第第頁【解析】黑龍江省大慶市實驗中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題黑龍江省大慶市實驗中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．（2023高一上·大慶月考）函數(shù)的定義域為（）

A．B．

C．D．

2．（2023高一上·大慶月考）函數(shù)在上的最小值為（）

A．2B．1C．D．

3．（2023高一上·大慶月考）若且為第三象限角，則的值等于（）

A．B．C．D．

4．（2023高一上·大慶月考）設(shè)集合，若A為空集，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一上·大慶月考）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若則的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

6．（2023高一上·大慶月考）已知，則（）

A．2B．0C．D．

7．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)則（）．

A．B．C．D．

8．（2023高一上·大慶月考）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

9．（2023高一上·大慶月考）已知恒為正數(shù)，則取值范圍是（）

A．B．

C．D．

10．（2023高一上·大慶月考）化簡得（）

A．B．

C．D．

11．（2023高一上·大慶月考）在平面直角坐標系中，集合設(shè)集合中所有點的橫坐標之積為，則有（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·蘭州期中）若對于定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，則稱是一個“特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個零點；

④是一個“特征函數(shù)”．

A．1B．2C．3D．4

二、填空題

13．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數(shù)的圖像過點，則

14．（2023高一上·大慶月考）一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5，則這個扇形中心角的弧度數(shù)為．

15．（2023高一上·大慶月考）20世紀30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為其中，A是被測量地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際的距離造成的偏差），眾所周知，5級地震已經(jīng)比較明顯，計算8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的倍.

16．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)滿足，函數(shù)，且與的圖像的交點為，則

三、解答題

17．（2023高一上·大慶月考）

（1）計算；

（2）已知，求的值.

18．（2023高一上·大慶月考）設(shè)

（1）求

（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

19．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數(shù)

（1）求的解析式；

（2）①若圖像不經(jīng)過坐標原點，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

②若圖像經(jīng)過坐標原點，解不等式.

20．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)其反函數(shù)為

（1）求證：對任意都有，對任意都有

（2）令，討論的定義域并判斷其單調(diào)性（無需證明）.

（3）當時，求函數(shù)的值域；

21．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)；

（1）求實數(shù)的值.

（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

22．（2023高一上·大慶月考）已知二次函數(shù)滿足①對于任意，都有；②；③的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4.

（1）求的解析式；

（2）記

①若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

②記的最小值為，討論函數(shù)零點的個數(shù).

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】要使函數(shù)有意義，則，解得且，

所以函數(shù)定義域為.

故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，寫出自變量滿足的條件，即可求解.

2．【答案】C

【知識點】函數(shù)的最大（?。┲?/p>

【解析】【解答】因為函數(shù)，

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，

所以當時，.

故答案為：C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最小值.

3．【答案】C

【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因為且為第三象限角，

所以，

則.

故答案為：C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限，即可求解.

4．【答案】D

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

【解析】【解答】當時，原不等式為，A為空集；

當時，因為A為空集

所以無解，

只需滿足，

解得，

綜上實數(shù)的取值范圍是.

故答案為：D

【分析】分兩種情況分類討論，時符合題意，時只需滿足即可求解.

5．【答案】B

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】因為函數(shù)為奇函數(shù)，

所以，

因為，

且函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，

故答案為：B

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，只需比較，利用對數(shù)性質(zhì)及指數(shù)性質(zhì)比較，，即可求解.

6．【答案】D

【知識點】函數(shù)的值；對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

【解析】【解答】

.

故答案為：D

【分析】將自變量代入函數(shù)解析式，利用對數(shù)的運算化簡求值即可.

7．【答案】D

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】,

故答案為：D.

【分析】利用分段函數(shù)的解析式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，從而求出函數(shù)值。

8．【答案】C

【知識點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】設(shè)g（x）＝x2﹣ax+1，

則要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得：

滿足，即，

得a，

即實數(shù)a的取值范圍是，

故答案為：C．

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可.

9．【答案】A

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當時，是減函數(shù)，，

則，解得；

當時，是增函數(shù)，，

則，解得，又，所以；

綜上取值范圍是.

