第二章極限與連續(xù)§2.3變量的極限§2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量§8.6

復(fù)合函數(shù)的微分法§2.8

函數(shù)的連續(xù)性§2.7利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限§2.6兩個(gè)重要的極限§2.5極限的運(yùn)算法則§2.2

函數(shù)的極限§2.1數(shù)列的極限教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列的極限；函數(shù)的極限。（1）正確了解數(shù)列的極限；函數(shù)的極限的概念。（2）掌握數(shù)列的斂散性與有界性的關(guān)系。重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念；左、右極限和極限的關(guān)系；難點(diǎn)：數(shù)列（函數(shù)）極限的概念。教學(xué)要求：（3）理解單側(cè)極限的定義；掌握左、右極限和極限的關(guān)系。

（4）理解函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性、局部有界性和局部保號(hào)性）。

第一次課函數(shù)極限的性質(zhì)。第二章§2.1數(shù)列的極限

(一)數(shù)列1.

定義:無(wú)窮多個(gè)按照某種規(guī)律排列起來(lái)的稱為一個(gè)數(shù)列,記作如:(1)(4)(3)(2)一列數(shù):其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng),第一項(xiàng)稱為首項(xiàng),(或一般項(xiàng)).項(xiàng)稱為通項(xiàng)第2.關(guān)于數(shù)列概念應(yīng)注意:(2)數(shù)列一般有三種表示方式:①一般形式.如(1)數(shù)列實(shí)際上是定義在自然數(shù)集合上的函數(shù),②函數(shù)形式.如數(shù)列③簡(jiǎn)化形式.如數(shù)列函數(shù)的函數(shù)值.例如數(shù)列實(shí)際上就是因此數(shù)列也常常記作或得到的.將其函數(shù)值按自然數(shù)依次增大的順序排列起來(lái)所先看數(shù)列變化趨勢(shì):

12345678

注意小球的變化演示(二)數(shù)列的極限為了進(jìn)一步了解數(shù)列的極限,下面我們觀察幾個(gè)數(shù)列隨著的無(wú)限增大,它能否無(wú)限趨向于一個(gè)常數(shù).(二)數(shù)列的極限

數(shù)列的極限就是數(shù)列的變化趨勢(shì),先觀察幾個(gè)數(shù)列隨著的無(wú)限增大,它能否無(wú)限趨向于一個(gè)常數(shù).12345678

注意小球的變化

正在演示先看數(shù)列變化趨勢(shì):

012345678演示結(jié)束從以上演示可見:小紅球隨著的無(wú)限增大,越來(lái)越靠近橫軸,即數(shù)列趨向于零.再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì).

12345678注意小球的變化演示

12345678

正在演示

注意小球的變化再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì).

12345678演示結(jié)束可見數(shù)列的變化趨勢(shì)如下:從該數(shù)列的演示易見,隨著的無(wú)限增大,小球越來(lái)越接近于直線所以數(shù)列趨向于1.

注意小球的變化1234567演示再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì).

注意小球的變化1234567

正在演示再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì).

1234567

易見小球在上下擺動(dòng)中,其擺動(dòng)的幅度始終不變,因此,該數(shù)列不趨于任何常數(shù).演示結(jié)束再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì).最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).

121086421234567注意小球的變化演示

121086421234567

正在演示最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).

121086421234567

顯見小球隨著的不斷增大愈來(lái)愈向上移動(dòng),永無(wú)止徑,因此,數(shù)列隨著的增大,趨向于無(wú)窮大.

演示結(jié)束最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).

