第第頁三角形第1講三角形(一)【教學(xué)目標(biāo)】理解三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，初步體會分類思想.會畫任意三角形的高線、中線和角平分線.掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，會據(jù)此判斷能否構(gòu)成三角形.掌握三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確計算角度.三角形的相關(guān)概念【知識梳理】三角形的相關(guān)概念(1)三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形.(2)三角形的內(nèi)角與外角：三角形的每兩條邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.三角形的任意一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角.(3)三角形的表示：如圖，線段AB、BC、CA是三角形邊.點(diǎn)A、B、C是三角形的頂點(diǎn).∠A、∠B、∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.△ABC的三邊有時也用a、b、c來表示.頂點(diǎn)A所對的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對的邊AB用c表示.三角形的分類按角分：按邊分：三角形中的三種重要線段(1)三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.如圖：AD是△ABC的角平分線，則：∠BAD=∠CAD，且D在BC上.(2)三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.如圖：CE是△ABC的中線，則E為AB邊的中點(diǎn).(3)三角形的高從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.如圖，AF是△ABC的高，則AF⊥BC于F.三角形具有穩(wěn)定性【精講精練】如圖，試回答下列問題：(1)圖中有_____個三角形，它們分別是________________________；(2)以線段AD為邊的三角形是__________________________；(3)線段CE所在的三角形是________，CE邊所對的角是________；(4)若BC=CD=DE，△ABC，△ACD，△ADE這三個三角形的面積之比等于_____：_____：_____.【答案】(1)6，△ABC，，，，，；(2)，，；(3)，∠CAE；(4)1:1:1(三個三角形底邊相等，高一樣，則三個三角形面積相等).下列說法中正確的有().(1)等邊三角形是等腰三角形(2)三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形(3)三角形按邊分類可分為等邊三角形和不等邊三角形(4)三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B.試通過畫圖來判定，下列說法正確的是()A.一個直角三角形一定不是等腰三角形B.一個等腰三角形一定不是銳角三角形C.一個鈍角三角形一定不是等腰三角形D.一個等邊三角形一定不是鈍角三角形【答案】D.分別畫出下列三角形的角平分線、中線和高，可以總結(jié)出什么規(guī)律？總結(jié)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在___________，這一點(diǎn)叫作_______；三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在__________，這一點(diǎn)叫作_________；三角形的三條高線所在直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在_____________________，這一點(diǎn)叫作_________.【答案】三角形內(nèi)部，重心；三角形內(nèi)部；內(nèi)心；內(nèi)部、邊上或者外部，垂心.(1)如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，CF⊥AD于H.下列判斷正確的有_____________.①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH是△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高線.【答案】③④.(2)下列說法正確的是()A.三角形的角平分線、中線和高都是線段B.直角三角形只有一條高線C.三角形的中線可能在三角形的外部D.三角形的高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部【答案】(1)C；(2)A.木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中所示那樣釘上兩條斜拉的木板條(即圖中的AB和CD)，這樣做的根據(jù)是()A.矩形的對稱性B.矩形的四個角都是直角C.三角形的穩(wěn)定性D.兩點(diǎn)之間線段最短【答案】C.在建筑工地我們經(jīng)?？煽匆娙鐖D所示的木條EF固定長方形門框ABCD的情形，這種做法的根據(jù)是()A.兩點(diǎn)之間線段最短B.兩點(diǎn)確定一條直線C.長方形的四個角都是直角D.三角形的穩(wěn)定性【答案】D如圖，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD為BC邊上的中線，DF為△ABD中AB邊上的中線.已知AB=8cm，AC=5cm，△ABC的面積為，則(1)△ABD與△ACD的周長之差是_________；(2)△ABD的面積是_________；(3)△ADF的面積是_________.【答案】(1)3cm；(2)；(3).