222用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征知識點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義1眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)2中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在位置的數(shù)或中間兩個數(shù)的叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3平均數(shù)：如果n個數(shù)1，2，…，n，那么＝叫做這n個數(shù)的平均數(shù)最多中間平均數(shù)名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；②容易計(jì)算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量．一般情況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大2三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是

的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計(jì)值中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積應(yīng)該

，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值；(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘

之和；(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)最高長方形相等小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算例11某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為A85,85,85 B87,85,86C87,85,85 D87,85,90√2以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績單位：分已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為168，則，y的值分別為A2,5B5,5C5,8D8,8√解析結(jié)合莖葉圖上的原始數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念列出方程進(jìn)行求解由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15＝10＋，所以＝5所以y＝8，所以，y的值分別為5,8反思感悟平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算2某中學(xué)舉行英語演講比賽，如圖是七位評委為某位學(xué)生打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為A84,85 B85,84C84,852 D86,85√解析剩余數(shù)據(jù)為：84,84,86,84,87，則中位數(shù)為84，故答案為A方差、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念及計(jì)算公式1標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種，一般用s表示s＝

2標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差s2＝n是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)3標(biāo)準(zhǔn)差或方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定在平均數(shù)附近s＝0時，每一個樣本數(shù)據(jù)均為平均距離二、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算及應(yīng)用例2甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；3根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)兩名戰(zhàn)士的射擊情況若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？反思感悟1方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小2樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)圍繞樣本平均數(shù)波動的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散3當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時，就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)據(jù)分布情況，而樣本數(shù)據(jù)的離散程度是由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量的跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩種冬小麥實(shí)驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下單位：t/m2：

