L〔2022清華〕對于集合MqR2〔表示二維點集〕，稱m為開集，當且僅當叫wM,方＞對于集合MqR2〔表示二維點集〕，稱m為開集，當且僅當叫wM,方＞0,使得!peR2j|PP|Mo判斷集合4x+2y-5>0｝與集合｛(X,y)Jx>05y>0是否為開集，并證明你的結(jié)論。2,〔2022北大〕VxeR5acosx+bcos2x>.1恒成立，求”*歆〔2022清華〕八 abccx,y,Z>0,a、b、c是X、y、z的一個羅列。求證：一十一十一之3。xyz〔2022清華〕a,b為非負數(shù)，M=a4+b4,a+b=l,求M的最值?！?022北大〕實數(shù)a(i=1,2,3),b(i=1,2,3)滿足a+a+a=b+b+bTOC\o"1-5"\h\zi i 12 3 12 3aa+aa+aa=bb+bb+bb

12 23 13 12 23 13min(a,a,a)<min(b,b,b)o求證：aa+aa+aa=bb+bb+bb

12 23 13 12 23 13max(a,a,a)<max(b,b,b)o1 2 3 1 23〔2022清華〕試求出一個整系數(shù)多項式f(x)=axn+axn-i+...+a)使得f(x)=0有一根為nn-1 0〔2022清華〕x>0,y>0,x+y=l,n為正整數(shù)，求證：X2n+y2n> 22n-1〔2022北大〕f(x)=X2-53x+196+|x2-53x+196|,求f(i)+f(2)+…+f(50)?！?022清華〕TOC\o"1-5"\h\z設(shè)正三角形T的邊長為a,T是T的中點三角形，A為T除去T后剩下三個三角形切1 n+1n nn n+1圓面積之和，求lim匯nAon 卜k?1〔2022北大〕數(shù)列匕>x定義如下：a=1,a=a=2,a=a=a=3, nn-1 1 2 3 456(i)給定自然數(shù)n,求使a=n的(i)給定自然數(shù)n,au(m2 b令b=>a,求hm-。m 1mf*m31=1〔2022清華〕/+1-^=—的整數(shù)局部為A,小數(shù)局部為Bo(1)求A、B;AB求A2+B2+ ;2求+B2+...+Bn)n，，〔2022年清華特色考試〕在蒲豐投針試驗中，平行線間距為a,針長為b,試求針與線相交的概率與a、b的關(guān)系，并1求什么情況下概率是一。n【蒲豐投針：1)取一白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線。2)取一根長度為1〔］vd〕的針，隨機地向畫有平行直線的紙上擲n次,觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m3］計算針與直線相交的概率. 】〔2022清華〕隨機挑選一個三位數(shù)I⑴求I含有因子5的概率。⑵求I中恰有兩個數(shù)碼相等的概率。〔2022清華〕某音響設(shè)備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C路線，D左聲道和E右聲道，其中每一個部件工作的概率如下列圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B中有一工作，C工作,D與E中有一工作；且假設(shè)D和E同時工作那末有立體聲效果.求：⑴聲效果的概聲音的概率.15,求：⑴聲效果的概聲音的概率.15,〔2022北能聽到立體率；〔2〕聽不到大〕向量OA與OB夾角，|OA|=2,|OB|=15OP=tOA,OQ=(1_t)OB,|PQ|在時取1得最小值。問當0<t時，夾角的取值國。16,〔2022清華〕求最小正整數(shù)n,使得I=(一十———i)n為純虛數(shù),并求出Io2 2V317,〔2022清華〕sint+cost=1,設(shè)s=cost+isint,求f(s)=1+s+及+...+s%〔2022北大〕圓接四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求ABCD的外接圓的半徑?！?022北大〕是否存在0<x<；,使得sinx,cosx,tanx,cotx的某種羅列為等差數(shù)列.〔2022清華特備測試〕求sir)4lOo+sin45Oo+siiWOo的值?！?022清華〕sin9+cos9=\l1+sin29,求9的取值圍?！?022清華〕sin9,sina,cos9為等差數(shù)列，sin9,sinb,cos9為等比數(shù)列，求8s2a—；cos2b的值?！?022清華〕A(—1—1),編ABC是正三角形，且b、c在雙曲線xy=1(x>0)一支上。