛頓－萊布尼茲公式：其中為路徑的起點(diǎn)，為終點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有一價(jià)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)NoYesNoYes存在存在(稱為積分因子)存在存在，使全微分方程求解全微分方程求解所確定的隱函數(shù)是方程的通解.所確定的隱函數(shù)是方程的通解.(是任意常數(shù))全微份積分法全微份積分法的求法求法一,。，即。。求法二牛頓－萊布尼茲公式：或這里均屬于。7．注解〔注一至注十〕〔表格〕注一上任意插入點(diǎn)列。為上第個(gè)小弧段長度，為上第個(gè)小弧段任意取定點(diǎn)。。注二上任意插入點(diǎn)列。，為上的長度。為上任意取定點(diǎn)。注三〔參數(shù)方程〕：?！蔡厥獾亍常??！蔡厥獾亍常??？臻g曲線弧〔參數(shù)方程〕：。注四〔參數(shù)方程〕：〔參數(shù)由變到。對應(yīng)于的起點(diǎn)，對應(yīng)于的終點(diǎn)〕。：〕〔特殊地〕：〔特殊地〕：空間曲線弧〔參數(shù)方程〕：。。注五任意分成小塊曲面〔也代表第小塊的面積〕。在上任意取定點(diǎn)。為的直徑。注六任意分成小塊曲面〔也代表第小塊的面積〕，在上任意取定點(diǎn)，為的直徑，。在面上的投影為,在面上的投影為,在面上的投影為。注七：。在面上投影區(qū)域：。：。在面上投影區(qū)域：。：。在面上投影區(qū)域：注八：。在面上投影區(qū)域，：。在面上投影區(qū)域，：。在面上投影區(qū)域，注九。向量場的散度：〔散度為數(shù)量〕。向量場通過曲面〔向著指定側(cè)〕的通量〔流量〕：〔〕或。注十。向量場的旋度：〔旋度為向量〕。向量沿有向閉曲線的環(huán)流量：〔〕或。四．例題及題解〔一〕曲線積分和格林公式：例1計(jì)算曲線積分，其中是頂點(diǎn)為的三角形的邊界。解：例2計(jì)算曲線積分，為上例曲線的有向曲線，方向取逆時(shí)針。解法一：。。：：，：：，：：。垂直軸,即。解法二：由圍住的三角形區(qū)域的面積為。。應(yīng)用格林公式：例3橢圓曲線?。旱木€密度為寫出曲線弧長的定積分形式。求曲線弧的平均密度。解：由弧長的曲線積分的物理及幾何意義，曲線弧的質(zhì)量為，弧長，那么橢圓曲線弧的參數(shù)方程：{?！病郴￠L當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍€弧關(guān)于軸和軸對稱，關(guān)于軸、關(guān)于軸為奇函數(shù)，在上積分為零，故，。例4計(jì)算。其中：橢圓曲線在第一象限局部順時(shí)針方向的一段。解法一：直接計(jì)算L：橢圓曲線參數(shù)方程{由方向知由計(jì)算法8解法二：利用格林公式。曲線為非封閉，補(bǔ)充曲線作作,為點(diǎn)坐標(biāo)。因?yàn)?。故即。曲面積分和高斯公式：例5計(jì)算。其中是平面上方的拋物。且分別等于〔A〕1;〔B〕;〔C〕.并給出上述每種幾何或物理解釋。解：坐標(biāo)面選取平面，投影區(qū)域：，面積元素.解當(dāng)，。表示曲面的面積，也表示面密度為1的曲面的質(zhì)量。解當(dāng)，表示面密度為的曲面的質(zhì)量，也表示面密度為1的曲面對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解當(dāng)表示面密度為的曲面的質(zhì)量。例6計(jì)算，為上例有向曲面，取下側(cè)方向。分別等于1，，3解：在坐標(biāo)面的投影區(qū)域：。上側(cè)取負(fù)號。解當(dāng)。。解當(dāng)解當(dāng)。計(jì)算，：由錐面，平面及所圍在第一、四卦限局部閉曲面外側(cè)。解法一：直接法，。：。：，：。在平面上投影為零。、在平面上投影為三角形區(qū)域。：，為前側(cè)，為后側(cè)。解法二：利用高斯公式。注意到。曲面為外側(cè)，為所圍住的空間區(qū)域，應(yīng)用高斯公式?！踩乘雇锌怂构郊皟深惽娣e分之間聯(lián)系：例8設(shè)C為平面上的閉曲線，C：{曲面為平面被柱面所截有限局部的下側(cè)。C所圍區(qū)域面積為。計(jì)算解：平面取下側(cè)的單位法向量將原式化為對面積的曲面積分，然后再化到關(guān)于坐標(biāo)的二重積分。原式。例9計(jì)算，其中L是平面與柱面的交線，從正軸正向看去，L為順時(shí)針方向。