2022-2023學(xué)年江蘇省南京市六合區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只含有1個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程就是一元二次方程，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程定義可知：A.，是關(guān)于x的一元一次方程，不符合題意；B.，為二元二次方程，不符合題意；C.，是分式方程，不符合題意；D.，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，是一元二次方程，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，為整式方程；特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．2.若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1，則m的值為（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】把代入已知方程得到關(guān)于m的新方程，通過解新方程來求m的值即可．【詳解】解：把代入，得，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解，由方程的根為1，代入方程是解決問題的關(guān)鍵．3.用配方法解方程，下列變形正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程移項(xiàng)后，配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．4.如圖，在中，．若以點(diǎn)C為圓心，長為半徑的圓與交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得到再根據(jù)得到三角形是等腰三角形，即，從而求得即可得出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：連接CD，∵在中，即的度數(shù)是故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，解題時(shí)，綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理及其推論，根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．5.如圖，C是的中點(diǎn)，弦，且，則所在圓的半徑為（）A.4 B.5 C.6 D.10【答案】B【解析】【分析】設(shè)所在圓的圓心為O，連接，，由垂徑定理證明O、C、D三點(diǎn)共線，則，在中由勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)所在圓的圓心為O，連接，，∵C是的中點(diǎn)，∴，∵，∴O、C、D三點(diǎn)共線，∴，∴，在中由勾股定理得：，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，，，則的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作交的延長線于點(diǎn)D，連結(jié)，．只要證明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出的半徑．【詳解】解：如圖，作交的延長線于點(diǎn)D，連結(jié)．∵，，∴，，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的半徑為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本認(rèn)識(shí)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是證明是等腰直角三角形．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7.方程的根為__．【答案】【解析】【分析】利用因式分解法即可求解．【詳解】原方程可化為：，或，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵．8.已知⊙的半徑為，線段OP的長為，則點(diǎn)在⊙___________（填“內(nèi)”、“外”或“上”）．【答案】?jī)?nèi)【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：⊙的半徑為，線段的長為，即點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，點(diǎn)在⊙內(nèi)．故答案為：內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有點(diǎn)P在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)．9.若關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是___________（寫出一個(gè)符合條件的值即可）．【答案】2（答案不唯一，m大于1即可）【解析】【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，解之即可得出m的取值范圍，取其內(nèi)的任意一數(shù)即可．【詳解】解：∵方程沒有實(shí)數(shù)根，∴，解得：．故答案為：2（答案不唯一，m大于1即可）．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．10.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，則∠ADC＝________°【答案】25【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)圓周角定理和直角三角形兩銳角互余解答．試題解析：∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°．考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．平行線的性質(zhì)．11.如圖，，是的弦，，是的切線．若，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵,，∴，∵是的切線，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12.某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場(chǎng)需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到64萬只．設(shè)七、八月份口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，則可列方程為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)七、八月份口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，根據(jù)題意列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)七、八月份口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，則可列方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．13.已知a，b是方程的兩個(gè)根，則的值是__．【答案】【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后整體代入即可．【詳解】，是方程的兩個(gè)根，，，，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，運(yùn)用了整體思想，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．14.用半徑為30，圓心角為120°扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長列式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得：，故圓錐的底面半徑為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及扇形的弧長的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢固掌握和弧長公式，難度不大．15.若關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為、，則方程的根為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及函數(shù)的平移解題；【詳解】解∵關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為、∴函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，函數(shù)是由函數(shù)向右平移一個(gè)單位長度得到；∴函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，∴關(guān)于方程的根為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)的平移；熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.如圖，是的弦，點(diǎn)在內(nèi)，，，連接，若的半徑是4，則長的最小值為____．