如圖，在△ABC中，CF、BE分別是AB、AC邊上的中線，若AE=2，AF=3，且△ABC的周長為15，則BC的長為________.【答案】5如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積等于().A.B.1C.D.【答案】B.【拓展思考】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進(jìn)四個良種進(jìn)行對比實(shí)驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你設(shè)計出兩種以上的劃分方案供選擇(可畫圖說明).【答案】三角形中線的用途，等底同高則面積相等.做房屋的屋架是運(yùn)用了三角形的().A.有三條邊的特性B.易變形特性C.穩(wěn)定不變形的特性D.矩形門框斜拉條【答案】C.三角形的三邊關(guān)系【知識梳理】引入：小明和弟弟每天從家里出發(fā)去同一所學(xué)校上學(xué)，弟弟直接沿直線走到學(xué)校，小明先買早餐再拐個彎走到學(xué)校，他們所走路線正好構(gòu)成一個三角形.小明每次都比弟弟走的路線長，你知道這是為什么嗎？三角形三邊的關(guān)系：在同一個三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.已知△ABC的三邊為a，b，c()，由兩點(diǎn)之間線段最短和不等式的性質(zhì)，那么會有：或.注：實(shí)際上，我們只要保證兩條較小邊之和大于最大邊或者最大邊與最小邊之差小于第三邊即可.【精講精練】下列長度的線段是否一定能組成三角形？①3，6，10；②3，5，8；③4，9，11；=4\*GB3④a，2a，3a；()=5\*GB3⑤3a，5a，8a(a>0)=6\*GB3⑥3a，a，2a+1()；=7\*GB3⑦x+1，x+2，x+3；=8\*GB3⑧三邊之比為3:5:6；=9\*GB3⑨，，(a≠0)；能組成三角形的有________________(填序號).【答案】③=6\*GB3⑥=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨.(1)若三角形的三邊長為3，4，x，則偶數(shù)x的值有_________.(2)已知三角形的兩邊為8、10，則周長l的范圍為_________.(3)一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是3和2011，則三角形的第三邊是_________.(4)已知a、b、c為三角形的三邊長，化簡_________.【答案】(1)2，4，6；(2)；(3)設(shè)第三邊邊長為a，且，又周長為偶數(shù)，故a=2010或2012.(4)∵三角形任意兩邊之和大于第三邊∴，，∴原式.(1)一個三角形的三邊長分別為2，22，，那么a的取值范圍是__________.(2)已知a，b，c是△ABC的三邊長，化簡的結(jié)果為__________.【答案】(1)或；(2)0.周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？【答案】設(shè)三角形的三邊長為、、，且，則有故，；又，，即當(dāng)時，有5組解：，；，；，；，；，；當(dāng)時，有組解：，；，；，；，；當(dāng)時，有2組解：，；，；當(dāng)時，有1組解：，；故周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有12個.不等邊三角形ABC的兩條高長度為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長.【答案】設(shè)第三邊c邊上高為h，三角形面積為S，高為4，12的兩邊為a，b，則有，，，.據(jù)三角形三邊關(guān)系定理及推論，得，.為整數(shù)，所以或5.又三角形為不等邊三角形，.等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12和21兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為多少？【答案】5.設(shè)腰長為a，底邊長為b，此題可分為兩類討論，或，第一類不符合，所以舍去；第二類解為，故為5.四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=9，AD=a，求a的取值范圍.【答案】.整數(shù)a，b，c為三角形的三邊且，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形個數(shù)？三角形的角的關(guān)系【知識梳理】引入：小紅把一個三角形的三個角完整的剪了下來，恰好能將它們整齊地拼在一條直線上，她又在紙上任意畫了一個三角形，剪下來的三個角依然能拼齊一個平角，這是為什么呢？三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.內(nèi)角和的證明：在△ABC中，如圖，求證：.證明：過點(diǎn)A作，如圖∴，∵∴三角形的外角性質(zhì)：(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.如圖，，以此類推.(2)三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.如圖，，以此類推.221AD3EBCF三角形的角的推論①推論1:直角三角形的兩個銳角互余.②推論2:三角形的一個外角大于任意一個和它不相鄰的內(nèi)角③推論3:三角形的外角和等于.【精講精練】三角形的內(nèi)角(1)在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:5，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.(2)在△ABC中，若∠A+∠C=2∠B，則∠B=______.【答案】(1)；(2).在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:2:3:5，③∠A=90