)()()(lim￥??=￥?nAnfAnfn或

如數(shù)列均收斂,且列發(fā)散(或不收斂).若該數(shù)列不能夠趨向于一個(gè)常數(shù),則說(shuō)該數(shù)此時(shí)稱A為數(shù)列的極限,記作能夠無(wú)限趨向于某一個(gè)常數(shù)A

,則稱該數(shù)列收斂,定義1如果數(shù)列當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),一個(gè)常數(shù).限趨向于某一個(gè)常數(shù),而有些數(shù)列則不會(huì)趨向于會(huì)無(wú)的無(wú)限增大,綜上可見,有的數(shù)列隨著

設(shè){yn}為一數(shù)列

如果存在常數(shù)a

對(duì)于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N

時(shí)

不等式|yn

a|<e都成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{yn}的極限

或者稱數(shù)列{yn}收斂于a

記為數(shù)列極限的精確定義:或說(shuō)數(shù)列{yn}是發(fā)散的,習(xí)慣上也說(shuō)nny￥?lim不存在.如果不存在這樣的常數(shù)

就說(shuō)數(shù)列{

}沒有極限yna

而數(shù)列和數(shù)列均發(fā)散.aynn=￥?lim或yn?a(n?￥).

極限定義的簡(jiǎn)記形式:aynn=￥?lim

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|yn

a|

.

例1

證:

對(duì)于要使只要取則aynn=￥?lim

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|yn

a|

.|yn-1|=e<=--+-nnnn1|1)1(|1,

§2.2

函數(shù)的極限單擊開始演示讓我們觀察一下函數(shù)(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.當(dāng)自變量的絕對(duì)

正在演示

§2.2

函數(shù)的極限讓我們觀察一下函數(shù)(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.當(dāng)自變量的絕對(duì)演示結(jié)束§2.2

函數(shù)的極限讓我們觀察一下函數(shù)(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.當(dāng)自變量的絕對(duì)函數(shù)值逐漸趨于零.愈靠近于軸,限增大,易見,隨著的無(wú)小紅球愈來(lái)即其定義2:如果存在常數(shù)A,或于無(wú)窮大時(shí)的極限,記作時(shí),函數(shù)趨向于A,

則稱A為函數(shù)當(dāng)趨使得當(dāng)無(wú)限增大窮大時(shí)的極限.此時(shí)我們稱常數(shù)0是函數(shù)當(dāng)趨于無(wú)可見:當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),x1趨于常數(shù)0,例如:幾何上為:演示演示結(jié)束注:包含

例如:類似地可定義:

自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的精確定義:

0

M

0

當(dāng)|x|

M時(shí)

有|f(x)

A|

結(jié)論:

例1

證:

0

M

0

當(dāng)|x|

M時(shí)

有|f(x)

A|

對(duì)于要使只要取則當(dāng)時(shí),有

演示(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)時(shí)的變化趨勢(shì).當(dāng)

正在演示

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)時(shí)的變化趨勢(shì).當(dāng)正在演示(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)時(shí)的變化趨勢(shì).當(dāng)

正在演示(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)時(shí)的變化趨勢(shì).當(dāng)

演示結(jié)束易見當(dāng)時(shí)(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)時(shí)的變化趨勢(shì).當(dāng)

如定義3:如果存在常數(shù)A,使得當(dāng)無(wú)限接近于時(shí),有趨近于A,則稱A為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限,記作

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義

如果存在常數(shù)A

對(duì)于任意給定的正數(shù)

總存在正數(shù)

使得當(dāng)x滿足不等式0<|x

x0|

時(shí)

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)

A|

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限

記為函數(shù)極限的精確定義:定義的簡(jiǎn)記形式:

e>0

d>0

當(dāng)0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例1

證:

因?yàn)?/p>

e>0

d>0

當(dāng)0

|x-x0|

d時(shí),都有|f(x)-A|

|c-c|

0

e,

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析:|f(x)-A|

|c-c|

0.

e>0

d>0

當(dāng)0

|x-x0|

d時(shí),都有|f(x)-A|

e.分析

|f(x)

A|

|x

x0|

e

當(dāng)0

|x

x0|

d時(shí)

有

d

e

因?yàn)?/p>

e

0

證:

只要|x

x0|

e,要使|f(x)

A|

e

e>0

例2

|f(x)

A|

|x

x0|

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

故取d

e.分析

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

例3

因?yàn)?/p>

0

證:

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

e

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e>0

當(dāng)0

|x

1|

時(shí)有

/2

只要|x

1|<e/2

要使|f(x)

A|<e

故取d

e/2.

