空間角的概念及其求法主講：劉厚順長(zhǎng)沙市周南中學(xué)高一數(shù)學(xué)組長(zhǎng)沙市周南中學(xué)智慧教學(xué)云課堂·高一數(shù)學(xué)考綱要求會(huì)求異面直線所成的角，直線與平面所成的角的大小或它們的一種三角函數(shù)值．會(huì)求簡(jiǎn)單二面角大小。知識(shí)梳理一、異面直線a，b所成角的定義經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角直角叫做異面直線a與b所成的角或夾角．二、射影自一點(diǎn)與平面α相交又不垂直，則直線m叫做平面α的斜線，交點(diǎn)稱(chēng)為斜足．四、斜線與平面所成的角平面α的一條斜線PA和它在平面α上的射影OA所成的銳角∠PAO，叫做斜線與平面所成的角．平面的垂線與平面所成的角為90°，而直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，此直線與平面所成的角為0°，任意直線與一個(gè)平面所成的角的取值范圍為：．如圖1五、二面角從一條直線AB出發(fā)的兩個(gè)半平面α和β所組成的圖形叫做二面角．記作二面角α-AB-β，AB叫做二面角的棱，兩個(gè)半平面α和β叫做二面角的面．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)O分別在二面角的兩個(gè)面α，β內(nèi)作與棱垂直的射線OM，ON，我們把∠MON叫做二面角α-AB-β的平面角，用它來(lái)度量二面角的大?。鐖D2二面角的平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直．二面角θ的取值范圍：θ∈．平面角是直角的二面角叫做直二面角．基礎(chǔ)自測(cè)1．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為 A．30° B．60° C．90° D．120°解析：二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為兩條直線所成的角，所以θ＝60°故選B答案：B3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線DB與B1C所成角的大小為_(kāi)_____．4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝a，AA′＝a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為考點(diǎn)探究考點(diǎn)一求直線與平面所成角的大小【例1】△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，則直線AD與平面BCD所成的角等于 A．60° B．45°C．30° D．15°解析：作AM垂直于CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面DBC，所以AM⊥，則∠ADM為所求角，且BC⊥DM因?yàn)椤螦BC＝∠DBC＝120°，所以∠ABM＝∠DBM＝60°又AB＝BD，所以△ABM≌△DBM，所以AM＝DM，在Rt△AMD中，∠ADM＝45°答案：B點(diǎn)評(píng)：求空間角的常用的步驟是：一作找，二證，三計(jì)算，作找出所求角是計(jì)算的基礎(chǔ)，求斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于作找出斜線在該平面內(nèi)的射影．變式探究1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上． 1求證：平面AEC⊥平面PDB； 2當(dāng)PD＝AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大?。?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC∴AC⊥平面PDB∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB考點(diǎn)二求異面直線所成的角的大小【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________________．法二因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，故A1在平面CDD1C1上的射影為D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影為D1M，而在正方形CDD1C1中，由tan∠DD1M＝tan∠CDN＝，可知D1M⊥DN ①又A1D1⊥平面CDD1C1，DN?CDD1C1，所以A1D1⊥DN ②由①②可得DN⊥平面A1D1M，所以A1M⊥DN，即異面直線A1M與DN所成的角為90°答案：90°點(diǎn)評(píng)：求異面直線的夾角，常用的方法是通過(guò)平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角．變式探究2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AA1＝8 1求證：AC⊥BC1； 2求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．1證明：∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC又∵C1C∥AA1，AA1⊥面ABC，∴C1C⊥面ABC∴AC⊥C1C∴AC⊥面BCC1B1∵BC1?平面BCC1B1，∴AC⊥BC1例3、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD考點(diǎn)三求簡(jiǎn)單二面角的大小課時(shí)升華折疊問(wèn)題與求空間角問(wèn)題的綜合考點(diǎn)四【例4】如下圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE1求證：BE⊥平面ADE；2求BD和平面ADE所成的角的正弦值．3求BD和平面CDE所成的角的正弦值解析：1證明：過(guò)D作DH⊥AE于H由平面ADE⊥平面ABCE得，DH⊥平面ABCE，所以DH⊥BE由題意可得AE⊥BE，又DH∩AE＝H，因此BE⊥平面ADE3在平面CDE內(nèi)，過(guò)C作CE的垂線，與過(guò)D作CE的平行線交于F，再過(guò)B作BG⊥CF于G，連接DG，CH，BH可得BG⊥平面CDE；∴∠BDG為BD和平面CDE所成的角．點(diǎn)評(píng)：求空間角的常用的步驟是：一作找，二證，三計(jì)算，作找出所求角是計(jì)算的基礎(chǔ)，異面直線所成的角一般通過(guò)作平行線來(lái)作出，而直線與平面所成的角最關(guān)鍵的是找一條與平面垂直的