相對(duì)論性相對(duì)論的質(zhì)速關(guān)系

在傳統(tǒng)的狹義辯論（以下簡(jiǎn)稱概論）中，洛倫茲變換公式可以從光滑變量原理導(dǎo)出，并根據(jù)相對(duì)性原理、矩陣測(cè)量和能量守固定規(guī)律導(dǎo)出。通過(guò)使用洛倫茲變換公式，可以獲得質(zhì)速關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，確定了觀測(cè)能量p.m、觀測(cè)能量r=mc2、觀測(cè)能量r-2mc2和m02c4的相關(guān)方程。因此，觀測(cè)質(zhì)量關(guān)系已成為觀測(cè)動(dòng)力學(xué)的中心公式。需要指出的是,相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系的最初推導(dǎo)僅適用于運(yùn)動(dòng)速度v=|v|<c的粒子(物體),稱為“慢子”(tardyon),這類粒子原則上都具有靜止參考系,因而也具有非零的靜質(zhì)量m0≠0。將上述相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系推廣應(yīng)用于以光速運(yùn)動(dòng)的光子,為了不違反能量守恒定律,使得光子能量ε=mc2為有限,必須要求光子靜質(zhì)量為零(m0=0),從而保證光子動(dòng)質(zhì)量m為有限值。實(shí)際上光子靜質(zhì)量為零完全是一個(gè)額外的理論假設(shè),無(wú)法在實(shí)驗(yàn)中直接嚴(yán)格驗(yàn)證。在實(shí)驗(yàn)中能夠檢驗(yàn)的是光子的能量-動(dòng)量關(guān)系是否滿足ε2-p2c2=0,而無(wú)法確定光子的靜質(zhì)量精確為零。隨著相對(duì)論理論的發(fā)展,對(duì)相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系的適用范圍也有了進(jìn)一步的推廣,除了以光速運(yùn)動(dòng)的光子外,還可以推廣應(yīng)用到超光速運(yùn)動(dòng)的所謂“快子”(tachyon)。由于“快子”的運(yùn)動(dòng)速度總是大于光速,為了保證能量為實(shí)數(shù),必須要求“快子”的靜質(zhì)量為虛數(shù),即“快子”的能量-動(dòng)量關(guān)系為ε2-p2c2=m02c4<0。因此在傳統(tǒng)相對(duì)論理論中,對(duì)于“慢子”有v<c,其靜質(zhì)量為m02>0;對(duì)于光子有v=c,其靜質(zhì)量為m0=0;而對(duì)于“快子”有v>c,其靜質(zhì)量為m02<0。但是對(duì)于光子和“快子”引進(jìn)靜質(zhì)量的概念,無(wú)論在實(shí)驗(yàn)上和理論上都會(huì)存有疑問(wèn)。在實(shí)驗(yàn)上光子的靜質(zhì)量為零是無(wú)法直接嚴(yán)格驗(yàn)證的,因?yàn)槿魏挝锢頊y(cè)量值都不會(huì)嚴(yán)格為零。實(shí)驗(yàn)上能夠給出的是光子質(zhì)量的上下限,而零本身就是最小質(zhì)量下限而無(wú)需由實(shí)驗(yàn)給出。除非實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虼_定光子具有非零的靜質(zhì)量下限值(但此時(shí)光子將屬于“慢子”),則通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量最終只能給出光子的靜質(zhì)量上限值。而“快子”至今還未被發(fā)現(xiàn),即使今后實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)超光速粒子,也無(wú)法確定是否就是m02<0的虛質(zhì)量粒子,因?yàn)閷?shí)驗(yàn)上也無(wú)法直接測(cè)量超光速粒子的靜質(zhì)量。在理論上,更是存在邏輯上的不自洽,依據(jù)相對(duì)論的速度變換公式,光子和“快子”的速度在任何慣性系中都不會(huì)小于光速,因而這類粒子是不可能存在靜止參考系的。對(duì)于不存在靜止參考系的粒子引進(jìn)靜質(zhì)量的概念,既無(wú)實(shí)質(zhì)意義也存在邏輯上的矛盾,特別是虛質(zhì)量的概念更容易引起爭(zhēng)議。本文認(rèn)為這些問(wèn)題本質(zhì)上都是由于傳統(tǒng)相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系的適用范圍對(duì)于無(wú)靜止參考系粒子(光子和“快子”)的不恰當(dāng)推廣所導(dǎo)致。