注1:意思是無(wú)限靠近于但因此,無(wú)關(guān)系.函數(shù)在點(diǎn)有無(wú)極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義毫注2:包含:左極限演示結(jié)束演示左極限:

若當(dāng)x從x0的左側(cè)趨近于x0時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的左極限

記為右極限演示結(jié)束演示右極限:

若當(dāng)x從x0的右側(cè)趨近于x0時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的右極限

記為Axfxx=+?)(lim0或兩者都存在但不相等，推論：若中至少有一個(gè)不存在和則不存在。

例1設(shè)討論極限是否存在?解因?yàn)樗詷O限不存在.定理1:極限存在的充分必要條件是左極限和右極限均存在,即且都等于

解因?yàn)榻?因?yàn)樗源嬖?

例2設(shè)求討論極限而當(dāng)所以時(shí)，所以極限不存在.例3討論極限是否存在?當(dāng)所以時(shí)，定理1(函數(shù)極限的唯一性)

定理2(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)

如果f(x)

A(x

x0)

而且A

0(或A

0)

那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)

有f(x)

0

(或f(x)

0)

如果當(dāng)x

x0時(shí)f(x)的極限存在,那么這極限是唯一的

如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)

0(或f(x)

0)

而且

f(x)

A(x

x0)

那么A

0(或A

0)

推論:

三、極限的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：變量的極限;無(wú)窮大量和無(wú)窮小量；極限的運(yùn)算法則。第二次課難點(diǎn)：無(wú)窮小量的比較；極限運(yùn)算法則的運(yùn)用。重點(diǎn)：無(wú)窮小量的概念；無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系；無(wú)窮小量比較的方法；極限運(yùn)算法則的運(yùn)用。（3）熟練掌握極限運(yùn)算法則及其用法。（2）掌握高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮?。ǖ葍r(jià)無(wú)窮小）的含義。（1）了解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念，知道無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，了解無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系。教學(xué)目的：§2.3變量的極限注:該定義把前面講的數(shù)列極限與函數(shù)極限統(tǒng)一起來(lái)了,y其實(shí)是一個(gè)函數(shù).恒成立,記作定義2.6對(duì)于任意給定的正數(shù)過程中,在變量的變化總有某個(gè)時(shí)刻,在那個(gè)時(shí)刻以后,總有則稱變量y在此變化過程中以A為極限,定義2.7變量y在某一變化過程中,如果存在正數(shù)M，使變量y在某一時(shí)刻之后,恒有|y|<M，則稱y在那時(shí)刻之后為有界變量.定理2.4如果在某一變化過程中，變量y有極限,證:設(shè)limy=A,則對(duì)

所以|y|<|A|+1.因此變量y在那個(gè)時(shí)刻之后是有界變量.在那個(gè)時(shí)刻以后，恒有總有那么一個(gè)時(shí)刻,則變量y是有界變量.2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量(一)無(wú)窮大量恒成立,定義:如果對(duì)于任意給定的正數(shù)E,化過程中,變量y在其變總有那么一個(gè)時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)刻之后,不等式則稱變量y是無(wú)窮大量,于無(wú)窮大，記作或稱變量

y趨如果一個(gè)變量在它的變化過程中,其絕對(duì)值可以無(wú)限增大,例如是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量.記為是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量.記為是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量.記為是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量.記為則稱該變量為其變化過程中的無(wú)窮大量.