-∠B，④∠A=∠B-∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有________________.【答案】①②③④在△ABC中，若∠A:∠B=5:7，且∠C比∠A大10

，那么∠C的度數(shù)為________.【答案】可設(shè)，則.在△ABC中，，即解得，∴.在△ABC中，∠A-∠B=35

，∠C=55

，則∠B=________.【答案】如圖，直線a//b，則∠A=______.【答案】39°.如圖，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，則∠DFE=________.【答案】.如圖，在△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，BE，CD相交于點(diǎn)F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°則∠CFE的度數(shù)為_________.【答案】.如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠D=110

，∠1=∠2，則∠ACB=________.【答案】.如圖，在△ABC中，∠ACB和∠ABC的角平分線交于點(diǎn)O，若∠BOC=130

，連接AO，則∠BAO的度數(shù)是________.【答案】.【精講精練】三角形的外角(1)如圖，在△ABC中，∠A=80

，點(diǎn)D是BC邊的延長線上一點(diǎn)，∠ACD=150

，則∠B=________.(2)已知三角形的三個外角的度數(shù)比為2∶3∶4，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)().A.B.C.D.【答案】(1)；(2)C.(1)如圖，一個60

角的三角形紙片，剪去這個60

角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為()A.B.C.D.(2)如圖，△ABC中，D為BC上點(diǎn)，∠=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120

，則∠DAC的度數(shù)_________.(3)若一個三角形的三個外角的度數(shù)之比為3:4:2，那么這個三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定【答案】(1)A；(2)100°；(3)C.如圖，在△ABC中，∠A=70

，∠ABC=48

，BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分線，BD與CE交于點(diǎn)F，求∠CBD、∠EFD的度數(shù).【答案】∵(三角形內(nèi)角和定理)，∴.∵，∴.∴(直角三角形的兩個銳角互余).∴.∵CE是的平分線，∴，∴(三角形外角性質(zhì)).如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分線，AD、CE交于F點(diǎn)，當(dāng)∠BAC=80

∠B=40

時，求∠ACB，∠AEC，∠AFE的度數(shù).【答案】、、.如圖，∠A=60

，∠B=70

，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠2=80

，則∠1的度數(shù)為()A.B.C.D.無法確定【答案】A如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線.(1)若∠B=30

，∠C=50

，求∠DAE的度數(shù).(2)試問∠DAE與∠C-∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由.【答案】(1)10°；(2).【拓展思考】如圖，已知AF平分∠BAC，過F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20

，則求∠F的度數(shù).【答案】設(shè)，則，∵平分，∴∵，∴，∵，∴.∵，∴.【課后作業(yè)】已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，它的周長是().A.17B.22C.17或22D.13【答案】B.下列說法錯誤的是()A.三角形的角平分線能把三角形分成面積相等的兩部分B.三角形的三條中線，角平分線都交于一點(diǎn)C.直角三角形的三條高交于三角形的一個頂點(diǎn)D.鈍角三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部【答案】A已知三角形中兩邊長為2和7，(1)若第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為_________；(2)若這個三角形的周長為奇數(shù)，則第三邊長為_________.【答案】(1)16；(2)6或8.已知等腰三角形的一個外角為150°，則它的底角為_______.【答案】或.如果三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是奇數(shù)，則第三邊長可以是()A.3B.4C.5D.9【答案】C如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，GC⊥BC于點(diǎn)C，CF⊥AB于點(diǎn)F，下列關(guān)于高的說法中錯誤的是()A.△ABC中，AD是BC邊上的高B.△GBC中，CF是BG邊上的高C.△ABC中，GC是BC邊上的高D.△GBC中，GC是BC邊上的高【答案】C三角形的三邊長分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是()A.B.C.或D.【答案】B如圖，∠1=27