解：可知所圍成的曲面為平面上所圍成局部的下側(cè)。由斯托克斯公式得：，。區(qū)域的面積。由上例知原式?！菜摹酬P(guān)于曲線積分與路徑無關(guān)條件及全微分求積：例10在平面具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，且是從點(diǎn)至點(diǎn)的曲線弧。求〔1〕確定?！?〕求?！?〕計(jì)算解：〔1〕設(shè)，由曲線積分與路徑無關(guān)條件即。〔2〕〔3〕例11設(shè)區(qū)域。微分方程微分方程：驗(yàn)證是所給微分方程在上的積分因子。利用曲線積分求的全微分函數(shù)。寫出所給微分方程的通解。解〔1〕設(shè)。。是全微分方程。故是微分方程積分因子?！?〕是全微分方程。故在區(qū)域與路徑無關(guān)。取到的折線〔折線屬于〕或取到的折線〔折線屬于〕〔3〕通解為。為任意常數(shù)。〔五〕對弧長的空間曲線積分例12計(jì)算，其中：{解：由積分曲線對于坐標(biāo)的輪換對稱性可得因此由于是以原點(diǎn)為中心，半經(jīng)為的圓。其周長為故。例13設(shè)空間曲線弧為球面，及平面的交線。曲線弧的線密度，求曲線弧的質(zhì)量。解：化為參數(shù)方程：。曲線弧的質(zhì)量?！擦尺x擇題例14設(shè)為平面的第一卦限局部，那么=〔〕?！睞〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕解：選，，被積函數(shù)，投影區(qū)域D：。應(yīng)選例15設(shè)：，是在xoy平面的下半局部，為在第一卦限中的局部，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕解：選。與的右端由對稱性為零，左端被積函數(shù)大于零，左端大于零。故與錯(cuò)。設(shè)為在第五卦限中的局部，因關(guān)于對稱。關(guān)于為偶函數(shù)。故在上，在上，故與中選。五。局部習(xí)題題解〔一〕．圓周上任一點(diǎn)的線密度與該點(diǎn)到點(diǎn)的距離成正比〔比例常數(shù)為〕，求其質(zhì)量。解：線密度，圓周的參數(shù)方程為：。質(zhì)量為?！捕场Ｓ?jì)算，其中為不包圍也不通過原點(diǎn)的任意閉曲線；以原點(diǎn)為中心的正向的圓，半徑為；包圍原點(diǎn)的任意正向閉曲線。解〔1〕。所包圍的區(qū)域無原點(diǎn)，由格林公式：〔2〕：，且正向。：。。作以原點(diǎn)為中心，半徑為〔充分小〕的圓周，使完全落在，取為順時(shí)針方向，那么在為邊界的區(qū)域無原點(diǎn)，由格林公式：。即：。〔三〕。在過點(diǎn)和點(diǎn)的曲線族中求一條曲線，使沿該曲線從到的積分的值最小。解：〔舍去〕。曲線為?！菜摹秤?jì)算，其中為圓周及軸所圍成的第一象限的區(qū)域的整個(gè)邊界按逆時(shí)針方向繞行。解：直接法，的參數(shù)方程：。。格林公式，：，極坐標(biāo)形式：。?！参濉场ＴO(shè)位于點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為〔為常數(shù)，為質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間的距離〕，質(zhì)點(diǎn)沿曲線自運(yùn)動(dòng)到,求此運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力所作的功。解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，引力。：，自運(yùn)動(dòng)到。功為。因?yàn)椋c路徑無關(guān)。。(六)。設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試計(jì)算曲線積分。其中是直線段下方的，連接與的任意光滑曲線，方向從到，另外該曲線于直線段所圍區(qū)域的面積是。解：設(shè)曲線于直線段所圍區(qū)域?yàn)?。：。因?yàn)?，所以與路徑無關(guān)。。〔七〕證明，其中為從到的一條逐段光滑的曲線，具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)。證明：證明1：設(shè)，，所以與路徑無關(guān)。。證明2：記，那么，所以與路徑無關(guān)。。