第74講排列與組合知識梳理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，…，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1×m2×…×mn__種不同的方法．3.排列與排列數(shù)(1)排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__一個排列__．(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的__排列數(shù)__，用符號__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝__eq\f(n！,（n－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)Aeq\o\al(n,n)＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，規(guī)定0！＝__1__．4.組合與組合數(shù)(1)組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__一個組合__．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的__組合數(shù)__，用符號__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝__eq\f(n！,m！（n－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)．(4)組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)__．性質(zhì)3：mCeq\o\al(m,n)＝__n·Ceq\o\al(m－1,n－1)__．1、（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】【解析】把丙和丁捆綁在一起，4個人任意排列，有種情況，甲站在兩端的情況有種情況，甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有種，故選：．2、（2021?乙卷（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】【解析】5名志愿者選2個1組，有種方法，然后4組進行全排列，有種，共有種，故選：．3、（2023?新高考Ⅰ）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64．【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術類選修課選2，則有，綜上共有種不同的方案．故答案為：64．4、（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．故選：．5、（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為A．120 B．60 C．40 D．30【答案】【解析】先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務，共有種選法，然后從剩下4人中選1人參加星期六服務，剩下3人中選取1人參加星期日服務，共有種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有種選法．故選：．6、（2023?新高考Ⅱ）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】【解析】初中部和高中部分別有400和200名學生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：1、(2022·鎮(zhèn)江高三開學考試)已知n，m為正整數(shù)，且n≥m，則在下列各式中：①Aeq\o\al(3,6)＝120；②Aeq\o\al(7,12)＝Ceq\o\al(7,12)·Aeq\o\al(7,7)；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m+1,n＋1)；④Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，其中正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】對于①，Aeq\o\al(3,6)＝6×5×4＝120，故①正確；對于②，因為Ceq\o\al(7,12)＝eq\f(Aeq\o\al(7,12),Aeq\o\al(7,7))，所以Aeq\o\al(7,12)＝Ceq\o\al(7,12)·Aeq\o\al(7,7)，故②正確；對于③，因為Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)，故③錯誤；對于④，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，故④正確．2、(2022·蘇北四市高三期末)某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有()A.12種B.24種C.72種D.120種【答案】A【解析】先排列2名男生共有Aeq\o\al(2,2)種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有Aeq\o\al(3,3)種排法，所以舞臺站位時男女間隔的不同排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種)排法．3、不等式Aeq\o\al(x,8)<6×Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}【答案】D【解析】eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又∵x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.4、（多選題）將編號為1,2,3,4,5,6的六個小球放入編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子中，每個盒子放一個小球.則下列說法正確的有（）A.編號為1號的小球放入編號為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是360B.編號為奇數(shù)的小球均放入編號為偶數(shù)的盒子的放法數(shù)是36C.恰有三個盒子的編號與放入的小球編號相同的放法數(shù)是40D.恰有三個小球的編號比放入的盒子的編號大1的放法數(shù)是30【答案】ABCD【解析】：對于選項A，先放編號為1號的小球，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再放另外5個小球，有Aeq\o\al(5,5)種方法，所以共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(5,5)＝360種方法，選項A正確；對于選項B，先放編號為奇數(shù)的小球，有Aeq\o\al(3,3)種方法，再放另外3個小球，有Aeq\o\al(3,3)種方法，所以共有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝36種方法，選項B正確；對于選項C，先在六個盒子中任選3個，放入與其編號相同的小球，有Ceq\o\al(3,6)＝20種放法，用枚舉法放剩下的3個小球，共有2種放法，所以不同的放法總數(shù)是20×2＝40種；對于選項D，先在編號為1~5的五個盒子中任選3個，有Ceq\o\al(3,5)＝10種，不妨設選了編號為1,2,3的3個盒子，分別放入標號為2,3,4的3個小球，則編號為4,5,6的盒子放入的小球編號依次可以是1,5,6、6,1,5和6,5,1，共3種，所以不同的放法總數(shù)是10×3＝30種．考向一排列問題例1、有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.【解析】(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種).(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種).