(1)無(wú)窮大量并不是很大的數(shù)，而是其絕對(duì)值可以無(wú)限增大的變量.(2)說(shuō)一個(gè)量是不是無(wú)窮大量，也必須指出其變化過程.(3)無(wú)窮大量包括:正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)窮大量.注意幾點(diǎn):即例如當(dāng)時(shí),變量是一負(fù)無(wú)窮大量.注意:(1)兩個(gè)無(wú)窮大量的和不一定是無(wú)窮大量;無(wú)窮大量的性質(zhì):性質(zhì)1兩個(gè)無(wú)窮大量的乘積還是無(wú)窮大量.性質(zhì)2有界量與無(wú)窮大量的和還是無(wú)窮大量.(2)有界量與無(wú)窮大量的乘積也不一定是無(wú)窮大量.(二)無(wú)窮小量1.無(wú)窮小量的定義定義:

如果變量的極限是零,則稱變量為無(wú)窮小量.例1因?yàn)樗允钱?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.例2因?yàn)樗允钱?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.例3因?yàn)樗允钱?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.例4因?yàn)樗允钱?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.

(1)一般地,一個(gè)變量是無(wú)窮小量,必須指出其變化過程.因同一個(gè)變量在不同的變化過程中會(huì)有不同的變化趨勢(shì).

(2)由于無(wú)論在什么樣的變化過程中,數(shù)0的極限永遠(yuǎn)為零,所以它是無(wú)窮小量,且只有它可以不指出變化過程.

(3)不能把無(wú)窮小量理解為是很小的數(shù),關(guān)鍵是要看其極限是否為零.注意幾點(diǎn):(2)無(wú)窮小量的變化過程相同時(shí),以上性質(zhì)才成立.

否則不能相加減及乘積的.2.無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)2

兩個(gè)無(wú)窮小量的乘積還是無(wú)窮小量.注意:(1)這兩個(gè)性質(zhì)均可以推廣到有限上去;性質(zhì)1

兩個(gè)無(wú)窮小量的和還是無(wú)窮小量.定理2.5變量y以A為極限的充分必要條件是變量y可以表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量的和.即且

性質(zhì)3

有界量與無(wú)窮小量的乘積還是無(wú)窮小量.注意:有界量包括:例如

常量

有界函數(shù)有極限的函數(shù)有界量①常量;③在無(wú)窮小量的變化過程中有極限的函數(shù).②有界函數(shù);(三)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系(四)無(wú)窮小量階的比較

無(wú)窮小量是極限為零的變量,雖然它們均趨向于零,但是趨向于零的速度有快有慢,那么如何比較它們趨向于零的速度的快慢呢?定理:(1)若是無(wú)窮大量,則必是無(wú)窮小量;

(2)若是無(wú)窮小量,則必是無(wú)窮大量.例如因?yàn)槎x設(shè)和是同一變化過程中的兩個(gè)無(wú)窮小量.(1)若則說(shuō)是比較高階的無(wú)窮小量,記作(2)若則說(shuō)是比較低階的無(wú)窮小量,或者說(shuō)是比較高階的無(wú)窮小量;(3)若則說(shuō)和是同階的無(wú)窮小量;(4)若則說(shuō)和是等價(jià)無(wú)窮小量;記作~所以因?yàn)樗院褪峭A的無(wú)窮小量.因?yàn)樗允潜容^低階的無(wú)窮小量.解：因?yàn)榧蠢?設(shè)當(dāng)求時(shí)，所以有因?yàn)樗?/p>

法則1.代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和.即法則2.乘積的極限等于極限的乘積.即§2.5極限的運(yùn)算法則(一)運(yùn)算法則定理:如果則有注：法則1可推廣到有限上去,得注：法則2可推廣到有限上去,得

推論1常數(shù)因子可以提到極限號(hào)的外邊,即推論2函數(shù)n次冪的極限等于極限的n次冪.即以后可以證明,如果n是正整數(shù),則有

(1)只有當(dāng)法則中所有的極限均存在時(shí),法則才成立.

法則3.

