數(shù)字信號處理

通信工程學(xué)院

叢玉良、林琳、樸美蘭、王波

2023.08第8章數(shù)字譜分析學(xué)習(xí)要求：

（1）了解確定性信號譜分析，掌握譜分析參數(shù)選取關(guān)系式。（2）了解隨機(jī)信號的基本概念，掌握其數(shù)字特征。（3）掌握隨機(jī)信號譜估計(jì)及質(zhì)量評價(jià)方法。（4）理解功率譜估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)法。（5）掌握離散隨機(jī)信號作用于線性時(shí)不變系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)。（6）理解功率譜估計(jì)的周期圖法。

第8章數(shù)字譜分析

8.1.1數(shù)據(jù)預(yù)處理1.用矩形窗截取一段得到第8章數(shù)字譜分析2.3第8章數(shù)字譜分析第8章數(shù)字譜分析又第8章數(shù)字譜分析因?yàn)樵O(shè)第8章數(shù)字譜分析更一般的結(jié)論8.1.3用FFT分析確定性連續(xù)時(shí)間信號1.有限長時(shí)間信號8.1.2用X(k)近似表示頻譜時(shí)的基本關(guān)系第8章數(shù)字譜分析信號時(shí)間有限長，頻譜寬度無限長，無法滿足抽樣定理，抽樣信號頻譜Xs(jΩ)必然發(fā)生混疊。Xs(jΩ)在高頻端與X1(jΩ)有較大誤差。2.無限長時(shí)間信號第8章數(shù)字譜分析3.周期信號第8章數(shù)字譜分析當(dāng)矩形窗函數(shù)的寬度為周期信號周期的正整數(shù)倍時(shí)，即第8章數(shù)字譜分析同理可證

對進(jìn)行抽樣，令抽樣點(diǎn)數(shù),則當(dāng)時(shí)，將上式帶入得

第8章數(shù)字譜分析因?yàn)槌闃狱c(diǎn)數(shù)，則又因?yàn)?，所以成為，即?章數(shù)字譜分析用FFT分析確定性連續(xù)時(shí)間信號只能是一種近似，可能帶來三種誤差：(1)混疊：對于頻帶很寬的信號，由于頻域的截短必然產(chǎn)生混疊，經(jīng)常采用的克服混疊的辦法是盡可能提高抽樣頻率和在信號輸入端加抗混疊濾波器。第8章數(shù)字譜分析(2)泄漏：對于時(shí)域很寬的信號，由于時(shí)域截短產(chǎn)生頻域的泄漏。(3)柵欄效應(yīng)：由于FFT是將一幅連續(xù)的頻譜進(jìn)行N

點(diǎn)抽樣，就好像對一幅頻譜圖通過一個“柵欄”觀察一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)圖形。第8章數(shù)字譜分析8.1.4譜分析參數(shù)選取信號記錄長度T1，信號譜分辨率f1，信號抽樣間隔TS，信號抽樣頻率fS，信號上限頻率fm，抽樣點(diǎn)數(shù)N第8章數(shù)字譜分析8.2隨機(jī)信號確定信號：連續(xù)時(shí)間確定信號離散時(shí)間確定信號隨機(jī)信號：連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號離散時(shí)間隨機(jī)信號第8章數(shù)字譜分析8.2.1基本概念x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sntk第8章數(shù)字譜分析8.2.2分布函數(shù)任意固定時(shí)間ti，隨機(jī)過程可以看做是一個隨機(jī)變量，可以用隨機(jī)變量的方法研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征。第8章數(shù)字譜分析8.2.3數(shù)字特征1.數(shù)學(xué)期望2.均方誤差3.方差第8章數(shù)字譜分析8.2.4隨機(jī)過程的分類（1）聯(lián)合概率分布函數(shù)設(shè)和是離散隨機(jī)過程中兩個不同時(shí)刻和上的隨機(jī)變量，則二維聯(lián)合概率分布函數(shù)為（2）二維聯(lián)合概率密度函數(shù)第8章數(shù)字譜分析（3）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立（4）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程第8章數(shù)字譜分析（5）隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值均方值方差第8章數(shù)字譜分析8.2.5維納-辛欽定理稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜假設(shè)隨機(jī)信號的均值為零

由于，則有。第8章數(shù)字譜分析功率譜

自相關(guān)序列的傅立葉變換（維納-辛欽定理）當(dāng)時(shí)，有第8章數(shù)字譜分析

它說明功率譜在一個周期的平均功率就是隨機(jī)過程的平均功率。因此它具有功率密度的物理意義。

實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜的幾個重要性質(zhì)（正實(shí)偶函數(shù)）第8章數(shù)字譜分析8.3功率譜估計(jì)8.3.1

概述Wiener-Khinchin定理：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)可以用隨機(jī)過程一個取樣序列的滯后積的時(shí)間平均來代替。第8章數(shù)字譜分析兩個困難：（1）不可能知道取樣序列的所有數(shù)據(jù)。（2）已知數(shù)據(jù)通常是被噪聲或干擾“污染”了的。譜估計(jì)方法：經(jīng)典譜估計(jì)周期圖法Blackman-Tukey法現(xiàn)代譜估計(jì)（參數(shù)模型法）以平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型為基礎(chǔ)第8章數(shù)字譜分析8.3.2