(3)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種).(4)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種).(5)法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種).法二(特殊位置優(yōu)先法)左右兩邊位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種).(6)法一(特殊元素優(yōu)先法)甲在最右邊時，其他的可全排，有Aeq\o\al(6,6)種方法；甲不在最右邊時，可從余下的5個位置任選一個，有Aeq\o\al(1,5)種，而乙可排在除去最右邊的位置后剩下的5個中任選一個有Aeq\o\al(1,5)種，其余人全排列，只有Aeq\o\al(5,5)種不同排法，共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種).法二(間接法)7名學生全排列，只有Aeq\o\al(7,7)種方法，其中甲在最左邊時，有Aeq\o\al(6,6)種方法，乙在最右邊時，有Aeq\o\al(6,6)種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al(5,5)種方法，故共有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種).(7)由于甲、乙、丙的順序一定，則滿足條件的站法共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840(種)變式1、用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的：(1)五位數(shù)？(2)五位奇數(shù)？(3)五位偶數(shù)？【解析】(1)不考慮是否排0，有Aeq\o\al(5,6)種填法，考慮排0，且0排首位，有Aeq\o\al(4,5)種填法，所以共有Aeq\o\al(5,6)－Aeq\o\al(4,5)＝600(個)不同的五位數(shù)．(2)方法一(直接法)：分步：第一步先排個位，從1，3，5三個數(shù)字中任選一個填入，有Aeq\o\al(1,3)種；第二步排首位，從不包括0的剩下的4個數(shù)字中任選一個填入，有Aeq\o\al(1,4)種，最后排剩下的幾位，有Aeq\o\al(3,4)種填法，所以共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝288(個)五位奇數(shù)．方法二(間接法)：不考慮是否排0，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,5)種填法，排0且0排在首位，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)種填法，所以共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝288(個)不同的五位奇數(shù)．(3)將無重復數(shù)字的五位數(shù)劃分兩類：五位奇數(shù)和五位偶數(shù)，由(1)(2)可知，偶數(shù)有600－288＝312(個).變式2、（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有________個．【解析】首位數(shù)字有Ceq\o\al(1,5)種選法，個位、十位數(shù)字有Ceq\o\al(2,5)種排法，中間三位有Aeq\o\al(3,3)種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,3)＝300(個)滿足條件的六位數(shù)．（2）、用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字，且能被5整除的四位數(shù)？【解析】按個位數(shù)所排數(shù)字進行分類：第一類，個位數(shù)字排0，有Aeq\o\al(3,5)個；第二類，個位數(shù)字排5，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可組成Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝108(個)能被5整除的四位數(shù)變式3、7位同學站成一排照相．(1)甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種？(2)甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？(3)甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？(4)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？【解析】(1)方法一：分兩種情況：①甲站在排尾，則有Aeq\o\al(6,6)種排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，則有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種排法．綜上，共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)排法．方法二：總的排法數(shù)減去甲站在排頭的和乙站在排尾的情況，但是這就把甲站在排頭且乙站在排尾的情況減了兩次，故后面要加回來，即Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)排法．(2)采用“捆綁”法，將甲、乙看成一個整體進行排列，故有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)排法．(3)采用“插空”法，先排其他5個人，然后將甲、乙插入到由這5個人形成的6個空中，故有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,6)＝3600(種)排法．(4)甲站在乙的左邊的排法總數(shù)等于乙站在甲的左邊的排法總數(shù)，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(7,7)＝2520(種)排法．方法總結：(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法．考向二組合問題例2、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球．(1)現(xiàn)要從中選出2個球，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出紅球、白球各2個，有多少種不同的選法？【解析】(1)從10個不同的球中選出2個球，即是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)Ceq\o\al(2,10)＝45，所以不同的選法有45種．(2)從4個不同的紅球中選出2個的選法有Ceq\o\al(2,4)種，從6個不同的白球中選2個的選法有Ceq\o\al(2,6)種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＝90(種)不同的選法．變式1、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球．，從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？【解析】將取出4個球分成三類情況：第一類：取4個紅球，沒有白球，有Ceq\o\al(4,4)種；第二類：取3個紅球1個白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)種；第三類：取2個紅球2個白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)種，所以共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115(種).