商的極限等于極限的商(當(dāng)分母的極限不等于零時(shí)).即注意幾點(diǎn):

(3)上述的極限運(yùn)算法則對(duì)數(shù)列的極限也成立.和均成立.符號(hào)下面沒有寫變化過程,意思是對(duì)(2)

(二)應(yīng)用舉例

解原式解原式例1求極限例2求極限方法:用運(yùn)算法則3.

解顯然該函數(shù)是一初等函數(shù),且點(diǎn)0在其定義域內(nèi),因此,有

注意:顯然例1、例2中的極限值就等于其函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值.一般當(dāng)為初等函數(shù)且點(diǎn)在其定義域內(nèi)時(shí)有解原式例3求極限例4求極限原式轉(zhuǎn)化為方法:因式分解或有理化(含有根式)

例6求極限方法:先求其倒數(shù)的極限為0.例5求極限解原式

解因?yàn)楦鶕?jù)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系知:所以是無(wú)窮小量。解:例8求極限例7求極限所以根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)知即是有界量,解原式方法:分子分母同除以的最高次冪.特點(diǎn):型,且分子分母中的最高次冪相等.

解原式解因?yàn)槔?求極限例10求極限特點(diǎn):型,且分子<分母.特點(diǎn):型,且分子>分母.方法:分子分母同除以的最高次冪.方法:先求其倒數(shù)(分子<分母)的極限為0.所以

綜合例8、例9、例10的結(jié)論,得到例11求極限解原式例12求極限解:方法:通分或有理化(含根式)轉(zhuǎn)化為例13設(shè)求特點(diǎn):分段函數(shù)的極限問題,分界點(diǎn)處的極限要討論左右極限.解:

§2.6

兩個(gè)重要極限(一)兩個(gè)極限存在的判別準(zhǔn)則則極限必存在且等于(2)

存在，(1)準(zhǔn)則Ⅰ如果函數(shù)滿足(2)該準(zhǔn)則常稱為兩邊夾定理。注:(1)該準(zhǔn)則對(duì)于和時(shí)的函數(shù)極限,以及數(shù)列的極限均成立;證:當(dāng)時(shí),有

由

從而得例2證明證:

由

得

即例1證明

得解:因?yàn)樗岳?求又因?yàn)樗詳?shù)列單調(diào)遞減。例如數(shù)列單調(diào)遞增；因?yàn)閷?duì)任意自然數(shù)n,

恒有例如數(shù)列有界。意的自然數(shù)n,

均有成立.則稱該數(shù)列有界。對(duì)于數(shù)列使得對(duì)于任來(lái)說(shuō),如果存在正數(shù)準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)遞增數(shù)列與單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.增(遞減)的.成立,則稱數(shù)列是單調(diào)遞對(duì)于數(shù)列如果對(duì)于任意自然數(shù)n恒有

(二)

兩個(gè)重要極限1.證明:首先易見所以只須證即可(如圖作單位圓,并

作角見右圖)由圖中易見有S△OACS△OABS扇形OAB注意右圖演示各圖形大小

S△OABS扇形OABS△OAC

(二)

兩個(gè)重要極限1.證明:首先易見所以只須證作角

S△OABS扇形OABS△OAC見右圖)由圖中易見有即可(如圖作單位圓,并于是有即因?yàn)樗约磸亩释缘媒庠嚼?求極限用法:常用于求含有三角函數(shù)的極限.

