1.3.2“楊輝三角〞與二項式系數的性質一般地，對于nN*有二項式定理:

二項展開式中的二項式系數指的是哪些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數有些什么性質.我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數有什么特點.?詳解九章算法?中記載的表楊輝三角1．了解楊輝三角，并能由它解決簡單的二項式系數問題．(難點)2．了解二項式系數的性質并能簡單應用．(重點)3．掌握“賦值法〞并會靈活應用.探究點1．“楊輝三角〞的來歷及規(guī)律展開式中的二項式系數，如下表所示：11

121133114641151010511615201561點擊圖片可以演示“楊輝三角〞課件第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=4+61066=3+34=1+341．楊輝三角的特點(1)在同一行中每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數；(2)在相鄰的兩行中，除1外的每一個數都等于它“肩上〞兩個數的，即＝.想一想：二項式系數表與楊輝三角中對應行的數值都相同嗎？提示：不都相同．二項式系數表中第一行是兩個數，而楊輝三角的第一行只有一個數．實際上二項式系數表中的第n行與楊輝三角中的第n＋1行對應數值相等．相等和探究點2二項式系數的性質

展開式的二項式系數依次是：

從函數角度看，可看成是以r為自變量的函數,其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．2．二項式系數的性質〔1〕對稱性與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數相等．

這一性質可直接由公式得到．圖象的對稱軸：〔2〕增減性與最大值由于：所以相對于的增減情況由決定．由：

可知，當時，

因此，當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值；

當n為奇數時，中間兩項的二項式系數,相等，且同時取得最大值.二項式系數是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半局部是逐漸減小的，且中間項取得最大值.〔3〕各二項式系數的和在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數的和等于：同時由于，上式還可以寫成：〔1〕〔2〕〔4〕

一般地，展開式的二項式系數有如下性質：

（3）當時，

當時，2．在(x－y)11的展開式中，求(1)通項Tr＋1；(2)二項式系數最大的項；(3)項的系數絕對值最大的項；(4)項的系數最大的項；(5)項的系數最小的項；(6)二項式系數的和；(7)各項系數的和．性質的應用：1.的展開式中的所有二項式系數之和為128，那么展開式中二項式系數最大的項是_______．解：(1)(2)二項式系數最大的項為中間兩項：

(3)項的系數絕對值最大的項也是中間兩項：(4)因為中間兩項系數的絕對值相等，一正一負，第7項為正，故(5)項的系數最小的項為(6)二項式系數的和為(7)各項系數的和為(1－1)11＝0.【拓展提升】1.二項式系數的最大項的求法求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大.(2)當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.變式：(x+2y)7展開式中系數最大的項為_______.2.展開式中系數的最大項的求法求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為A0,A1，A2,…,An，且第r+1項最大，應用解出r，即得出系數的最大項.1.二項式系數的三個性質2.數學思想：函數思想

a

單調性；b

圖象；c

最值.距離相等

2n－1

2n

3.二項式的系數1．(a＋b)n展開式中只有第5項的二項式系數最大，那么n等于()A．11B．10C．9D．8解：因為只有第5項的二項式系數最大，所以所以n＝8.D2．在(a－b)10

(a＞0,b＞0)的二項展開式中，系數最小的項是________．解：在(a－b)10的二項展開式中，奇數項的系數為正，偶數項的系數為負，且偶數項系數的絕對值為對應的二項式