(1)求證：B、C關(guān)于直線產(chǎn)x對稱;(2)求編ABC的周長。24,〔2022清華〕『Mp|PN「『Mp|PN「2百M(-2,0),N(2,0)(i)求點p的軌跡w；(2)直線y二k(x—2)與w交于點a、b,求S 〔。為原點〕?AOB25,〔2022清華〕X2V2橢圓+ =1(a>b>0),過橢圓左頂點A(—a,0)的直線L與橢圓交于Q,與y軸交于aT反R,過原點與L平行的直線與橢圓交于P。求證：AQ,阮P,AR成等比數(shù)列。〔2022清華〕四面體ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC.求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；設(shè)底面為BCD,另外三個面與面BCD所形成的二面角為a,b,丫，求證:cosa+cosb+cosY=1〔2022北大〕A、B為y=1-X2上在第一二象限的兩個點，求過A、B的切線與x軸圍成面積的最小值?！?022清華〕ex求f(x)=一的單調(diào)區(qū)間與極值。X〔2022清華〕Pq|y=X2上有一點p〔非原點〕，在P處引切線交x、y軸于Q、R,求年百?(2022北大)函數(shù)f(x)的導函數(shù)f[x)連續(xù)，且f(0)=0,f,(0)=ao記曲線y=f(x)與P(t50)最近的點為Q(s,f(s)),求極限值lim_otT)t〔2022清華〕一元三次函數(shù)f(X)的三次項系數(shù)為，f(x)+9x>0的解集為(1,2)。(1)假設(shè)f，(x)+7a=0有兩個相等的實根，求f，(x)的解析式；假設(shè)f(x)在R上單調(diào)遞減，求a的圍?！?022清華〕寫出所有的三個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，且公差為8的等差數(shù)列，并證明之?！?022清華〕求所有的由正整數(shù)組成的集合S〔至少2個元素〕，使S中的元素之和等于元素之積。〔2(X)5清華〕f(x)滿足：ga5bgR,有f(ab)=af(b)+bf⑻，且|f(x)1,求證：f(x)恒為o.〔2022清華〕設(shè)a,a,…，a為整數(shù)，性質(zhì)p為：對a,a,…，a中任意2n個數(shù)，存在一種分法可將TOC\o"1-5"\h\z2 2n+1 1 2 2n+1其分為兩組每組n個數(shù)，使得兩組所有元素的和相等。求證a,a,…，a全部相等當且僅1 2 2n+1當a,a,a具有性質(zhì)po1 2 2n+1〔2022清華〕求證：當p,q都為奇數(shù)時，y=X2-2px+2q與x軸交點的橫坐標為無理數(shù)?！?022北大〕正無窮等差數(shù)列中有13、25、41,求證：2022也在該數(shù)列中?！?022北大〕設(shè)f(x)=x2+(k+1)x+2k+1,g(k)是k的多項式。(1)設(shè)f(a)與k無關(guān)，求常數(shù)a；(2)求一次多項式g(k),使得f(g(k))與k無關(guān)；(3)設(shè)g(k)是二次以上多項式，證明f(g(k))必與k有關(guān)；(4)設(shè)a、b為f(x)=0的解，試求a、b滿足的方程，并用圖形表示出來，其中a取作橫坐標軸，b取作縱坐標軸；(5)如果a、b是整數(shù)，求出與這樣的a、b對應的所有的k值。〔2022清華〕⑴求三直線x+y=60,y=2x,y=0所圍成的三角形上的整點個數(shù)；2x+y共60求不等式組〈yv2.V的整數(shù)解的個數(shù)?！?022清華〕求正整數(shù)區(qū)間[m,n](n>m)中，不能被3整除的數(shù)之和?！?022北大〕排球單循環(huán)賽有假設(shè)干南、北方球隊參加，南方球隊比北方球隊多9支。每場比賽勝者得1分，敗者不得分。比賽完畢后南方球隊的總積分是北方的9倍，求證：單循環(huán)賽完畢后，必定是某支南方球隊積分最高?！?022清華特色測試〕設(shè)計一種為一維數(shù)軸的全體實數(shù)染色的方案，使得數(shù)軸上任意兩個相距為1,應、石的點都不同色，要求使用顏色至少?！?022年清華〕有200件物品，可以用100個一樣的箱子裝下〔每箱裝2件〕?