故答案為：A

【分析】分兩種情況分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

10．【答案】A

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

【解析】【解答】

故答案為：A

【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結(jié)合平方關(guān)系即可得到。

11．【答案】B

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】作出函數(shù)與圖象：

設(shè)與圖象交于不同的兩點，設(shè)為，，不妨設(shè)，則，

在R上遞減，

，即，

，

即，

故答案為：B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象可知，圖象有兩交點，設(shè)兩交點，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，即可得到，進而求出.

12．【答案】C

【知識點】函數(shù)的連續(xù)性；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【解析】【解答】對于①中，設(shè)，當時，函數(shù)是一個“特征函數(shù)”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數(shù)”，所以①不正確；

對于②中，函數(shù)，

則，即，

當時，，

當時，方程由唯一的解，

所以不存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，

所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數(shù)根，若，，

又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)的，所以在上必由實數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有實根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設(shè)是一個“特征函數(shù)”，則對任意的實數(shù)成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故答案為：C．

【分析】利用新定義“特征函數(shù)”，對選項逐個進行判定，即可求解，得到答案．

13．【答案】9

【知識點】冪函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】因為冪函數(shù)的圖像過點，

所以，解得，

故，

所以.

故答案為：9

【分析】將點的坐標代入函數(shù)解析式即可求出，利用函數(shù)解析式即可求值.

14．【答案】

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得：，

據(jù)此可得這個扇形中心角的弧度數(shù)為。

【分析】利用扇形的弧長公式結(jié)合扇形的面積公式，從而建立扇形中心角的弧度數(shù)和圓的半徑方程組，從而求出這個扇形中心角的弧度數(shù)。

15．【答案】1000

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】由可得，即，

當時，地震的最大振幅為；當時，地震的最大振幅為；

所以，兩次地震的最大振幅之比是：，即8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.

故答案為：1000

【分析】先根據(jù)求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù)，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.

16．【答案】40

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】因為函數(shù)滿足，

所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，

又，

所以的圖象也關(guān)于成中心對稱，

因此與的圖像的交點為關(guān)于成中心對稱，

所以

故答案為：40

【分析】由知函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，，圖象關(guān)于點成中心對稱，故交點關(guān)于成中心對稱，即可求解.

17．【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；運用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】【分析】（1）根據(jù)終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等化簡求值即可（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系化為正切即可.

18．【答案】（1）解：由解得，故，

因為，所以，即,

所以.

（2）解：因為，

所以，

故.

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；交集及其運算

【解析】【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的交集運算即可求解（2）由可知，結(jié)合數(shù)軸求解即可.

19．【答案】（1）解：因為冪函數(shù)，

所以，解得或，

所以函數(shù)為或.

（2）解：①因為圖像不經(jīng)過坐標原點，

所以，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.

②因為圖像經(jīng)過坐標原點，

所以，

因為為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，

所以，

又在上為增函數(shù)，

所以，

解得，

所以不等式的解為.

【知識點】冪函數(shù)的概念與表示；冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)可得，求出m即可（2）①根據(jù)圖象不過原點確定函數(shù)解析式，寫出單調(diào)區(qū)間即可②根據(jù)圖象過原點確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.

20．【答案】（1）證明：因為，

所以對任意都有.

因為其反函數(shù)為，

當時，

，

所以對任意都有.

（2）解：因為，

所以，

當時，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

當時，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

所以時函數(shù)定義域為，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時函數(shù)定義域為，函數(shù)在上為增函數(shù).

（3）解：當時，,

令，

則

因為對稱軸為，

所以當時，，當時，，

故函數(shù)的值域為.

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；抽象函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

【解析】【分析】（1）寫出其反函數(shù)為，根據(jù)解析式即可證明（2）寫出，分類討論，寫出定義域及單調(diào)性即可（3）寫出，利用換元法求其值域即可.

21．【答案】（1）解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，

所以，即，經(jīng)檢驗符合題意

（2）解：由（1）知

函數(shù)為R上的減函數(shù)，證明如下；

設(shè)，

則

因為，，

故，

則是R上的減函數(shù).

（3）解：因為為奇函數(shù)，

所以

又是R上的減函數(shù)，

所以恒成立，

令，

因為，

所以，

當時，，

所以時，不等式恒成立.

故實數(shù)的取值范圍..

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)知，代入計算即可（2）首先對解析式變形，用作差法判斷函數(shù)單調(diào)性即可（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性可得恒成立，只需求函數(shù)的最小值即可.

22．【答案】（1）解：因為二次函數(shù)中，

所以對稱軸，

又的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4，

所以與軸交點為

設(shè)，

又，

所以

即.