，∠2=95

，∠3=38

，求∠4的大小.【答案】.如圖，△ABC中，∠A=40

，∠B=72

，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF=_____度.【答案】由已知可得：.，.∴，.(1)在△ABC中，內(nèi)角度數(shù)比值為5:3:2，求這個三角形的形狀為_________(2)在△ABC中，外角度數(shù)比值為4:4:1，求這個三角形的形狀為_________(3)一個凸多邊形的內(nèi)角和為1980°，則這個多邊形的邊數(shù)_________.第2講三角形(二)【教學(xué)目標(biāo)】理解多邊形的定義，會用相關(guān)公式求內(nèi)角、外角度數(shù)，對角線條數(shù)及邊數(shù).熟練掌握三角形的相關(guān)概念，能夠利用三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和解決角度計算問題.理解模型的相關(guān)推導(dǎo)，牢記模型的推導(dǎo)結(jié)論，能夠活學(xué)活用相關(guān)模型.多邊形【知識梳理】多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的圖形叫做多邊形，其中，各個角相等，各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.對角線：多邊形中，不相鄰的兩點(diǎn)的連線，叫對角線.一般的，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引(n-3)條對角線，一共有條.多邊形的內(nèi)角和一般的，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引(n-3)條對角線，它們將n邊形分為(n-2)個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于.多邊形的外角和：360度正多邊形正多邊形的每一條邊都相等，每一個內(nèi)角的度數(shù)都相等，每一個外角的度數(shù)也都相等，每個內(nèi)角的度數(shù)為，每個外角的度數(shù)為.【精講精練】(1)若一個多邊形共有十四條對角線，則它是________邊形.(2)一個多邊形的對角線的條數(shù)等于邊數(shù)的5倍，則這個多邊形是________邊形.【答案】(1)七；(2)十三.(1)一個多邊形共有9條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)是_________.(2)已知一個多邊形的邊數(shù)是過它的一個頂點(diǎn)的對角線數(shù)的2倍，則這個多邊形是______邊形.【答案】(1)6；(2)六.(1)九邊形的內(nèi)角和等于___________.(2)若一個多邊形的內(nèi)角和等于1080

，則這個多邊形的邊數(shù)是________.【答案】(1)；(2)，解得.(1)一個多邊形如果增加一條邊，那么它的內(nèi)角和增加_____度；如果減少一條邊，那么它的內(nèi)角和減少______度.(2)一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°，則原來多邊形的邊數(shù)是_________.【答案】(1)180；180；(2)9或10或11.(1)n邊形內(nèi)角和為，增加一條邊為比原來增加180°，同理可知減少一條邊后內(nèi)角和為，減少了180°.(2)，解得n=10，即多邊形截去一個角后，變成了十邊形.(1)一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180

，這個多邊形的邊數(shù)是_________.(2)一凸n邊形最小的內(nèi)角為95

，其它內(nèi)角依次增加10

，則n=_________.(3)在凸多邊形中，小于108

的角最多可以有()A.3個B.4個C.5個D.6個【答案】(1)七.(2)這個凸n邊形的內(nèi)角由小到大依次為，它的外角依次為而這六個外角之和為∴n=6.(3)設(shè)凸邊形中，小于108