，F(xiàn)不小心將這200件物品弄亂，于是采用如下裝法：任取一件物品，裝入第一個箱子；再取一件，假設(shè)能裝入第一箱那么裝入第一箱，否那末裝入第二箱；再取一件，假設(shè)能裝入第二件所在的箱子那末裝入，否那末裝入下一箱。以此類推，直至所有物品都裝箱。問：至少需要準備多少箱子才干確保裝下這200件物品.〔2022北大〕某次考試，共有333名學生做對了1000道題，做對3道及以下為不合格，6道及以上為優(yōu)秀，考場中每人做對題目數(shù)不全同奇偶，問：不及格者與優(yōu)秀者哪個多？45,(2022清華)64匹馬，速度各不一樣，每場比賽只能有8匹馬參賽。問：能否用不超過50場比賽排出所有馬的速度大小順序.假設(shè)不能，給出證明；假設(shè)能，給出比賽方案?！膊豢紤]疲勞等因素，馬速恒定〕〔2022清華特色測試〕長為L的木棒（L為整數(shù)）可以鋸為長為整數(shù)的兩段，要求任何時刻所有木棒中的最長者長度嚴格小于最短者長度的2倍。例如長為4的木棒可以鋸為2+2兩段，而長為7的木棒第一次可以鋸為3+4,第二次可以再將長為4的木棒鋸為2+2,這時2+2+3三段不能再鋸。問：長為30的木棒最多可以鋸為多少段.〔2022清華〕證明：一個四面體中至少存在一個頂點，從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個三角形。（2）四面體的一個頂點的三個角分別是90。,60o,arctan2,求6Oo的面和arctan2的面所成的二面角?！?022清華〕現(xiàn)有A和B兩人做如下游戲：兩人輪流在黑板上寫下一個自然數(shù)，要求新寫下的數(shù)不能表TOC\o"1-5"\h\z示成黑板上已有數(shù)字的非負整系數(shù)線性組合，即：假設(shè)寫下了a,a,…，a,那末新寫下的1 2n數(shù)不能表示成ax+ax+…+ax,其中x是自然數(shù)。例如，假設(shè)黑板上已經(jīng)寫下3和5,11 22 nn i那末不能再寫8、9、10等等。寫下數(shù)字1的人將輸?shù)舯荣?。假設(shè)黑板上最初寫下的兩個數(shù)是5和6,然后A繼續(xù)，A和B輪流寫數(shù)，問二人誰有必勝策略.〔2022北大〕六邊形ACBACB中，1 1 1AC=ABBA=BCCB=CA=A+=B+=C==A+=B+=C1 11 11 1 1 1 1求證：三角形ABC的面積是六邊形ACBACB面積的一半。1 1 150,〔2022清華〕a,b,c都是有理數(shù)，\Ta2b 也是有理數(shù)。證明：x/a,Jb都是有理數(shù)。51,〔2022北大〕『y=2x+y-1解方程組：（yC=2c-?-3y-X\xz=4n+3.v—852,〔2022北大〕J5+1求證：邊長為1的正五邊形的對角線長為二 253,〔2022清華〕用有限的拋物線以及它們的部能否覆蓋整個平面.〔含焦點的區(qū)域稱為拋物線部〕54,〔2022北大〕A、B為邊長為1的正五邊形邊上的點，證明：AB最長為"十?9〔2022清華〕證明：以原點為中心面積大于4的矩形中，至少還有2個格點。 〔數(shù)學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點Qatticepoint)或者整點?！场?022清華特色考試〕12人玩一個游戲，游戲開場后每一個人被隨機的戴上紅黃藍綠四種顏色之一的帽子，每一個人可以看到其余11人的帽子的顏色，但不能看到自己的帽子的顏色。游戲開場后，12個人不再交流，并要求猜出自己帽子的顏色，請為這12人在游戲前商定一個方案，使得他們同時猜對自己頭上帽子顏色的概率盡可能大，并求出這種方案下同時猜對的概率?！?022清華〕求2+2eo.4mi+a抓的模。 【歐拉公式：出=cosx+isinx]〔2022清華〕limf(x)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=X2,求f(x)。x)0〔2022北大〕是否存在實數(shù)x,使得tanx+<3和cotx+<5都為有理數(shù).〔2022清華〕隨機取多少個整數(shù)，才干有0.9以上的概率使得這些數(shù)中至少有一個偶數(shù).〔2003交大〕,a?+2a ,求證： 是最簡分數(shù)。44+3g+1〔2022交大〕集合A={削+njn=N*},集合B是集合A對N*的補集，證明，不存在無限項的等差數(shù)列，使得各項都在集合B中?！?022