?①分子必須是正弦函數(shù)或者正切函數(shù);?③

在自變量的變化過程中必須是無(wú)窮小量,使用時(shí)應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：極限和均可當(dāng)公式使用.即但分母也必須是即極限形式為:?②分子上的后面可以跟一個(gè)函數(shù)和例2求極限該極限為1例3求極限解原式類似可求得可當(dāng)公式記住使用練習(xí):求解:原式解原式解原式例4求極限練習(xí):求解原式例5求極限解原式根據(jù)準(zhǔn)則II

數(shù)列{xn}必有極限,

此極限用e來(lái)表示,第二個(gè)重要極限:

e是個(gè)無(wú)理數(shù)

它的值是e=2

718281828459045

2.第二個(gè)重要極限準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

可以證明:

(2)xn

3

(1)xn

xn+1

n

N

,即第二個(gè)重要極限:

我們還可以證明:這兩個(gè)也是第二個(gè)重要極限

或?qū)B續(xù)自變量,也有注意第二個(gè)重要極限應(yīng)滿足以下三個(gè)條件:①冪底數(shù)為的形式,為任一函數(shù);②冪指數(shù)為的倒數(shù),即;③

在自變量的變化過程中為無(wú)窮小量.例6求極限解原式練習(xí):求解利用上題結(jié)果,令得,可當(dāng)公式記住使用即用法:常用于求冪指函數(shù)的極限思考題:解原式練習(xí):求解原式例7求極限例8連續(xù)復(fù)利本利和公式:其中為本金,為年數(shù),為利率,為年末的本利和.解:如果每年結(jié)算一次,按復(fù)利計(jì)算,則年末的本利和為:如果每年結(jié)算則年末的本利和為:次,按復(fù)利計(jì)算,如果每年結(jié)算無(wú)窮多次(即立即產(chǎn)生立即結(jié)算),按復(fù)利計(jì)算,則年末的本利和為:§2.7利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限的方法關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量,有下面定理.

定理:如果在同一過程中,都是無(wú)窮小量,存在,和則且～～本定理的意義:

求某些無(wú)窮小量乘除運(yùn)算的極限時(shí)

可使用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代替

因此

如果用來(lái)代替的無(wú)窮小量選取得適當(dāng)

則可使計(jì)算簡(jiǎn)化

下面是一些在求極限時(shí)常用的無(wú)窮小量:～～～～～～～～～

例1

解:當(dāng)x

0時(shí)

tan2x~2x

sin5x~5x

所以

當(dāng)時(shí)，

例2求

解:當(dāng)時(shí),～～～

所以

練習(xí):求

解:

例3求

解:當(dāng)時(shí),

所以

～～

注意:等價(jià)無(wú)窮小量代替,只能用于乘除運(yùn)算,對(duì)加,減項(xiàng)的無(wú)窮小量不能隨意代替.如例4用下面的解法是錯(cuò)誤的.§2.8

函數(shù)的連續(xù)性(一)函數(shù)的改變量△x△y注1可正可負(fù).記作即稱終值與初值之差為變量的改變量,當(dāng)變量從初值點(diǎn)變化到終值點(diǎn)時(shí),對(duì)于函數(shù)例如函數(shù)的改變量為:③變量在點(diǎn)取得改變量②變量從點(diǎn)變化到①變量從點(diǎn)

變化到所以下面三種說(shuō)法均等價(jià):注2

因?yàn)楫?dāng)必有成立.時(shí),記作

即稱其為函數(shù)的改變量,處取得改變量則因變量就會(huì)有相應(yīng)的改如果其自變量在點(diǎn)變(二)函數(shù)連續(xù)的概念

定義11.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義設(shè)x=x0+△x

則當(dāng)△x

0時(shí)

x

x0

因此

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義

則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

△y=f(x0+△x)-f(x0)

因?yàn)椋喝绻虼?函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)也可定義為:注2:定義2實(shí)際包含有三個(gè)條件:定義2如果則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).(3)其極限值等于點(diǎn)的函數(shù)值,即(2)函數(shù)的極限存在;(1)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義;

注意:一般在證明一個(gè)式子所給出的函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),使用定義1;而在證明或判斷或研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),使用定義2.處左連續(xù);若時(shí),則稱函數(shù)處右連續(xù).在點(diǎn)注3:若時(shí),則稱函數(shù)在點(diǎn)結(jié)論

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)

則有于是有例1證明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).例2研究函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.證:給自變量在點(diǎn)處一個(gè)增量故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).且