的角有x個.當(dāng)多邊形的一個內(nèi)角小于108

，則它的外角大于72

，而任意多邊形的外角和等于72

，故有72x<360解得x<5，故小于108

的角可以有4個，故選B(1)一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，則這個內(nèi)角的度數(shù)為_______.(2)一個多邊形的內(nèi)角和大于1100°，小于1400度，則這個多邊形的邊數(shù)是_______.【答案】(1)；(2)9.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的值.【答案】360°.八個角的和等于MNPQ的外角和360度.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的值.【答案】連接、∵三角形內(nèi)角和等于，∴，∵，∴，同理∴.三角形的相關(guān)模型【知識梳理】【精講精練】--折疊型如圖，將△ABC紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)一點(diǎn)上，若∠1=30°，∠2=36°，則_________.【答案】.如圖，把△ABC的一角折疊，若∠1+∠2=120°，則∠A的度數(shù)是________.【答案】.∵折疊，∴.∵，.∴.∴.∵，∴.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且平分∠ABC，平分∠ACB，若，則∠1+∠2的度數(shù)為().A.B.C.D.【答案】A.∵，∴.∵平分，平分，∴，∴，∴.如圖所示，把一個三角形紙片ABC的三個頂點(diǎn)向內(nèi)折疊之后(3個頂點(diǎn)不重合)，那么圖中∠1+∠∠2+∠3+∠4+∠+5+∠6的度數(shù)和是___________.【答案】..如圖，鈍角三角形紙片ABC中，∠BAC=110°，D為AC邊的中點(diǎn).現(xiàn)將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，折痕與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)C的落點(diǎn)記為F.若點(diǎn)F恰好在BA的延長線上，則∠ADF=__________°.【答案】.【精講精練】--8字模型如圖，∠B=∠C，則().A.B.C.D.不確定【答案】A.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為________．【答案】.如圖，BE與CD相交于點(diǎn)A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線．(1)試探求：∠F與∠B、∠D之間的關(guān)系？(2)若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．如圖所示，點(diǎn)E和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長線上，CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，試探索∠F與∠B，∠D的關(guān)系：．【答案】在與中，∴同理與中，∴∵，∴即，也可連接，而后利用等量代換求證．【精講精練】--燕尾型如圖，∠A=30

，∠B=73

，∠C=37

求∠ADC的度數(shù)．【答案】．如圖所示∠D=150

，∠B=50

，∠C=40

，則∠A=________．【答案】．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D=_________．【答案】220°．如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P的度數(shù)為()A．15°B．20°C．25°D．30°如圖，∠A+∠BCD=140

，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，∠BOD=______.【答案】.如圖，延長四邊形ABCD對邊AD，BC交于F，DC，AB交于E．若∠AED、∠AFB的平分線交于O，求證：【答案】∵∠AED，∠AFB的平分線交于點(diǎn)O，∴，，∴，∴．如圖所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，試探索∠DBE與∠DAE和∠DCE的關(guān)系：．【答案】連接，∵在中，∴∵在中，又∵，∴∴在中，∵∴，即：如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________.【答案】.如圖，AB//CD，∠A=30

，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________.【答案】.如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)為△ABC三邊上的一點(diǎn)，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________.【答案】.【精講精練】--雙角平分線型如圖，在△ABC中，∠ACB和∠ABC的角平分線交于點(diǎn)O，若∠BOC=130

，連接AO，則∠BAO的度數(shù)是________.【答案】.如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù)．如右圖所示，BD是∠ABC的角平分線，CD是△ABC的外角平分線，BD、CD交于點(diǎn)D，試探索∠A與∠D之間的關(guān)系：．【答案】∵∵，∴∵∴，即如圖，在△ABC中，∠B的平分線與∠C的外角平分線相交于D，∠D=40

．則∠A等于()A．B．C．D．【答案】依題意有，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論，有，，所以：，，．如右圖所示，BD是△ABC的外角平分線，CD也是△ABC的外角平分線，BD、CD交于點(diǎn)D，試探索∠A與∠D之間的關(guān)系：_________.【答案】∵，∴∴∵，∴∵在中，∴，即如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF．以下結(jié)論：①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90

-∠ABD；④BD平分；⑤．其中正確的結(jié)論有_______________．【答案】①②③⑤．【課后作業(yè)】在Rt△ABC中，∠C=90

，將∠C沿DE向三角形內(nèi)折疊，使得點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部，如圖，則∠1+∠2().A.B.C.D.【答案】C.如圖，∠1=28

，∠2=96

，∠3=39

則∠4=________.【答案】.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).【答案】.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).【答案】540°.連結(jié)，五邊形內(nèi)角和=540°.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B=35