（2）解：①,

對稱軸為，

因為為單調(diào)函數(shù)，

所以或

解得或.

故的取值范圍是或.

②,

對稱軸為，

當，即時，，

當，即時，，

當，即時，

綜上

函數(shù)零點即為方程的根，

令，即的根，

作出的簡圖如圖所示：

（i）當時，，或，

解得或，有3個零點.

（ii）當時，有唯一解，解得，有2個零點.

（iii）當時，有兩個不同的解，

解得或，有4個零點.

（iv）當時，，，解得，有2個零點.

（v）當時，無解，無零點.

綜上：當時，無零點；

當時，4個零點；

當時，有3個零點；

當或時，有2個零點

【知識點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可知二次函數(shù)對稱軸，的圖像與軸的兩個交點之間的距離為4可求出交點，利用交點式求函數(shù)解析式（2）①寫出二次函數(shù)，根據(jù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系可求出的取值范圍②分類討論求出函數(shù)的最小值，換元后作出函數(shù)圖象，再利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

1/1黑龍江省大慶市實驗中學(xué)2023-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．（2023高一上·大慶月考）函數(shù)的定義域為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】要使函數(shù)有意義，則，解得且，

所以函數(shù)定義域為.

故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，寫出自變量滿足的條件，即可求解.

2．（2023高一上·大慶月考）函數(shù)在上的最小值為（）

A．2B．1C．D．

【答案】C

【知識點】函數(shù)的最大（?。┲?/p>

【解析】【解答】因為函數(shù)，

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，

所以當時，.

故答案為：C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最小值.

3．（2023高一上·大慶月考）若且為第三象限角，則的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因為且為第三象限角，

所以，

則.

故答案為：C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限，即可求解.

4．（2023高一上·大慶月考）設(shè)集合，若A為空集，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

【解析】【解答】當時，原不等式為，A為空集；

當時，因為A為空集

所以無解，

只需滿足，

解得，

綜上實數(shù)的取值范圍是.

故答案為：D

【分析】分兩種情況分類討論，時符合題意，時只需滿足即可求解.

5．（2023高一上·大慶月考）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若則的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

【解析】【解答】因為函數(shù)為奇函數(shù)，

所以，

因為，

且函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，

故答案為：B

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，只需比較，利用對數(shù)性質(zhì)及指數(shù)性質(zhì)比較，，即可求解.

6．（2023高一上·大慶月考）已知，則（）

A．2B．0C．D．

【答案】D

【知識點】函數(shù)的值；對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

【解析】【解答】

.

故答案為：D

【分析】將自變量代入函數(shù)解析式，利用對數(shù)的運算化簡求值即可.

7．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)則（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】,

故答案為：D.

【分析】利用分段函數(shù)的解析式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，從而求出函數(shù)值。

8．（2023高一上·大慶月考）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】設(shè)g（x）＝x2﹣ax+1，

則要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得：

滿足，即，

得a，

即實數(shù)a的取值范圍是，

故答案為：C．

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可.

9．（2023高一上·大慶月考）已知恒為正數(shù)，則取值范圍是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】當時，是減函數(shù)，，

則，解得；

當時，是增函數(shù)，，

則，解得，又，所以；

綜上取值范圍是.

故答案為：A

【分析】分兩種情況分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

10．（2023高一上·大慶月考）化簡得（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

【解析】【解答】

故答案為：A

【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結(jié)合平方關(guān)系即可得到。

11．（2023高一上·大慶月考）在平面直角坐標系中，集合設(shè)集合中所有點的橫坐標之積為，則有（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】作出函數(shù)與圖象：

設(shè)與圖象交于不同的兩點，設(shè)為，，不妨設(shè)，則，

在R上遞減，

，即，

，

即，

故答案為：B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象可知，圖象有兩交點，設(shè)兩交點，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，即可得到，進而求出.