從邏輯上說(shuō),對(duì)于無(wú)靜止參考系的粒子無(wú)法準(zhǔn)確定義靜質(zhì)量,因此質(zhì)速關(guān)系應(yīng)嚴(yán)格限定為只適用于具有靜止參考系特性的“慢子”。本文依據(jù)相對(duì)性原理及動(dòng)量和能量的基本定義,dp=Fdt,dε=F?dr,以及相應(yīng)的動(dòng)量守恒和能量守恒定律,無(wú)需引進(jìn)光速不變假設(shè),也無(wú)需利用洛倫茲變換公式和具體的時(shí)空變換關(guān)系,給出一種適用范圍更廣的相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系的動(dòng)力學(xué)新推導(dǎo),其中vm是在求解質(zhì)速關(guān)系的微分方程中自動(dòng)給出的極限速度,不需要引進(jìn)額外的理論假設(shè)。該普遍的質(zhì)速關(guān)系既適用于v<vm的“慢子”,若對(duì)“慢子”取v0=0,即可回到通常的質(zhì)速關(guān)系形式;同時(shí)也無(wú)需引進(jìn)靜質(zhì)量概念而適用于v>vm的“快子”。若對(duì)“快子”取v0→∞,則“快子”的質(zhì)速關(guān)系可轉(zhuǎn)化為,其中p∞為“快子”在v→∞時(shí)的有限動(dòng)量。對(duì)于v=vm的恒速運(yùn)動(dòng)粒子,我們稱為“常子”(conston),其質(zhì)速關(guān)系則為m(v2)=m(vm2)。在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步確定時(shí)空的廣義洛倫茲變換公式,從而建立起適用于所有粒子的更為普遍的相對(duì)論理論。1s系的速度特征當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí),由于動(dòng)量是矢量,可設(shè)粒子的動(dòng)量為p=p(a,v)=ag(v)v,其中a為參考系變換下不變的表征該粒子力學(xué)特性的本征參量,g(v)為待定函數(shù),依據(jù)空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性,g(v)在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下應(yīng)保持不變,因而有g(shù)(v)=g(v2)。ag(v2)應(yīng)該具有質(zhì)量的量綱,稱為粒子的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量(簡(jiǎn)稱質(zhì)量):m=m(v2)通常稱為質(zhì)速關(guān)系,由此粒子的相對(duì)論動(dòng)量可一般性地寫為粒子的能量為標(biāo)量,可寫為ε=ε(a,v)=aG(v),其中G(v)為另一待定函數(shù)。依據(jù)空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性,同樣應(yīng)有G(v)=G(v2),由此粒子的相對(duì)論能量也可一般性地寫為為了確定未知函數(shù)g(v2)和G(v2),下面先討論一個(gè)相對(duì)論性兩體彈性散射過(guò)程。若選取適當(dāng)?shù)膮⒖枷礢,使得兩體散射發(fā)生在YZ平面,并設(shè)質(zhì)量分別為m1和m2的兩粒子分別以速度v1=[0,0,v1]和v2=[0,0,-v2]沿Z方向發(fā)生彈性散射,即在S系中,散射后質(zhì)量為m3粒子的速度為v3=[0,v3y,v3z],散射后質(zhì)量為m4粒子的速度為v4=[0,v4y,v4z],見(jiàn)圖1。依據(jù)動(dòng)量守恒定律則有記,則式(4)可改寫為依據(jù)能量守恒定律ε3+ε4=ε1+ε2,即有式(5)和式(6)可以用于求解散射后粒子的運(yùn)動(dòng)速度v3和v4。對(duì)于討論兩個(gè)相同粒子(即a1=a2),以相同速率(即v1=v2)進(jìn)行彈性散射的特例,則有m1v1-m2v2=0。由式(5)可得m32v32=m42v42,即a32g2(v32)v32=a42g2(v42)v42。若有a3=a4,則可推得v3=v4。代入式(6)可得a3G(v32)=a1G(v12),由此可確定v3=v4=f(v1)。引入相對(duì)于S系沿X方向以速度V運(yùn)動(dòng)的S′系,見(jiàn)圖2。依據(jù)一般的線性時(shí)空變換關(guān)系:可求得一般的速度變換關(guān)系為其中α(V)和γ(V)兩者間并不獨(dú)立,而具有關(guān)系依據(jù)式(8)可以得到,在S′系中,散射前質(zhì)量為m1和m2粒子的速度分別為;散射后質(zhì)量為m3和m4粒子的速度分別為。