，∠ACE=60

，則∠A=______.【答案】.如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=40

∠EAD=16

，則∠C的度數(shù)是_______.【答案】.已知一個多邊形的內(nèi)角和是900

，則這個多邊形是_________邊形.【答案】七.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時，則∠A與∠1、∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是().A.B.C.D.【答案】C.證明：∵折疊，∴.∵，∴.∵，∴.∴，即∵，∴.∴.如右圖所示，在△ABC中，CD、BE是外角平分線，BD、CE是內(nèi)角平分線，BE、CE交于E，BD、CD交于D，試探索∠D與∠E的關(guān)系：．【答案】在和中，∵同理∴∵，∴已知△ABC，判斷以下三個結(jié)論是否正確，并加以證明．(1)如圖a，若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則；(2)如圖b，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則；(3)如圖c，若P點(diǎn)是∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則．【答案】(1)∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴，，∴；(2)∵點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，∴，，∴；(3)∵點(diǎn)P是∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，∴，，∴．第3講三角形的邊綜合【教學(xué)目標(biāo)】熟練掌握三角形三邊關(guān)系，會利用三邊關(guān)系解決問題.理解并掌握線段不等關(guān)系的證明.掌握與中點(diǎn)相關(guān)的線段和角度的計算.【知識梳理】三角形兩邊之和大于第三邊；兩邊只差小于第三邊.【精講精練】--三角形的整數(shù)邊及其相關(guān)計算長為10，7，6，4的四根木條，選其中三根首尾相接組成三角形，選法有()A.4種B.3種C.2種D.1種【答案】Ba、b、c為三角形的三邊長，化簡，若此三角形周長為11，求上面式子的值.【答案】11.∵三角形任意兩邊之和大于第三邊∴，，∴原式.已知△ABC有兩邊長為a，b，其中a<b，則其周長l一定滿足().A.B.C.D.【答案】A.已知三角形三邊的長均為整數(shù)，其中某兩條邊長之差為5，若此三角形周長為奇數(shù)，則第三邊長的最小值為().A.8B.7C.6D.4【答案】6.設(shè)a-b=5，由已知可得a+b+c為奇數(shù)，所以c為偶數(shù)，且c>a-b，所以c的最小值為6.【精講精練】--線段不等關(guān)系證明在△ABC中，AD是BC邊上的中線，問成立嗎？為什么？【答案】成立.由題意，，在中，，在中，，由，得，即：.如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，請想一個辦法說明AB+AC>PB+PC.【答案】延長交于.∵在中，，①在中，，②由①、②，∴.即.如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：(1)；(2).【答案】(1)在中，，在中，，兩不等式相加得，∴即AB+CD<AC+DB.(2)應(yīng)用上題的結(jié)論：，，∴.【精講精練】--與中線(中點(diǎn))相關(guān)的計算在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且BD:DC=2:1，，那么__________.【答案】36.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且，則________.【答案】.已知△ABC，請你用兩種不同的方法把它分成面積之比為1:2:3的三個三角形.【答案】可以把三角形先兩等份，再把其中一個再兩等份，所以聯(lián)想到作三角形的中線.方法1：取BC的中點(diǎn)E，然后在BE上取點(diǎn)D，使，則AD，AE把△ABC分成面積之比為1：2：3的三個三角形(如左圖).方法2：在BC邊上截取，連結(jié)AD，然后取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)BP，CP，則△PAC，△PAB，△PBC的面積之比為1:2:3(如右圖).【課后作業(yè)】一個三角形的兩邊分別是5和11，若第三邊是整數(shù)，則這個三角形的最小周長是________.【答案】23.a、b、c為三角形的三邊長，化簡.【答案】.如圖矩形ABCD中，AB=8，CB=4，E是CD的中點(diǎn)，，則四邊形DBFE的面積為__________.【答案】10.如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn).求證：(1)；(2).【答案】(1)在△ACD中，，在△BCD中，，由，得，即：；(2)在△ACD中，，在△BCD中，，由，得，即：.在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a.(1)如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA.若△ACD的面積為，則_______(用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE.若△DEC的面積為，則__________(用含a的代數(shù)式表示)，并寫出理由；(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD=FE，得到△DEF(如圖3).若陰影部分的面積為，則__________(用含a的代數(shù)式表示).發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF(如圖3)，此時，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的______倍.應(yīng)用：去年在面積為的△ABC空地上栽種了某種花卉.今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF，第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH(如圖4).求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域(即陰影部分)面積共為多少___________？【答案】(1)由CD=BC，可知AC就是△ABD的中線，中線AC將△ABD的分成兩個三角形△ABC、△ACD，這兩個三角形等底等高，所以它們的面積相等；所以；(2)若連接DA，則DA就是△ECD的中線，中線DA將△ECD分成△CDA，△EDA，它們的面積相等；所以；(3)根據(jù)以上分析，可知△BFE，△CED，△EAF面積都為2a；所以；發(fā)現(xiàn)：由題意可知擴(kuò)展一次后的△DEF的面積是；即擴(kuò)展一次后的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍.應(yīng)用：由以上分析可知擴(kuò)展一次后，擴(kuò)展二次后，擴(kuò)展三次后，拓展區(qū)域的面積：.第4講三角形的角度綜合【教學(xué)目標(biāo)】掌握三角形內(nèi)角和、外角相關(guān)角度關(guān)系，會利用角度模型求角度.熟練掌握與角平分線相關(guān)角度關(guān)系計算，靈活運(yùn)用輔參法簡化幾何過程.了解折疊在題目中的作用，會做相關(guān)折疊類導(dǎo)角題目.【知識梳理】三角形導(dǎo)角模型內(nèi)角和相關(guān)外角相關(guān)8字模型(蝴蝶型)金字塔模型燕尾模型(飛鏢模型)A字模型注意：燕尾模型結(jié)論的常用證明方法：三角形雙角平分線模型(要求會證明過程)(1)內(nèi)內(nèi)型：(2)內(nèi)外型：(3)外外型：條件P點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn).P點(diǎn)是和外角的角平分線的交點(diǎn)P點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn).結(jié)論示意圖證明∵BP、CP是∠ABC和∠ACB的角平分線∴設(shè)∠ABP=∠PBC=x，∠ACP=∠PCB=y，在△ABC中，∠A+2x+2y=180°①在△PBC中，∠P+x+y=180°②由②×2-①得：，即.∵BP、CP是∠ABC和∠ACE的角平分線∴設(shè)∠ABP=∠PBC=x，∠ACP=∠PCE=y，在△ABC中，∠A+2x=2y①在△PBC中，∠P+x=y②由②×2-①得：，即.∵BP、CP是∠CBF和∠BCE的角平分線，∴設(shè)∠PBF=∠PBC=x，∠PCB=∠PCE=y，在△ABC中，∠A+(180

