專題03不等關(guān)系№專題03不等關(guān)系№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題03不等關(guān)系命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議不等式是每年高考都要考察的內(nèi)容，數(shù)學(xué)就是研究各種變量間的關(guān)系的，因此可以說就是研究相等與不等的，不等式的考察主要有不等式的性質(zhì)、解法和證明應(yīng)用等，常常與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合。在解答題中是必考的，在集合和函數(shù)的定義域、單調(diào)性、極值、最值等方面都有，因此應(yīng)用比較廣泛。預(yù)計(jì)2024年的高考不等式的考察還是必須的，對(duì)于題目的難易度來說，易、中、難都有，主要是以數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理為主。集合復(fù)習(xí)策略：1.理解不等關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，高考對(duì)不等式的考察還是比較穩(wěn)定的；2.掌握不等式的應(yīng)用，高考主要是考察不等式的各種應(yīng)用；3.掌握與不等式考察有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)?！?考點(diǎn)精析←一、比較大小1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法a二、不等式性質(zhì)1.對(duì)稱性:a>b?b<a(雙向性)2.傳遞性:a>b，b>c?a>c(單向性)3.可加性:a>b?a+c>b+c(雙向性)；a>b，c>d?a+c>b+d(單向性)4.可乘性:a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd(單向性)5.乘方法則:a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)(單向性)6.開方法則:a>b>0?na>n三、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).→?真題精講←1.（2020年新高考全國(guó)Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選ABD.2.（2019天津高考理科）已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，故，所以.故選A3.（2020江蘇省期末）若實(shí)數(shù)，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足，取，，則可排除．因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即故選C．4.（2020浙江省杭州第二中學(xué)高三其他）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以.對(duì)于，取，不成立；對(duì)于取，不成立；對(duì)于取，不成立.故選B.→?模擬精練←1．（2023春·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）下列推理正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若a，，則【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足，但，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以不等式兩邊同時(shí)乘以得：，不等式兩邊同時(shí)乘以得：，從而，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕坏仁絻蛇呁缘茫?，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)閍，，故當(dāng)或時(shí)，無意義，D錯(cuò)誤.故選：BC2．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確.故選：BD.3．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：利用作差法分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即，解得或，所以或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，因?yàn)閍＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍＞b＞0，且，可得同號(hào)，則有：若同正，可得，則，可得；若同負(fù)，可得，則，可得；綜上所述：，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閍＞b＞0，則，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.4．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A選項(xiàng)中，因?yàn)?，所以，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減且，所以，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤：C選項(xiàng)中，因?yàn)?，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，若，，滿足，但，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．5．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若正實(shí)數(shù)滿足,且,則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?為單調(diào)遞增函數(shù),故,由于,故,或，當(dāng)時(shí),,則，此時(shí)；,故;,即,所以;當(dāng)時(shí),,則,此時(shí),,故;,即,所以;故ABC均錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),,兩邊取自然對(duì)數(shù),,因?yàn)椴还?還是,均有,所以,故只需證即可.設(shè)(且),則,令(且),則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,所以在且上恒成立,故(且)單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,結(jié)論得證,所以D正確.故選:D.6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則有：當(dāng)，即時(shí)，則，即；當(dāng)，即時(shí)，由在時(shí)單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對(duì)于C：若，則有：當(dāng)，即時(shí)，顯然成立；當(dāng)，即時(shí)，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)時(shí)，所以，即，由可得，即又∵由在時(shí)單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對(duì)于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯(cuò)誤.故選：BC.8．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對(duì)進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對(duì)于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模）e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】構(gòu)建函數(shù)根據(jù)題意分析可得，對(duì)A、D：取特值分析判斷；對(duì)B、C：根據(jù)的單調(diào)性，分類討論分析判斷.【詳解】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則有：當(dāng)，即時(shí)，則，即；當(dāng)，即時(shí)，由在時(shí)單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對(duì)于C：若，則有：當(dāng)，即時(shí)，顯然成立；當(dāng)，即時(shí)，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)時(shí)，所以，即，由可得，即又∵由在時(shí)單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對(duì)于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：指對(duì)同構(gòu)的常用形式：（1）積型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).10．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知正數(shù)滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，?gòu)造，所以，當(dāng)，即時(shí)，分析即可，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，由，所以，構(gòu)造，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由得，所以，故此時(shí)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以可能成立，故C選項(xiàng)可能正確，由，即，構(gòu)造，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，即，所以，構(gòu)造，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故A可能正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC→?專題訓(xùn)練←一、用不等式表示不等關(guān)系1.鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【分析】根據(jù)長(zhǎng)、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關(guān)系式.【詳解】長(zhǎng)、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.2.某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過年之后，方案的投入為，故經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D3.某校在冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)中，要給獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生購(gòu)買獎(jiǎng)品，要求花費(fèi)總額不得超過元，已知一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為元、元，一等獎(jiǎng)人數(shù)與二等獎(jiǎng)人數(shù)的比值不得高于，且獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不能小于．設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生有人，獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生有人，則滿足的不等關(guān)系為______．【答案】.【分析】根據(jù)已知可直接得到不等式組，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，化簡(jiǎn)得：.故答案為：二、有已知條件判斷所給不等式是否正確4.若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【分析】對(duì)于AB，舉例判斷，對(duì)于CD，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，即，所以D錯(cuò)誤，故選：C5.如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】若，則，故A錯(cuò)誤；若，，則，故B錯(cuò)誤；若，則，故C正確；若，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例法逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，顯然不成立；B：當(dāng)時(shí)，顯然沒有意義；C：當(dāng)時(shí)，顯然不成立；D：根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故選：D三、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小7.（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A：利用同向不等式相加，即可證明；對(duì)于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對(duì)于D：取特殊值即可否定結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所?因?yàn)?，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，?duì)兩邊同乘以，則有.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?對(duì)兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對(duì)于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤.故選：ABC8.（多選）下列命題正確的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．a(chǎn)b=0是的充要條件 D．a(chǎn)≥b＞－1，則【答案】AD【分析】舉出一例判斷存在命題是否正確，判斷A，舉反例判斷BC，由不等式的性質(zhì)判斷D．【詳解】對(duì)A，時(shí)，，A正確；對(duì)B，時(shí)，對(duì)任意，，不成立，B錯(cuò)；對(duì)C，時(shí)滿足，但此時(shí)，C錯(cuò)；對(duì)D，，則，，則，D正確．故選：AD．四、作差法比較代數(shù)式的大小9.如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例判斷A，B，D錯(cuò)誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯(cuò)，，B錯(cuò)，，，D錯(cuò)，因?yàn)?，所以所以，故，C對(duì)，故選：C.10.（多選）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接推導(dǎo)否定選項(xiàng)AC，直接推導(dǎo)證明選項(xiàng)BD正確.【詳解】選項(xiàng)A：由，可得.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可得，則，則.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得，則，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，則.判斷正確.故選：BD五、作商法比較代數(shù)式的大小11.（多選）對(duì)于實(shí)數(shù)，，，正確的命題是