2014年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)題2014年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)1.食品廠用三種原料生產(chǎn)兩種糖果，糖果的成分要求和銷(xiāo)售價(jià)見(jiàn)表1。表1糖果有關(guān)數(shù)據(jù)原料A原料B原料C價(jià)格（元/kg）高級(jí)奶糖>50%>25%<10%24水果糖<40%<40%>15%15各種原料的可供量和成本見(jiàn)表2。表2各種原料數(shù)據(jù)原料可供量（公斤）成本（員/公斤）A50020B75012C6258該廠根據(jù)訂單至少需要生產(chǎn)600公斤髙級(jí)奶糖，800公斤水果糖，為求最大利潤(rùn)，試建立線性規(guī)劃模型并求解。2.某商業(yè)公司計(jì)劃開(kāi)辦5家新商店。為了盡早建成營(yíng)業(yè)，商業(yè)公司決定由5家建筑公司分別承建。已知建筑公司人（心123,4,5）對(duì)新商店為（j=1,2,3,4,5）的建造費(fèi)用的報(bào)價(jià)（萬(wàn)元）為?（/,7=1,23,4,5）,見(jiàn)表3。商業(yè)公司應(yīng)當(dāng)對(duì)5家建筑公司怎樣分配建造任務(wù)，才能使總的建造費(fèi)用最少？表3各建筑公司的建筑費(fèi)用數(shù)據(jù)B、B.民B,4871512Ay79171410691287671461069121063.上海醫(yī)科大學(xué)病理生理教研室曾做過(guò)小鼠肉瘤的增長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)，并得到了如表4所示的數(shù)據(jù)。表4小鼠肉瘤的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)0216239 11 1325 27151719體0.0040.0310.061 0.074 0.1030.1520.2100.339積0.5200.8131.269 1.558（1）若『時(shí)刻腫瘤的體積卩⑴滿足指數(shù)模型dv—=rv<dty(0)=Vo請(qǐng)擬合參數(shù)I(2)若/時(shí)刻腫瘤的體積Wf)滿足Logistic模型dv 門(mén)r—=av—pv<dtF(0)=v0請(qǐng)擬合參數(shù)a、卩。4.已知數(shù)據(jù)見(jiàn)表5。試求y對(duì)山宀內(nèi)的線性回歸方程并檢驗(yàn)回歸效果，能否剔除一個(gè)變量？表5回歸分析數(shù)據(jù)序號(hào)x2y序號(hào)x2y10.453158641012.6581125120.423163601110.9371117633.11937711223.1461149640.634157611323.1501347754.72459541421.644739361.765123771523.1561689579.4444681161.93614354810.131117931726.858202168911.629173931829.951124995.煉鋼廠出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對(duì)耐火材料的侵蝕作用，隨著使用次數(shù)的增加，容積不斷增大，實(shí)測(cè)得到15組數(shù)據(jù)如表6。表6出鋼數(shù)據(jù)使用次數(shù)X23456789增大容積6.78.29.589.59.7109.969.99使用次數(shù)X10111213141516增大容積y10.4910.5910.610.810.610.910.76試分別按以下兩種形式建立y對(duì)x的回歸方程，畫(huà)出散點(diǎn)圖和回歸曲線，并根據(jù)適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)判斷哪一種好o

yxhy=cex.6.已知數(shù)據(jù)見(jiàn)表7。表7已知數(shù)據(jù)表X00.511.522.533.544.555.5y3?67.510.712.713.112.511.310.711.815.422.23.6試求形式為y=aQ+a}x~+a2x+sinx的回歸方程并檢驗(yàn)回歸效果。一枚導(dǎo)彈，以初始速度％,水平夾角Q離開(kāi)原點(diǎn)(0,0)。如果導(dǎo)彈在(x「,兒)點(diǎn)著陸，且在飛行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例，那么控制導(dǎo)彈飛行軌跡的四個(gè)一階方程為空…后二g+5片J記+彳山心一厶加一厶匕山心一厶加一厶Vr丄其中p是導(dǎo)彈的垂直高度，X是飛行的水平距離，f是時(shí)間，匕和片分別是速度V的水平和垂直分量，5是拉力系數(shù)，g是重力加速度。這些方程僅當(dāng)b足夠大且叫大于零時(shí)才有效。初始條件為叫LjF'oCOSQ,vj/_o=v0sina,此.°=0當(dāng)v0=600f/s,c,/=0.002,g=45°時(shí)，畫(huà)出導(dǎo)彈到達(dá)兒=0前的飛行軌跡。求導(dǎo)彈的最大上升高度及出現(xiàn)這一高度時(shí)的飛行距離。求v=0時(shí)的值及到達(dá)這一點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間。1989年度西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井實(shí)際資料如表8所示，請(qǐng)對(duì)西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井1989年的企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。