變式2、（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）在2021中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項演練中，中方參加演習的有4艘軍艦，5架飛機；俄方有3艘軍艦，6架飛機.若從中、俄兩方中各選出2個單位（1架飛機或一艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機兩兩不同），且選出的四個單位中恰有一架飛機的不同選法共有（）A．51種 B．168種 C．224種 D．336種【答案】B【解析】計算選出的四個單位中恰有一架飛機的方法數(shù)有兩類辦法：飛機來自中方，有種方法，飛機來自俄方，有種方法，由分類加法計數(shù)原理得：(種)，所以選出的四個單位中恰有一架飛機的不同選法共有168種.故選：B方法總結：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．考向三排列與組合綜合性問題例3、有6本不同的書．(1)分成三份：①每份2本，有多少種不同的分法？②1份4本，另2份各1本，有多少種不同的分法？③1份1本，1份2本，1份3本，有多少種不同的分法？(2)分給甲、乙、丙3人：①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種不同的分法？②1人1本，1人2本，1人3本，有多少種不同的分法？③每人2本，有多少種不同的分法？④1人4本，另2人各1本，有多少種不同的分法？【解析】(1)①先在6本書中任取2本作為一份，有Ceq\o\al(2,6)種不同的取法，再從余下的4本書中任取2本作為一份，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，最后把余下的2本書都取出作為一份，有Ceq\o\al(2,2)種不同的取法，所以共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種取法，但是這樣每種取法對應的是一個排列，總體來講相當于對三個元素進行了全排列，所以共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15(種)分法．②eq\f(Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝15(種).③Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝60(種).(2)①先從6本書中任取1本分給甲，有Ceq\o\al(1,6)種給法，再從余下的5本書中任取2本分給乙，有Ceq\o\al(2,5)種給法，最后把余下的3本書給丙，有Ceq\o\al(3,3)種給法，故共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝60(種)不同的分配方法．②甲、乙、丙3人誰得1本，誰得2本，誰得3本，不確定，可考慮先分組，后分配，故共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360(種)分法．③eq\f(Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝90(種).④eq\f(Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種).變式1、（1）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種【答案】A【解析】將4名學生均分為2個小組共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))＝3(種)分法；將2個小組的同學分給2名教師共有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)分法，最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)分法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種).（2）（2022·湖北·高三期末）假期里，有4名同學去社區(qū)做文明實踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學去甲、乙兩個文明實踐站，每個實踐站至少去1名同學，則不同的安排方法共有（）A．20種 B．14種 C．12種 D．10種【答案】B【解析】解：先將4名同學分為兩組，兩組人數(shù)為可能為1,3人或2,2人，當兩組人數(shù)為1,3時，有種方案，當兩組人數(shù)為2,2時，有種方案，所以將4名同學分為兩組，共有種方案，再將兩組同學分配到兩個文明實踐站，有種，所以根據(jù)乘法原理得共有種不同的方法.故選：B變式2、（2022·湖南郴州·高三期末）國慶長假過后學生返校，某學校為了做好防疫工作組織了6個志愿服務小組，分配到4個大門進行行李搬運志愿服務，若每個大門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個大門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為（）A．65 B．125 C．780 D．1560【答案】D【解析】6人分成4組有兩種方案：“”、“”共有種方法，4組分配到4個大門有種方法；根據(jù)乘法原理不同的分配方法數(shù)為：.故選:D.變式3、（2022·廣東潮州·高三期末）當前，新冠肺炎疫情進入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴峻、復雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種【答案】A【解析】解：①當兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人時，總數(shù)有種；②當兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人時，總數(shù)有種．故滿足條件的分法共有種．故選：A變式4、（2022·江蘇常州·高三期末）（多選題）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法，故共有個不同方法.正確；選項B：,方法總數(shù)不對.錯誤；選項C：表示先對中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有個方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個不同方法.正確；選項D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有個不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有個不同方法.綜合①②可知方法總數(shù)為：個不同方法.正確.故選：ACD方法總結：(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個原理做最后處理．(2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)或間接法(排除法)來解決，分類標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏．1、（2022·山東日照·高三期末）某市從6名優(yōu)秀教師中選派3名同時去3個災區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）A．48 B．60 C．96 D．168【答案】C【解析】由題意所求方法數(shù)為6人中任選派3人的方法數(shù)減去甲和乙同去的方法：．故選：C.2、（2022·山東臨沂·高三期末）為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排名大學生到個學校進行支教活動，每個學校至少安排人，其中甲校至少要安排名大學生，則不同的安排方法共有（）種A． B． C． D．【答案】C【解析】若甲校分名大學生，此時有種分配方法；若甲校分名大學生，此時有種分配方法.綜上所述，共有種分配方法.故選：C.3、（2022·河北唐山·高三期末）六名志愿者到北京、延慶、張家口三個賽區(qū)參加活動，若每個賽區(qū)兩名志愿者，則安排方式共有（）A．15種 B．90種 C．540種 D．720種【答案】B【解析】：先從六名志愿者中選擇兩名志愿者到北京參加活動，有種方