-2x)=2y①在△PBC中，∠P+x+y=180°②由②×2-①得：，即.【精講精練】--三角形導(dǎo)角模型(1)如圖1，∠A=70°，∠B=40°，∠C=20°，則∠BOC=__________.(2)如圖2，∠3=20

，∠4=30

則∠1-∠2___________.圖1圖2【答案】(1)130°；(2)10°.(1)如圖1，△ABC中，點(diǎn)D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A=30

，∠FCD=80

，則∠D的度數(shù)為___________.(2)如圖2，∠1=105

，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.(3)如圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.圖1圖2圖3【答案】(1)；(2)；(3).(1)如圖1，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.(2)如圖2，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.圖1圖2【答案】(1)本題既可按“8字模型”來考慮，也可按照燕尾模型來做，也可以應(yīng)用外角定理來解決，此題可以鍛煉學(xué)生一題多解，熟練靈活的應(yīng)用.=1\*GB3①如圖1，連接，應(yīng)用“8字模型”，.②如圖2，應(yīng)用燕尾模型，∵∵，∴③如圖3，應(yīng)用外角定理，∵又∵，∴圖1圖2圖3(2)法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6①∠C+∠D=∠4+∠6②∠E+∠F=∠4+∠5③=1\*GB3①+②+③=2(∠4+∠5+∠6)，∵.∴.法二：∵，①，②.③而，，，且.④∴①+②+③④得，法三：連接，∴(1)如圖1，α=133

β=83

，則∠A+∠B+∠C+∠D=______.(2)如圖2，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.圖1