第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植，給出你的建議甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10跟蹤訓(xùn)練11在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減8后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是A平均數(shù)B標(biāo)準(zhǔn)差C眾數(shù)D中位數(shù)√所以A，B兩樣本的下列數(shù)字特征：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)都不同，②數(shù)據(jù)1＋a，2＋a，…，n＋a的方差也為s2；③數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的方差為a2s2；④數(shù)據(jù)a1＋b，a2＋b，…，an＋b的方差也為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用典例某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績均為整數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示1估計(jì)這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；2估計(jì)這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)解設(shè)中位數(shù)為，由于前三個矩形面積之和為04，第四個矩形面積為03,03＋04＞05，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得01＝003－70，所以≈733延伸探究1若本例條件不變，估算這次數(shù)學(xué)成績的平均分解由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為45×0005×10＋55×0015×10＋65×002×10＋75×003×10＋85×0025×10＋95×0005×10＝722本例條件不變，求80分以上含80分的學(xué)生人數(shù)解[80,90分的頻率為0025×10＝025，頻數(shù)為025×80＝20分的頻率為0005×10＝005，頻數(shù)為005×80＝4所以80分以上的學(xué)生人數(shù)為20＋4＝243隨堂演練PARTTHREE平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71．271乙75．47．53探究點(diǎn)2方差、標(biāo)準(zhǔn)差的特征1下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中正確的一個是A中位數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況B平均數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況C眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況D平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準(zhǔn)確地反映出總體的情況√12345樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得的數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是A眾數(shù) B平均數(shù)C中位數(shù) D標(biāo)準(zhǔn)差√123453已知一組數(shù)據(jù)為－3,5,7，,11，且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，那么該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是A7 B5C6 D11√12345解析由這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，可知＝5把這組數(shù)據(jù)由小到大排列為－3,5,5,7,11，則可知中位數(shù)為54某射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績分別為94,94，94，96,97，則該射手成績的方差是A0127 B0016C0080 D0216√123455從某中學(xué)高三年級甲、乙兩個班各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儩M分為100分的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的平均分和乙班學(xué)生成績的中位數(shù)都是85，則＋y的值為A7B8C9D1012345√解析根據(jù)題意，知乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是85，所以y＝5因?yàn)榧装鄬W(xué)生成績的平均分為85，所79＋78＋80＋80＋＋85＋92＋96＝85×7，解得＝5，所以＋y＝1知識清單：1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用2方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及應(yīng)用3頻率分布直方圖與樣本的數(shù)字特征2方法歸納：直接法、比較法3常見誤區(qū)：公式、結(jié)論記憶不準(zhǔn)確；不清楚頻率分布直方圖和數(shù)字特征的關(guān)系課堂小結(jié)ETANGIAOJIE4課時對點(diǎn)練PARTFOUR2＝中，數(shù)字10和20分別表示樣本的A容量、方差 B平均數(shù)、容量C容量、平均數(shù) D標(biāo)準(zhǔn)差、平均數(shù)√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析由方差s2的定義知，10為樣本的容量，20為樣本的平均數(shù)2某校高一年級8個班合唱比賽的得分如下：89,87,93,91,96,94,90,92，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為A915和915 B915和92C91和915 D92和92√解析這組數(shù)據(jù)從小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，位于中間位置的兩個數(shù)是91,92，123456789101112131415163在如圖所示的一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個數(shù)字被污染后而模糊不清，但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為A1B3C2D4√解析該組數(shù)據(jù)的極差為48－20＝28，設(shè)被污染的數(shù)字為，若≤1，同理可排除≥4，所以1<<4，123456789101112131415164現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3，且這10個數(shù)的平方和是100，那么這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是A1 B2C3 D412345678910111213141516√510名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有Aa＞b＞c Bb＞c＞aCc＞a＞b Dc＞b＞a√12345678910111213141516解析由數(shù)據(jù)可知眾數(shù)c＝17，中位數(shù)b＝15，∴c＞b＞a，故選D1，2，…，n的方差為5，則31－4，32－4，…，3n－4的方差為______12345678910111213141516457已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_____，方差為_____5解析∵－1,0,4，,7,14的中位數(shù)為5，123456789101112131415168已知總體的各個個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,137,183,21，且總體的中位數(shù)為10，若要使該總體的方差最小，則ab＝______12345678910111213141516100解析由題意得a＋b＝10×2＝20，要使該總體的方差最小，方差化簡后即滿足a－102＋b－102最小，故a＝b＝10，ab＝1009甲、乙兩機(jī)床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：99100102991001001分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415162根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定甲：9910098100100103乙：9910010299100100解兩臺機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，10某校100名高二學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50,60，1求圖中a的值；解依題意，得10×2×0005＋a＋003＋004＝1，解得a＝0022根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分解這100名學(xué)生語文成績平均分為55×005＋65×04＋75×03＋85×02＋95×005＝73分1234567891011121314151611某校開展“愛我母校，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，七位評委為甲，乙兩名選手的作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示其中m為數(shù)字0～9中的一個，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則一定有Aa1>a2 Ba2>a1Ca1＝a2 Da1，a2的大小與m的值有關(guān)√綜合運(yùn)用解析由莖葉圖知，1234567891011121314151612多選甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)大于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差12345678910111213141516√√解析由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯誤；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5，B正確；甲、乙的成績的極差均為4，D錯1234567891011121314151613如圖是兩組各7名同學(xué)體重單位：g數(shù)據(jù)的莖葉圖，設(shè)1,2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為1和2，標(biāo)準(zhǔn)差依次為，那么12345678910111213141516√解析讀取莖葉圖得到兩組數(shù)據(jù)分別為1組：53,56,57,58,61,70,72；2組：54,56,58,60,61,72,731234567891011121314151614某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠的產(chǎn)量分布如圖所示現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為____；測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時，980小時，1030小時，估計(jì)這個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均使用壽命為_______小時501015解析由分層抽樣可知，第一分廠應(yīng)抽取100×50%＝50件由樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，可知這批電子產(chǎn)品的平均使用壽命為1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015小時1234567891011121314151615甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的情況如圖所示實(shí)線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖，則以下說法錯誤的是A甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小B甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小C甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大D甲投籃命中的成績比乙的穩(wěn)定拓廣探究√12345678910111213141516解析由折線圖可知，甲投籃5輪，命中的次數(shù)分別為5,8,6,8,8，乙投籃5輪，命中的次數(shù)分別為3,7,9,5,9，則甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為9，所以A正確；甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為7，乙投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為66，所以B不正確；甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為8，乙投籃命中次數(shù)的中位數(shù)為7，所以C正確；甲投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)的左