解:該函數(shù)在點(diǎn)處及附近有定義,又因此該函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).可見存在,且2.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)定義(三)初等函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)1.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則處右連續(xù),如果函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),且在左端點(diǎn)而在右端點(diǎn)處左連續(xù),則稱該函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).連續(xù),則稱該函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù).上的每一點(diǎn)在區(qū)間2.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù).3.連續(xù)性的應(yīng)用(1)如果函數(shù)和在點(diǎn)均連續(xù),則在處也必連續(xù).在點(diǎn)也必連續(xù).在點(diǎn)也連續(xù),且則復(fù)合函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),而函數(shù)1.是初等函數(shù);2.點(diǎn)在的定義域內(nèi).例3求極限解:(2)條件例4求極限解:間斷點(diǎn)的定義:

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義

在此前提下

如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一

(1)在x0沒有定義

則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)或間斷

(四)函數(shù)的間斷點(diǎn)(2)雖然在x0有定義

但極限不存在;(3)雖然有定義,且存在,但f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)

而點(diǎn)x0稱為函數(shù)間斷點(diǎn)舉例例1

的無(wú)窮間斷點(diǎn).故稱為

例2

當(dāng)x

0時(shí)

函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次

所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn)

所以點(diǎn)x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)

所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果補(bǔ)充定義

令x=1時(shí)y=2

則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù)

所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例3

所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義

令f(1)=1

則函數(shù)在x=1處連續(xù)

所以x=1稱為此函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例4

因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象

我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)

例5

都存在

那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)的類型通常把間斷點(diǎn)分成兩類

在第一類間斷點(diǎn)中

左、右極限相等者稱為可不屬于第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)

稱為第二類間斷點(diǎn)

的間斷點(diǎn)

如果左極限及右極限是函數(shù)設(shè)無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn)

去間斷點(diǎn)

不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)

函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)所以,解:該函數(shù)在點(diǎn)處沒有定義.所以它是無(wú)窮間斷點(diǎn).又因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的間斷點(diǎn),點(diǎn)所以,是該函數(shù)的間斷點(diǎn),點(diǎn)又因?yàn)榇嬖?所以是可去間斷點(diǎn).例6求函數(shù)的間斷點(diǎn).練習(xí):求函數(shù)的間斷點(diǎn).解:該函數(shù)在點(diǎn)處沒有定義.解:且該函數(shù)在點(diǎn)處有定義,但所以為跳躍間斷點(diǎn).即例7討論函數(shù)處的連續(xù)性.在點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn).解:且該函數(shù)在點(diǎn)處有定義,

又存在,但由于所以是函數(shù)的間斷點(diǎn),討論函數(shù)處的連續(xù)性.在點(diǎn)練習(xí):說(shuō)明:定理1(最大值與最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值與最小值

又至少有一點(diǎn)x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點(diǎn)x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說(shuō)明

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

那么(五)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)

或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)

那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

例如

函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)

內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

定理1(最大值與最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值與最小值

又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[0

2]內(nèi)不連續(xù),它在閉區(qū)間[0

2]內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

定理2(介值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)

f(b)

那么

對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得f(x)=C

上連續(xù),則函數(shù)在上一定有界.推論(有界性定理)

如果函數(shù)在閉區(qū)間注:

如果x0使f(x0)=0

則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

且f(a)與f(b)異號(hào)

那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x

使f(x)=0

推論(零點(diǎn)定理)注:該推論常用于證明:(1)某方程在某一區(qū)間上至少存在一個(gè)根的問題.(2)某曲線在某一區(qū)間上至少與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的問題.(3)兩條曲線在某一區(qū)間上至少有一個(gè)交點(diǎn)的問題.

例1

證明方程x3+1=4x2在區(qū)間(0

1)內(nèi)至少有一個(gè)根

證明

設(shè)f(x)=x3-4x2+1

則f(x)在閉