【答案】##【解析】【分析】延長交圓于點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則是等邊三角形，再確定點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則的最小值為點(diǎn)C到圓E上一點(diǎn)的距離最小值，再求解即可．【詳解】解：延長交圓于點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，在中，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓中的最小距離問題，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定角定弦確定點(diǎn)的軌跡．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法可進(jìn)行求解方程；（2）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法可進(jìn)行求解方程．【小問1詳解】解：∴；【小問2詳解】解：∴或，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．18.關(guān)于x的方程．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)求出m的值并求此時(shí)方程的根．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可證得；(2)首先根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求得m的值，再解方程，即可求解．【小問1詳解】證明：，∵無論m取何值時(shí)，恒大于或等于0，∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：∵原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，將代入原方程得，得，解得，∴原方程的根為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及解法，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根的判別式及解法是解決本題的關(guān)鍵．19.如圖，的弦相交于點(diǎn)E，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論得到，結(jié)合圖形得到，進(jìn)而得到，根據(jù)全等三角形的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：連接，∵，∴，∴，即，∴，在和中，，∴≌，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．20.證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條?。阎喝鐖D，是的直徑，是的弦，___________．求證：___________．證明：___________【答案】，垂足為；，，；證明見解析【解析】分析】根據(jù)命題，補(bǔ)全條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過程即可；【詳解】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，，垂足為；求證：，，證明：連接;在中，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了命題推導(dǎo)的過程，垂徑定理；以已知的基本事實(shí)、定理為依據(jù)推導(dǎo)出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．21.某小區(qū)有一塊長方形綠地，長為，寬為．為美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)進(jìn)行如下改造，將綠地的長減少米，寬增加米，使改造后的面積比原來增加，求的值．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)“改造后的面積比原來增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：由題意得，整理，得，解得．答：的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，，與相切，且與相切于點(diǎn)C．（1）用直尺與圓規(guī)作出（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若，則的半徑為_______【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）作的平分線交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作，則與，都相切；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合三角函數(shù)即可求的長．【小問1詳解】如圖，即為所求；【小問2詳解】連接，與相切于點(diǎn)，，，，與相切于點(diǎn)，，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．23.如圖，在中，平分平分的延長線交的外接圓于點(diǎn)D，連接．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平分平分，可得．從而得到，進(jìn)而得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可求證．【詳解】證明：∵平分平分，∴．∴和所對(duì)的圓心角相等．∴．∴．∴，∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．24.如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個(gè)根是1和3，則這個(gè)方程就是“三倍根方程”．（1）下列方程是三倍根方程的是___________；①②③（2）若關(guān)于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；（3）若是關(guān)于x的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．【答案】（1）③（2）（3）【解析】【分析】（1）分別求出①②③三個(gè)方程的根，然后根據(jù)題中所給定義可進(jìn)行求解；（2）設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為，然后根據(jù)“三倍根方程”可令，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及方差的解可進(jìn)行求解；（3）先把一元二次方程進(jìn)行因式分解變形，然后根據(jù)“三倍根方程”的關(guān)系可進(jìn)行求解．【小問1詳解】解：由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，滿足“三倍根方程”的定義；故答案③；【小問2詳解】解：設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，令，則有，∴，，∴；小問3詳解】解：由可得：，∴，令，則有：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及解法，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25.某商場(chǎng)銷售一批球鞋，其進(jìn)價(jià)為每雙200元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按每雙300元出售，平均每天可售出20雙．假設(shè)球鞋的單價(jià)每降5元，商場(chǎng)平均每天可多售出10雙．該商場(chǎng)若想平均每天盈利4800元，則每雙球鞋的定價(jià)為多少元？【答案】230或280元【解析】【分析】設(shè)每雙球鞋降價(jià)x元，每雙鞋利潤為銷量為從而可得方程，列出即可求解．【詳解】解：設(shè)每雙球鞋降價(jià)x元，由題意，得整理，得解得∴定價(jià)為（元）（元）∴每雙球鞋定價(jià)為230或280元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的已知條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，即可求解．26.在四邊形中，，E是上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）16【解析】【分析】（1）連接并延長交AB于點(diǎn)F，連接，．利用等弧所對(duì)的弦相等推出,再結(jié)合證明是垂直平分線，得出，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，推出，即可證明是的切線；（2）先證是的中位線，推出，設(shè)的半徑為r，用勾股定理解得，解得，兩式聯(lián)立解出r，即可求出的長．【小問1詳解】證明：連接并延長交于點(diǎn)F，連接，．∵，∴,又∵，∴O、D都在的垂直平分線上．∴是垂直平分線，∴，．∵為的直徑，∴．又∵，∴四邊形是矩形．∴．又∵點(diǎn)D上，∴是的切線．【小問2詳解】解：∵，，∴是的中位線，∴．設(shè)的半徑為r，在中，，在中，；∴，解得，（舍去）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，切線的判定，三角形中位線的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)．27.為了解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)