〔八〕。利用觀察法求出以下方程的積分因子，并求其解：〔1〕，解：方程兩邊乘以，那么。故是積分因子，通解：?！彩侨我獬?shù)〕?！?〕，解：方程兩邊乘以，兩邊再乘以，。故是積分因子，通解：?！彩侨我獬?shù)〕?！簿拧?。計(jì)算，其中為被平面所截下局部。解：，，：。：。由對稱性?！彩场Ｇ髨A柱面界于平面及錐面的側(cè)面積。解：曲面為，設(shè)：，即。和消去，在平面上投影區(qū)域：。側(cè)面積為。〔十一〕。計(jì)算其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限局部的上側(cè)。解：平面〔上側(cè)〕在點(diǎn)處的單位法向量為，將原式化為對面積的曲面積分。：。原式?！彩场ＴO(shè)對于半平面任意的光滑有向閉曲面，都有。其中函數(shù)在上具有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù)，且，試求。解：由高斯公式得對任意的光滑有向閉曲面所圍成的區(qū)域。。求微分方程的解。因?yàn)椋?，，。由即?十三)。設(shè)為一光滑閉曲面，為上點(diǎn)處的外法向量，，在以下情形：曲面不包含原點(diǎn)；〔2〕曲面包含原點(diǎn)。計(jì)算解：為上點(diǎn)處的外單位法向量。，圍成的空間閉區(qū)域?yàn)椋较驗(yàn)橥鈧?cè)。，〔1〕，圍成的空間閉區(qū)域無原點(diǎn)，由高斯公式：。作以原點(diǎn)為中心，半徑為〔充分小〕的圓球面，使完全落在，取為側(cè)方向，那么在為邊界的區(qū)域無原點(diǎn)。由高斯公式：即〔：〕?！彩摹场ＴO(shè)是兩個(gè)定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，依次表示沿的外法線方向的方向?qū)?shù)，證明其中是空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面，這個(gè)公式叫格林第二公式。證：因?yàn)榉较驅(qū)?shù)，其中是在點(diǎn)處的外法線向量的方向余弦，故曲面積分。利用高斯公式，即得〔1〕〔即可得格林第一公式〕。同理，〔2〕，那么有。即得，命題得證。〔十五〕利用斯托克斯公式，計(jì)算其中：，假設(shè)從軸的正向看去，這圓周取逆時(shí)針方向。解：取所的曲面為：，曲面是以原點(diǎn)為中心，半徑為的圓。面積點(diǎn)處的單位法向量為，設(shè)，由斯托克斯公式和兩類曲面積分之間聯(lián)系，有。六。試卷試卷選擇題1．設(shè)是頂點(diǎn)為的三角形的邊界。那么曲線積分的值為〔〕?！睞〕；〔B〕，〔C〕，〔D〕2．設(shè)L是橢圓，沿順時(shí)針方向軸上面一半的有向曲線，那么曲線積分的值為〔〕。〔A〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕。3．設(shè)為在平面上方局部，那么=〔〕?！睞〕，〔B〕，〔C〕，〔D〕4．設(shè)為球面的下半球面取下側(cè)，那么=〔〕?！睞〕，〔B〕?！睠〕。，〔D〕。5．假設(shè)在區(qū)域總有，那么對于任意一條封閉曲線總有〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕前述結(jié)論都不對。填空題1．偏心圓：，那么曲線積分_______。2．設(shè)曲線積分。為平面上閉曲線，為常數(shù)，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。那么閉曲線所圍住區(qū)域的面積為_______3。設(shè)為空間曲面，曲面薄片上任一點(diǎn)面密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么曲面薄片的質(zhì)量為曲面積分______________.4．設(shè)為平面在第二卦限局部取上側(cè)的曲面積分________。5。是曲線上的一段弧。那么_______。〔三〕計(jì)算，其中為拋物線上點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧?！菜摹吃O(shè)變力構(gòu)成力場，試確定質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿圓柱螺旋線?！矠槌?shù)〕參數(shù)從移到的一段弧時(shí)所作的功?！