表81989年度西山礦務(wù)局五個(gè)生產(chǎn)礦井技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)實(shí)現(xiàn)值指標(biāo)白家莊礦杜爾坪礦西銘礦官地礦西曲礦原煤成本99.89103.6997.42101.1197.21原煤利潤(rùn)96.91124.7866.44143.9688.36原煤產(chǎn)量102.63101.85104.39100.94100.64原煤銷(xiāo)售量98.47103.16109.17104.3991.90商品煤灰分87.5190.2793.7794.3385.21全員效率108.35106.39142.35121.91158.61流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)71.67137.1697.65171.31204.52資源回收率103.2510010099.13100.22百萬(wàn)噸死亡率171.251.3515.9053-7220.78友誼農(nóng)場(chǎng)有3萬(wàn)畝農(nóng)田，欲種植玉米.大豆和小麥三種農(nóng)作物。各種作物每畝需施化肥分別為0.12噸、0.20噸、0.15噸。預(yù)計(jì)秋后玉米每畝可收獲500千克，售價(jià)為0.24元/千克，大豆每畝可收獲200千克，售價(jià)為1?20元/千克，小麥每畝可收獲350千克，售價(jià)為U.70元/千克。農(nóng)場(chǎng)年初規(guī)劃時(shí)考慮如下幾個(gè)方面。年終收益不低于350萬(wàn)元；總產(chǎn)量不低于1.25萬(wàn)噸；小麥產(chǎn)量以0.5萬(wàn)噸為宜；大豆產(chǎn)量不少于0.2萬(wàn)噸；玉米產(chǎn)量不超過(guò)0?6萬(wàn)噸；農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)能提供5000噸化肥：若不夠，可在市場(chǎng)高價(jià)購(gòu)買(mǎi)，但希望高價(jià)采購(gòu)量愈少愈好。試就該農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)計(jì)劃建立數(shù)學(xué)模型。設(shè)有9個(gè)節(jié)點(diǎn)4(21,…,9),他們的坐標(biāo)分別為(兀丿)，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表9。任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的電纜長(zhǎng)度為diJ=\xi-xJ\+\yi-yJ\問(wèn)怎樣連接電纜，使每個(gè)節(jié)點(diǎn)都連通，且所用的總電纜長(zhǎng)度為最短？表9點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)表?1123456789兀0516203323352510152024202511703最廉價(jià)飛機(jī)線路的選擇北京的一科技公司由于業(yè)務(wù)的需要，其總經(jīng)理每周要往返于總公司與各個(gè)子公司之間，其出行所乘坐的交通工具是飛機(jī)，各個(gè)城市間的飛機(jī)線路，及票價(jià)如下表

城市北京天津南京青島上海廣州深圳西安武漢杭州北京050INF4025101214INF15夭津5001520INF2520INF1716南京INF1501020INFINF2628INF青島4020100102532221821上海25INF201005516INF2124廣州1025INF255501724INF25深圳1220INF3216170162718西安14INF2622INF241601819武漢INF17281821INF2718020杭州1516INF2124251819200（注：數(shù)字代表價(jià)格,INF表示城市之間沒(méi)有線路。）問(wèn)怎樣才能算出一張任意城市間的最廉價(jià)路線表。12?選址問(wèn)題已知某地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如圖8?37所示，其中點(diǎn)代表居民小區(qū)，邊代表公路,邊上的數(shù)字為小區(qū)間公路距離（單位：千米人各個(gè)小區(qū)的人數(shù)如表10所示，問(wèn)區(qū)中心醫(yī)院應(yīng)建在哪個(gè)小區(qū)，可使離醫(yī)院最遠(yuǎn)的小區(qū)居民人均就診時(shí)所走的路程最近？表10 各個(gè)小區(qū)的人數(shù)小區(qū)1234567人數(shù)535989609600789067317694813613.高速公路修建費(fèi)用問(wèn)題4城和B城之間準(zhǔn)備建一條高速公路，B城位于A城正南90公里和正東120公里交匯處，它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價(jià)與地形特點(diǎn)有關(guān)，如圖給出了整個(gè)地區(qū)的大致地貌情況，

