134課題學(xué)習(xí)最短路徑問題2Ⅰ兩點在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得PAPB最小。

P連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。3思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點之間線段最短引言：前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．引入新知問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知BAl追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlC追問1對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明ACBC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ACBC=ACB′C=AB′，AC′BC′=AC′B′C′．探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明ACBC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3你能用所學(xué)的知識證明ACBC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，AB′＜AC′B′C′，∴ACBC＜AC′BC′．即ACBC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于ACBC，就說明ACBC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問1證明ACBC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明ACBC＜AC′BC′？這里的“C′”的作用是什么？探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′18

1如圖，AB兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

A·BMNE19我們能否在不改變AMMNBN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊2、把B平移到岸邊3、把橋平移到和A相連4、把橋平移到和B相連20上述方法都能做到使AMMNBN不變嗎？請檢驗合作與交流1、2兩種方法改變了怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢21問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１AMMNBN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三邊關(guān)系知A1N1BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AMMNBN