由相對(duì)性原理,在S′系中應(yīng)同樣滿足動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律在S′系中各粒子的運(yùn)動(dòng)速度分別為因?yàn)関1′x=v2′x=v3′x=v4′x=-V,由此可得即有引入記號(hào)則有若考慮a1=a2,a3=a4,即兩個(gè)相同粒子以相同速率進(jìn)行彈性散射的特例,由前面討論可知,在此彈性散射特例中有v12=v22,v32=v42,由式(11)可知v1′2=v2′2,v3′2=v4′2,代入式(15)可得由于V和v1為兩個(gè)獨(dú)立參量,而由關(guān)系a3G(v32)=a1G(v12)可確定v3=f(v1),因而依據(jù)式(11)可知v1′2和v3′2也都可以獨(dú)立地變化,因此(i=1,2,3,4)必須是與粒子運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)的常量。雖然這一結(jié)論是在某個(gè)散射特例中推導(dǎo)而得,但對(duì)更一般的情況,顯然A為常量也是普遍式(15)的解。由此可知,在S′系中,粒子能量和動(dòng)質(zhì)量之比應(yīng)為與粒子運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)的常量。另一方面由相對(duì)性原理,所有慣性系在物理上都是等價(jià)的,因而必然要求能量和動(dòng)質(zhì)量之比應(yīng)為與參考系選取無(wú)關(guān)的常量。依據(jù)以上討論,一般可設(shè)粒子能量和動(dòng)質(zhì)量之比為其中A為與粒子運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)的待定常量,即粒子能量應(yīng)正比于動(dòng)質(zhì)量,這樣才能保證能量守恒或質(zhì)量守恒在任何慣性系中都滿足相對(duì)性原理。于是粒子能量可以寫為在相對(duì)論力學(xué)中,粒子所受外力F可定義為而粒子相對(duì)論能量ε的定義為對(duì)于一個(gè)不受外力作用的孤立系統(tǒng),可知其系統(tǒng)的總動(dòng)量和總能量都為常量分別守恒。由此可得由此得到有關(guān)質(zhì)速關(guān)系m=m(v2)的微分方程:積分求解式(22)可得兩個(gè)不同的解。由條件v2<A,可知相應(yīng)粒子的運(yùn)動(dòng)速度都應(yīng)有上限,該類粒子可稱為“慢子”,則可引入最小的速度上限vmax,使得粒子速度v=|v|<vmax,(vmax-v)→0,即vmax是“慢子”原則上能夠無(wú)限趨近的運(yùn)動(dòng)速度上限。由條件v2>A,可知相應(yīng)粒子的運(yùn)動(dòng)速度都應(yīng)有下限,該類粒子可稱為“快子”,則可引入最大的速度下限vmin,使得粒子速度v=|v|>vmin,(v-vmin)→0,即vmin是“快子”原則上能夠無(wú)限趨近的運(yùn)動(dòng)速度下限。由p=|p|=mv,對(duì)于外力F沿粒子運(yùn)動(dòng)的切向分量有而普遍的質(zhì)能關(guān)系則為2時(shí)空變換關(guān)系在第1節(jié)討論的兩體彈性散射過(guò)程中,由S系和S′系中散射前后的能量守恒式,并由式(11)可得聯(lián)立方程:利用已確定的普遍質(zhì)能關(guān)系(式(27))可得代入式(28)后可得關(guān)系vm2=(vm2-V2)[γ(V)]2,由條件γ(V=0)=1,可解得進(jìn)而由式(9)可求得將γ(V)和α(V)代入式(7),即可確定相對(duì)論時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換關(guān)系:由式(8),可得相對(duì)論的速度變換關(guān)系為與我們?cè)谖墨I(xiàn)中討論的完全非彈性碰撞過(guò)程的推導(dǎo)結(jié)果相同,本文依據(jù)相對(duì)性原理以及動(dòng)量守恒和能量守恒定律,無(wú)需引進(jìn)光速不變的假設(shè),通過(guò)動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)再次確定了時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式。本文的推導(dǎo)證明該變換公式不僅適用于通常的“慢子”,也適用于“快子”。