預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解函數(shù)平均變化率的概念，會求函數(shù)的平均變化率；2．理解瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念，會用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3．理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題.1．函數(shù)的平均變化率一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當(dāng)Δx≠0時，商eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(Δy,Δx)稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率．思考1在平均變化率中，Δx，Δy，eq\f(Δy,Δx)是否可以等于0？當(dāng)平均變化率等于0時，是否說明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)？提示：Δx可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)，但Δx不可以為0，Δy可以為0；eq\f(Δy,Δx)eq\f(Δy,Δx)等于0時，并不說明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)．例如函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[－2,2]上的平均變化率是0，但它不是常數(shù)函數(shù)．點撥函數(shù)平均變化率的幾何意義：如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率，就是直線AB的斜率，其中A(x0，f(x0))，B(x1，f(x1))．事實上，kAB＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(Δy,Δx).2．瞬時速度與導(dǎo)數(shù)(1)瞬時速度物體在運動過程中的某一時刻的速度稱為瞬時速度．用數(shù)學(xué)語言描述為：物體運動的位移函數(shù)s＝f(t)，當(dāng)Δt趨近于0時，f(t)在t0到t0＋Δt之間的平均速度eq\f(ft0＋Δt－ft0,Δt)趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱為物體在t＝t0時刻的瞬時速度．(2)瞬時變化率設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變量為Δx時，函數(shù)值相應(yīng)地改變Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．如果當(dāng)Δx趨近于0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨近于一個常數(shù)l，那么常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率．(3)導(dǎo)數(shù)“當(dāng)Δx趨近于0時，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨近于常數(shù)l”可以用符號“→”記作“當(dāng)Δx→0時，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→l”，或記作“eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝l”，符號“→”讀作“趨近于”．函數(shù)y＝f(x)在點x0的瞬時變化率，通常稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f′(x0)．這時又稱f(x)在點x0處是可導(dǎo)的．對于上述變化過程，可以記作當(dāng)Δx→0時，eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)→f′(x0)或f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(4)導(dǎo)函數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x都是可導(dǎo)的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)．這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)．于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f′(x)或y′(或y′x)．導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù)．思考2“函數(shù)f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者有何關(guān)系？提示：(1)函數(shù)f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個數(shù)值，不是變量．(2)導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)，所以(3)函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這點的函數(shù)值．點撥導(dǎo)數(shù)定義式的幾種常見的變式：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)；f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋2Δx－fx,2Δx)；f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)；f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx－fx＋Δx,－Δx)；f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(x→x0))eq\f(fx－fx0,x－x0).3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示．AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線．由此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率．當(dāng)點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的最終位置為直線AD，這條直線AD叫做此曲線在點A的切線．于是，當(dāng)Δx→0時，割線AB的斜率趨近于在點A的切線AD的斜率，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝切線AD的斜率．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))的切線的斜率等于f′(x0)．思考3與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線嗎？提示：不一定．如x軸或與x軸平行的直線與拋物線y2＝2px(p＞0)均只有一個公共點，但不能說這些直線是拋物線的切線．思考4曲線的切線與曲線只有一個公共點嗎？提示：不一定．例如直線y＝1是曲線y＝sinx的一條切線，但它們有無數(shù)個公共點．點撥正確區(qū)分曲線切線的兩種不同描述方法：(1)曲線