譜估計(jì)的經(jīng)典方法1評價(jià)估計(jì)質(zhì)量的幾個參數(shù)(1)估計(jì)的偏差：：被估計(jì)量（真值）：的估計(jì)，由于它是由隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)中的有限個數(shù)據(jù)得到的，所以它是一個隨機(jī)變量。定義估計(jì)的偏差為無偏估計(jì)：有偏估計(jì)：漸進(jìn)無偏估計(jì)：無偏估計(jì)和漸進(jìn)無偏估計(jì)都是好的估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析(2)

估計(jì)的方差：評價(jià)一次估計(jì)結(jié)果相對于估計(jì)量均值的分散程度。

(3)

估計(jì)的均方誤差均方誤差較小意味著方差與偏差的平方之和較小，因而具有更好的估計(jì)質(zhì)量。如果觀測數(shù)據(jù)量趨于無窮大，某種估計(jì)的偏差和方差都趨于零，則稱該估計(jì)是一致估計(jì)。一致估計(jì)是好估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析(4)估計(jì)的置信區(qū)間1-β估計(jì)的置信區(qū)間(5)有效估計(jì)比有效第8章數(shù)字譜分析8.3.3

譜估計(jì)質(zhì)量評價(jià)方法估計(jì)需要兩種信息：一是觀測數(shù)據(jù)序列，二是被估計(jì)量與已知觀測數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系。這個函數(shù)關(guān)系決定了不同的估計(jì)方法和運(yùn)算，也決定了估計(jì)方法的估計(jì)質(zhì)量。（真值）（估計(jì)值）第8章數(shù)字譜分析8.4功率譜估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)法8.4.1

自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

設(shè)零均值廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程{x(n)}是各態(tài)歷經(jīng)的，第8章數(shù)字譜分析1.自相關(guān)序列的無偏估計(jì)為的一個估計(jì)。有必要討論它的估計(jì)質(zhì)量。第8章數(shù)字譜分析(1)估計(jì)的偏差所以它是一個無偏估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析(2)估計(jì)的方差（只討論均值為零的白色高斯過程的情況）當(dāng)為均值為零的白色高斯過程時(shí)，有第8章數(shù)字譜分析

利用關(guān)系式第8章數(shù)字譜分析第8章數(shù)字譜分析所以估計(jì)的方差由此可以看出所以它是一個一致估計(jì)。條件應(yīng)該滿足。第8章數(shù)字譜分析

自相關(guān)的無偏估計(jì)的傅里葉變換是一個寬度為2N-1，高度為1的矩形窗函數(shù)

窗譜有正有負(fù)，因此與進(jìn)行卷積結(jié)果也將出現(xiàn)負(fù)值，所以用這種方法進(jìn)行功率譜估計(jì)是不恰當(dāng)?shù)?。?章數(shù)字譜分析2.自相關(guān)序列的有偏估計(jì)(1)估計(jì)的偏差所以因此這是一個漸進(jìn)無偏估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析(2)估計(jì)的方差（只討論均值為零的白色高斯過程的情況）分析方法同前面相同，因?yàn)榈?章數(shù)字譜分析當(dāng)時(shí)，有所以它是一致估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析8.4.2

自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法1算法原理（1）求隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，即（2）求功率譜密度第8章數(shù)字譜分析2.快速算法可以用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)，求功率譜，其步驟如下：

（1）補(bǔ)零：，得，得（2）求的離散傅里葉變換（3）求（4）求自相關(guān)函數(shù)（5）計(jì)算功率譜密度第8章數(shù)字譜分析8.5譜估計(jì)的周期圖法8.5.1

算法原理設(shè)是均值為零的廣義平穩(wěn)遍歷隨機(jī)過程的一個抽樣序列實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)，寬度為N的矩形窗取自相關(guān)序列的有偏估計(jì)第8章數(shù)字譜分析它的傅里葉變換為的傅里葉變換為的傅里葉變換為，所以周期圖法它是的估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析8.5.2

估計(jì)質(zhì)量1.周期圖的偏差其中，兩個矩形窗的卷積是三角窗或Bartlett窗第8章數(shù)字譜分析它的傅里葉變換為所以或如果窗譜函數(shù)是一個沖激函數(shù)，則周期圖就是功率譜的無偏估計(jì)。一般情況下，周期圖不等于功率譜。但當(dāng)時(shí)，窗譜函數(shù)收斂于沖激函數(shù)，這時(shí)有因此，周期圖是功率譜的漸進(jìn)無偏估計(jì).第8章數(shù)字譜分析2.周期圖的方差周期圖不是一個好估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析8.5.3幾種改進(jìn)方法Bartlett法：平均周期圖法對x(n)進(jìn)行分段，對各段結(jié)果求平均的方法。分段越多，方差越小，估計(jì)偏差越小。第8章數(shù)字譜分析令是隨機(jī)過程的個互不相關(guān)的實(shí)現(xiàn)，即是的個互不相關(guān)的取樣序列，每個序列的長度為，則的周期圖為這些周期圖的算術(shù)平均為由估計(jì)理論知平穩(wěn)隨機(jī)過程個互相統(tǒng)立的算術(shù)平均方差隨機(jī)過程的方差第8章數(shù)字譜分析因此根據(jù)該結(jié)論，假設(shè)互不相關(guān)，于是有由此可以看出，當(dāng)時(shí)，。它是功率譜的一致估計(jì)。的期望值其中，所以是漸近無偏估計(jì)。第8章數(shù)字譜分析