依據(jù)廣義洛倫茲速度變換(式(33)),不難驗(yàn)證在任何慣性參考系變換下,“慢子”的運(yùn)動(dòng)速度都小于vm,“快子”的運(yùn)動(dòng)速度都大于vm,說(shuō)明“慢子”與“快子”之間無(wú)法通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。由此可推知在已確定的廣義洛倫茲速度變換下,“慢子”的運(yùn)動(dòng)速度上限必須等于“快子”的運(yùn)動(dòng)速度下限,否則若有vmax≠vmin,就可利用|V|>Minimum{vmax,vmin}的參考系變換來(lái)實(shí)現(xiàn)“慢子”與“快子”之間的轉(zhuǎn)換,但這顯然違反廣義洛倫茲變換特性,因此必有vmax=vmin=vm?？蓪m稱為極限速度,對(duì)于“慢子”來(lái)說(shuō)極限速度是速度上限v<vm,而對(duì)于“快子”來(lái)說(shuō)極限速度則是速度下限v>vm。3“快子”的質(zhì)速關(guān)系對(duì)于“慢子”,原則上都存在靜止參考系,因而具有非零的靜質(zhì)量m0=m(0)≠0,在普遍質(zhì)速關(guān)系(式(26))中取v0=0,即可回到“慢子”通常的質(zhì)速關(guān)系形式:將“慢子”的質(zhì)速關(guān)系式與m=m(v2)=ag(v2)相比較,可知“慢子”的本征力學(xué)量為a=m0≤m,,因此“慢子”的靜質(zhì)量m0也可稱為本征質(zhì)量或最小質(zhì)量。對(duì)于“快子”,在任何參考系中都有v>vm,因此快子不存在靜止參考系,也無(wú)法定義靜質(zhì)量。由式(26)可得對(duì)于“快子”,由于有m∞=m(v2→∞)=0,令p∞為v→∞時(shí)“快子”的有限動(dòng)量,則有,由此“快子”的質(zhì)速關(guān)系為“快子”的動(dòng)量則為將“快子”的質(zhì)速關(guān)系式與m=m(v2)=ag(v2)相比較,可知“快子”的本征力學(xué)量為,因此“快子”的|p∞|也可稱為本征動(dòng)量或最小動(dòng)量。若將p=mv和ε=mvm2推廣到以速率v=vm運(yùn)動(dòng)的粒子,則由式(33)不難驗(yàn)證在任何慣性系中該粒子的運(yùn)動(dòng)速率都將為v=vm,我們將這類粒子命名為“常子”(conston)。由于“常子”同樣不存在靜止參考系,因而也不具有靜質(zhì)量?！俺Ｗ印奔炔痪哂斜菊髻|(zhì)量m0,也不具有本征動(dòng)量|p∞|,表征“常子”力學(xué)特性的本征量應(yīng)是本征速度vm。由于極限速度vm為廣義洛倫茲變換下的不變量,因而若取vm=c,則光速不變就成為相對(duì)論的一個(gè)推論。普遍的相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系可寫為而普遍的相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系則為將ε2=m2vm4和p2vm2=m2v2vm2代入式(26)可得由于等號(hào)右邊是與時(shí)空變換無(wú)關(guān)的確定常量,因此(ε2-p2vm2)是一個(gè)時(shí)空變換下的不變量。對(duì)于“慢子”可取v0=0,則有m2(v02)(vm2-v02)vm2=m02vm4;對(duì)于“常子”,必須取v0=vm,則m2(v02)(vm2-v02)vm2=0;對(duì)于“快子”,則有m2(v02)(vm2-v02)vm2=-p∞2vm2。由此可得各類粒子的能量-動(dòng)量關(guān)系式為4靜質(zhì)量概念的引進(jìn)本文依據(jù)相對(duì)性原理和相對(duì)論力學(xué)的基本定義dp=Fdt,dε=F?dr,以及相應(yīng)的動(dòng)量守恒和能量守恒定律,通過(guò)討論更為普遍的兩體彈性散射過(guò)程(文獻(xiàn)討論過(guò)兩體完全非彈性碰撞的特例),無(wú)需引進(jìn)光速不變假設(shè),完全在動(dòng)力學(xué)范圍內(nèi)證明了相對(duì)論能量ε=aG(v2)必須正比于相對(duì)論質(zhì)量m=ag(v2),其中a是表征各種粒子力學(xué)特性的相應(yīng)特征參量,為參考系變換下的不變量。通過(guò)建立和求解質(zhì)速關(guān)系的微分方程,得到了更為普遍的相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系ε(v2)=m(v2)vm2,其中vm是在求解微分方程中自動(dòng)給出的極限速度。極限速度vm的存在是相對(duì)論本身自洽的要求,不需要引入額外的理論假設(shè)。