12．（2023高一上·蘭州期中）若對于定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，則稱是一個“特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個零點；

④是一個“特征函數(shù)”．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知識點】函數(shù)的連續(xù)性；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【解析】【解答】對于①中，設(shè)，當時，函數(shù)是一個“特征函數(shù)”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數(shù)”，所以①不正確；

對于②中，函數(shù)，

則，即，

當時，，

當時，方程由唯一的解，

所以不存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，

所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數(shù)根，若，，

又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)的，所以在上必由實數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有實根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設(shè)是一個“特征函數(shù)”，則對任意的實數(shù)成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故答案為：C．

【分析】利用新定義“特征函數(shù)”，對選項逐個進行判定，即可求解，得到答案．

二、填空題

13．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數(shù)的圖像過點，則

【答案】9

【知識點】冪函數(shù)的概念與表示

【解析】【解答】因為冪函數(shù)的圖像過點，

所以，解得，

故，

所以.

故答案為：9

【分析】將點的坐標代入函數(shù)解析式即可求出，利用函數(shù)解析式即可求值.

14．（2023高一上·大慶月考）一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5，則這個扇形中心角的弧度數(shù)為．

【答案】

【知識點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得：，

據(jù)此可得這個扇形中心角的弧度數(shù)為。

【分析】利用扇形的弧長公式結(jié)合扇形的面積公式，從而建立扇形中心角的弧度數(shù)和圓的半徑方程組，從而求出這個扇形中心角的弧度數(shù)。

15．（2023高一上·大慶月考）20世紀30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為其中，A是被測量地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際的距離造成的偏差），眾所周知，5級地震已經(jīng)比較明顯，計算8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的倍.

【答案】1000

【知識點】對數(shù)的性質(zhì)與運算法則；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】由可得，即，

當時，地震的最大振幅為；當時，地震的最大振幅為；

所以，兩次地震的最大振幅之比是：，即8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.

故答案為：1000

【分析】先根據(jù)求得地震最大振幅關(guān)于M的函數(shù)，將震級代入分別求出最大振幅，最后求出兩次地震的最大振幅之比即可.

16．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)滿足，函數(shù)，且與的圖像的交點為，則

【答案】40

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】因為函數(shù)滿足，

所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，

又，

所以的圖象也關(guān)于成中心對稱，

因此與的圖像的交點為關(guān)于成中心對稱，

所以

故答案為：40

【分析】由知函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，，圖象關(guān)于點成中心對稱，故交點關(guān)于成中心對稱，即可求解.

三、解答題

17．（2023高一上·大慶月考）

（1）計算；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；運用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】【分析】（1）根據(jù)終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等化簡求值即可（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系化為正切即可.

18．（2023高一上·大慶月考）設(shè)

（1）求

（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）解：由解得，故，

因為，所以，即,

所以.

（2）解：因為，

所以，

故.

【知識點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；交集及其運算

【解析】【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的交集運算即可求解（2）由可知，結(jié)合數(shù)軸求解即可.

19．（2023高一上·大慶月考）已知冪函數(shù)

（1）求的解析式；

（2）①若圖像不經(jīng)過坐標原點，直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

②若圖像經(jīng)過坐標原點，解不等式.

【答案】（1）解：因為冪函數(shù)，

所以，解得或，

所以函數(shù)為或.

（2）解：①因為圖像不經(jīng)過坐標原點，

所以，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.

②因為圖像經(jīng)過坐標原點，

所以，

因為為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，

所以，

又在上為增函數(shù)，

所以，

解得，

所以不等式的解為.

【知識點】冪函數(shù)的概念與表示；冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)可得，求出m即可（2）①根據(jù)圖象不過原點確定函數(shù)解析式，寫出單調(diào)區(qū)間即可②根據(jù)圖象過原點確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.

20．（2023高一上·大慶月考）已知函數(shù)其反函數(shù)為

（1）求證：對任意都有，對任意都有

（2）令，討論的定義域并判斷其單調(diào)性（無需證明）.

（3）當時，求函數(shù)的值域；

【答案】（1）證明：因為，

所以對任意都有.

因為其反函數(shù)為，

當時，

，

所以對任意都有.

（2）解：因為，

所以，

當時，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

當時，解得，且函數(shù)在上為增函數(shù)

所以時函數(shù)定義域為，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時函數(shù)定義域為，函數(shù)在上為增函數(shù).

（3）解：當時，,

令，

則

因為對稱軸為，

所以當時，，當時，，

故函數(shù)的值域為.

【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；抽象函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

【解析】【分析】（1）寫出其反函數(shù)為，根據(jù)解析式即可證明（2）寫出，分類討論，寫出定義域及單調(diào)性即可（3）寫出，利用換元法求其值域即可.

21．