Bartlett法

把長度為隨機(jī)序列分為長為、互不重疊的段子序列，。每個子序列為然后將每個子序列的周期圖進(jìn)行平均，得到稱為Bartlett周期圖，這種譜估計(jì)方法叫做Bartlett法。第8章數(shù)字譜分析修正周期圖法（數(shù)據(jù)加窗法/平滑周期圖）已知周期圖采用的窗型為如果取一般窗型，有其窗譜函數(shù)為因此第8章數(shù)字譜分析如果把矩形窗改成其它數(shù)據(jù)窗修正周期圖U為引入的一個常數(shù)或如果適當(dāng)選擇窗型，使得則有漸近無偏估計(jì)第8章數(shù)字譜分析

Welch法：修正周期圖的平均（平滑周期圖的平均）

修正：①讓子序列有部分重疊；②對每個子序列都加數(shù)窗。設(shè)子序列長為，相鄰序列有點(diǎn)重疊，于是下標(biāo)為的子序列表示為如果個子序列剛好覆蓋個數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么有。其中第8章數(shù)字譜分析8.5.4各種功率譜估計(jì)方法的比較第8章數(shù)字譜分析8.6離散隨機(jī)信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)設(shè)輸入隨機(jī)過程的均值、方差、自相關(guān)序列和功率譜分別為，，和。8.6.1

輸出隨機(jī)過程的均值第8章數(shù)字譜分析8.6.2

輸出隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)只與m有關(guān)令第8章數(shù)字譜分析

8.6.3

輸出隨機(jī)信號的功率譜

設(shè)輸入隨機(jī)過程的均值。所以輸出隨機(jī)過程的均值令m–p=n即

m=n+p因?yàn)榈?章數(shù)字譜分析8.6.4

輸入隨機(jī)信號與輸出隨機(jī)信號的互相關(guān)序列或第8章數(shù)字譜分析離散隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)的數(shù)字特征總結(jié)傅氏變換或z變換傅氏變換或z變換第8章數(shù)字譜分析辨識數(shù)字濾波器的方法：輸入：零均值平穩(wěn)白噪聲。其方差為，相關(guān)函數(shù)為功率譜為則：第8章數(shù)字譜分析8.6.5

輸出隨機(jī)信號的方差第8章數(shù)字譜分析與單位圓內(nèi)極點(diǎn)相對應(yīng)的項(xiàng)將展成因果序列，與單位圓外極點(diǎn)相對應(yīng)的項(xiàng)展開成逆因果序列，Ai1z/(z-ai)的逆z變換在n=0處只有Ai1，而所有其他項(xiàng)的z變換在n=0都為零，因此計(jì)算均方差只需要用到Ai1參數(shù)，其他系數(shù)在進(jìn)行部分分式展開不需要計(jì)算。如果只有一階極點(diǎn)沒有高階極點(diǎn)，則第8章數(shù)字譜分析8.7.1

最大似然估計(jì)（MVSE）最大似然估計(jì)：使聯(lián)合概率密度函數(shù)最大的特征量?？梢宰C明：最大似然估計(jì)是漸近無偏估計(jì)，在所有的無偏估計(jì)和漸近無偏估計(jì)中，最大似然估計(jì)的方差是最小的。8.7其他功率譜方法簡介第8章數(shù)字譜分析8.7.2最大熵譜估計(jì)（MESE）

第8章數(shù)字譜分析

第8章數(shù)字譜分析

第8章數(shù)字譜分析8.7.3ESPRIT方法頻率估計(jì)考慮白噪聲的p個諧波

其中，是歸一化的頻率，為第個諧波的振幅。假定是一零均值、方差為的復(fù)值高斯白噪聲過程，即第8章數(shù)字譜分析定義一個新的過程。選擇，并引入以下維向量：第8章數(shù)字譜分析于是，式可以寫作矩陣形式：式中，第8章數(shù)字譜分析

是一個酉陣，它將空間的向量x和y聯(lián)系在一起，因而稱之為旋轉(zhuǎn)算符。A是一個維Vandermonde矩陣。向量x的自相關(guān)矩陣式中，S是一個維對角陣，其對角元素為各諧波的功率，即第8章數(shù)字譜分析向量x和y的互相關(guān)矩陣為其中，且Z是一個維特殊的對角陣，即有第8章數(shù)字譜分析相關(guān)矩陣的元素。因此，不難推知，利用，可知互相關(guān)矩陣第8章數(shù)字譜分析現(xiàn)在的問題是：給定相關(guān)滯后，如何估計(jì)諧波個數(shù)p、諧波頻率