對(duì)于v<vm,v0<vm的“慢子”,質(zhì)速關(guān)系回到通常的形式,其中靜質(zhì)量m0為表征“慢子”力學(xué)特性的本征質(zhì)量或最小質(zhì)量a=m0≤m。對(duì)于v>vm,v0>vm的“快子”,質(zhì)速關(guān)系可化為,其中p∞是v→∞時(shí)的有限動(dòng)量,為表征“快子”力學(xué)特性的本征動(dòng)量或最小動(dòng)量。對(duì)于v=v0=vm的“常子”,表征其力學(xué)特性的應(yīng)為本征速度或極限速度vm。在傳統(tǒng)相對(duì)論中,將“慢子”的靜質(zhì)量概念m0不恰當(dāng)?shù)赝茝V到了“常子(光子)”和“快子”,導(dǎo)致光子具有零靜質(zhì)量和“快子”具有虛靜質(zhì)量的結(jié)論,但實(shí)際上“常子”和“快子”并不存在靜止參考系,引進(jìn)的所謂靜質(zhì)量在實(shí)驗(yàn)上無(wú)法直接測(cè)量,在理論上也存在邏輯矛盾。依據(jù)本文的討論,給出了對(duì)所有粒子都適用的普遍質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系式,傳統(tǒng)相對(duì)論的質(zhì)速關(guān)系則成為“慢子”在取vm=c時(shí)的特例情況,對(duì)于“常子”和“快子”則無(wú)需引進(jìn)靜質(zhì)量概念。實(shí)際上靜質(zhì)量m0只是適用于“慢子”的本征力學(xué)量,“快子”的本征力學(xué)量是本征動(dòng)量|p∞|,“常子”的本征力學(xué)量則是極限速度vm。由p=mv和ε=mvm2,以及本文推得的普遍的相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系,消去v后可以得到普遍的粒子能量-動(dòng)量之間的關(guān)系式:ε2-p2vm2=m2(v02)(vm2-v02)vm2,因此(ε2-p2vm2)是一個(gè)時(shí)空變換下的不變力學(xué)量,依據(jù)其值大于零、等于零和小于零,可以定義并區(qū)分“慢子”、“常子”和“快子”。這比通常以不同的靜質(zhì)量(m02>0,m02=0,m02<0)來(lái)定義和區(qū)分“慢子”,“常子”和“快子”,在理論上更為普遍和準(zhǔn)確,實(shí)驗(yàn)上也更具可操作性。傳統(tǒng)相對(duì)論的能量-動(dòng)量關(guān)系式為ε2-p2c2=m02c4,并需要假設(shè)光子的靜質(zhì)量為零,從而有ε2-p2c2=0;需要假設(shè)“快子”具有虛的靜質(zhì)量,從而有ε2-p2c2<0。但對(duì)于無(wú)靜止參考系的粒子,實(shí)際上無(wú)法測(cè)量所謂靜質(zhì)量。本文拋棄這些含有邏輯錯(cuò)誤的假設(shè),對(duì)于“快子”和“常子”無(wú)需引進(jìn)靜質(zhì)量的概念而給出可測(cè)量的判別公式。若巳知極限速度vm,則在任意參考系中可通過(guò)測(cè)量“快子”的能量和動(dòng)量,由公式來(lái)確定“快子”的本征參量|p∞|。值得指出的是,光子靜質(zhì)量為零m0=0的條件在實(shí)際的物理計(jì)算中并不會(huì)起實(shí)質(zhì)性的作用,真正起作用的是關(guān)系式ε2-p2c2=0(或ε=pc)。認(rèn)為光子無(wú)靜質(zhì)量與假設(shè)光子靜質(zhì)量為零,雖然在概念上具有明顯差別,但并不影響實(shí)際的物理計(jì)算,因此拋棄光子的靜質(zhì)量概念并不會(huì)影響現(xiàn)有的物理結(jié)果。由于“常子”和“快子”都不具有靜質(zhì)量,無(wú)法形成實(shí)際的參考系,因而實(shí)際的參考系都是由“慢子”這類實(shí)物粒子構(gòu)成的,因此參考系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度必須滿足條件|V|<vm,這既保證在廣義洛倫茲變換下,“慢子”的速度上限等于“快子”的速度下限,也使得“慢子”、“常子”和“快子”之間無(wú)法通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)的參考系變換來(lái)互相轉(zhuǎn)換。本文無(wú)需引進(jìn)光速不變假設(shè),無(wú)需引進(jìn)“常子”和“快子”具有靜質(zhì)量的假設(shè),建立了一種適用范圍更廣的相對(duì)論理論,不僅適用于v<vm的“慢子”,也適用于v=vm的“常子”以及v>vm的“快子”。在運(yùn)動(dòng)學(xué)的廣義洛倫茲變換公式以及相對(duì)論動(dòng)力學(xué)公式中