已知圖中坐標(biāo)系原點(diǎn)為6OB為X軸，Q4為Y軸，經(jīng)測(cè)童，曲線CD-EF.1\ 7y=51+3cos—xy=68+4cos—x? 17曲〃分別近似滿足方"22+3y=51+3cos—xy=68+4cos—x? 17圖中顯示可分為三條沿東西方向的地形帶。已知每個(gè)地形帶的造價(jià)如下：地形帶平原高地高山造價(jià)（萬(wàn)元/公里）5008001400你的任務(wù)是建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在給定三種地形上4聊公里的建造費(fèi)用的情況下，確定最便宜的路線。圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜。你怎樣使你的模型適合于下面兩個(gè)限制條件的情況呢？（町當(dāng)?shù)缆忿D(zhuǎn)彎是，角度至少為140（）。（b）圖中P是個(gè)重要的城市，其坐標(biāo)為（44,60）,道路必須通過(guò)P城。14?一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開(kāi)花，秋季產(chǎn)種，不考慮腐爛，被人為掠取。這些種子如果可以活過(guò)冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過(guò)三個(gè)冬天?，F(xiàn)在在一片空地上種上卞=500顆某種一年生植物。記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過(guò)一個(gè)冬天的（1歲種子）比例為瓦活過(guò)一個(gè)冬天沒(méi)有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為乞活過(guò)一個(gè)冬天沒(méi)有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（3歲種子）比例仍也為方,1歲種子發(fā)芽率勺，2歲種子發(fā)芽率“2,3歲種子發(fā)芽率、設(shè)c=10,?=0.7,?=0.4,冷=02為固定，b是變量，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。船票價(jià)格某輪船公司爭(zhēng)取一個(gè)相距1000公里的甲、乙兩地的客運(yùn)航線權(quán)，已知輪船的平

均載客人數(shù)為400人，輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用和輪船的航行速度的立方成正比，輪船的最大速度為25公里/小時(shí)，當(dāng)船速為10公里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)用是每小時(shí)30元，其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時(shí)480元…若公司打算從每個(gè)乘客身上獲得利潤(rùn)10元，試為該公司設(shè)計(jì)一種較為合理的船票價(jià)格。湖水的自我凈化問(wèn)題設(shè)一容積為V(單位："、的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻的分布在湖中。若從某時(shí)刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是I?(單位天)。試建立求污染物濃度下降至原來(lái)的3%需要多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。某湖的容積為5176*10人9(”)，湖水的流量為4.121"0八10(〃*/天)，求污染終止后，污染物下降到原來(lái)的3%所需的時(shí)間。x2+y2+zx2+y2+z2=361&庫(kù)存問(wèn)題(1)已知某平原地區(qū)的一條公路經(jīng)過(guò)如下坐標(biāo)點(diǎn)，請(qǐng)用不同的插值方法繪出這條公路(不考慮公路的寬度)。對(duì)于下表給出的數(shù)據(jù)，并估計(jì)的公路長(zhǎng)度。X(m)03050708090120148170180Y(m)80644742486680120121138X(m)202212230248268271280290300312Y(m)160182200208212210200196188186X(m)320340360372382390416430478440Y(m)200184188200202240246280296308X(m)420380360340320314280240200Y(m)334328334346356360392390400在物資的供應(yīng)過(guò)程中，由于到貨與銷(xiāo)售不可能做到同步.同量，故總要保持一定的庫(kù)存儲(chǔ)備。如果庫(kù)存過(guò)多，就會(huì)造成積壓浪費(fèi)以及保管費(fèi)的上升；如果庫(kù)存過(guò)少，會(huì)造成缺貨.如何選擇庫(kù)存和訂貨策略，就是一個(gè)需要研究的問(wèn)題.庫(kù)存問(wèn)題有多種類型，一般比較復(fù)雜，下面討論一種簡(jiǎn)單的情況.某自行車(chē)商店的倉(cāng)庫(kù)管理人員采取一種簡(jiǎn)單的訂貨策略，當(dāng)庫(kù)存量降低到P輛自行車(chē)時(shí)就向廠家訂貨，每次訂貨Q輛，如果某一天的需求量越過(guò)了庫(kù)存量,商店就有銷(xiāo)售損失和信譽(yù)損失，但如果庫(kù)存量過(guò)多，會(huì)導(dǎo)致資金積壓和保管費(fèi)增加.若現(xiàn)在已有如下表所示的五種庫(kù)存策略，訂貨方案表方案編號(hào)重新訂貨點(diǎn)P/輛重新訂貨量Q/ffi方案1125150方案2125250方案3150250方案4175250方案5175300這個(gè)問(wèn)題的已知條件是：從發(fā)出訂貨到收到貨物需隔3天.每輛自行車(chē)保管費(fèi)為0.75元/天，