参濉吃O(shè)微分方程：驗(yàn)證是所給微分方程在平面上的積分因子求全微分函數(shù)，使寫出是所給微分方程的通解〔六〕計(jì)算，其中為上的局部?！财摺忱酶咚构阶C明向量通過圍住任意體積V的閉曲面的流量等于體積的三倍?！舶恕秤?jì)算，其中為錐面之間的外側(cè)。〔九〕求拋物柱體被平面，，，所圍成的〔第一卦限〕局部的側(cè)面積。試卷〔一〕選擇題1．在上連續(xù)，為圓周：，。那么下面正確的選項(xiàng)是〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕前述結(jié)論都不對2．設(shè)是橢圓曲線的順時(shí)針方向，為中的局部，為中的局部。和與的方向一致，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕。3．設(shè)是球面的外側(cè)，是在平面的下半局部是上的第一卦限局部，和與的方向一致，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕4．設(shè)是長方體外表的外側(cè)。那么曲面積分值為〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕。5．微分為某函數(shù)的全微分，那么常數(shù)分別為〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕(二)填空題設(shè)為右半單位圓周，那么_______。設(shè)是從到的一段弧。是上的連續(xù)函數(shù)，在上任一點(diǎn)處的切向量為。那么化為在上對坐標(biāo)的曲線積分是________________。設(shè)流體穿過曲面，那么在單位時(shí)間流向的外側(cè)的通量為曲面積分_________________。設(shè)是平面被圓柱面截出的有限局部，那么曲面積分_______。為空間封閉曲面取外側(cè)的有向曲面，是由圍住的空間區(qū)域的體積，曲面：，那么________。平面上兩曲線弧構(gòu)件的形狀、弧長、質(zhì)量都一樣，曲線弧為拋物線弧的局部，線密度分別為，。曲線弧的一端在原點(diǎn)，求：曲線線弧另一端的坐標(biāo)?！?〕曲線弧的質(zhì)量?！?〕曲線弧的弧長?！菜摹秤?jì)算。其中：從到。〔五〕設(shè)在有向曲線弧上對坐標(biāo)的曲線積分存在，其中為上從到在第一象限的弧段，試求?！擦吃O(shè)是連續(xù)函數(shù)，記，其中為錐面在與之間局部。當(dāng)時(shí)，試求?！财摺城蠓植荚阱F體的側(cè)面的電總量。且在上每一點(diǎn)的電荷密度等于。其中為?！舶恕秤?jì)算其中是上半球面的上側(cè)?！簿拧忱盟雇锌怂构接?jì)算向量沿空間曲線：〔在的局部，由軸正向看去是逆時(shí)針方向〕的環(huán)流量。試卷〔一〕選擇題1．設(shè)：，為在第一象限中的局部，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕。2．設(shè)和分別為沿上下半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)，和分別為沿上下半橢圓從點(diǎn)到點(diǎn)，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕。3．設(shè)為圓柱面被平面及平面所截外側(cè)局部，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕4．設(shè)是橢圓曲線。為中的局部，為中的局部，那么有〔〕?！睞〕〔B〕〕〔C〕〔D〕。5．設(shè)是球面的外側(cè)，為其法向量的方向角，是由所圍成的球體，那么的值為〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕?！捕程羁疹}1．設(shè)是沿從到的一段弧?；癁閷￠L的曲線積分為__________。2．為某函數(shù)的全微分。那么常數(shù)______。3．設(shè)為平面上有向閉曲線，：，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。為由所圍住區(qū)域的面積。那么曲線積分________。4．設(shè)為的上側(cè)，那么對面積的曲面積分化為對坐標(biāo)面的曲面積分為__________