第1頁（共1頁）相似三角形匯編一．選擇題（共14小題）1．（2021?錦州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)（位于AB下方），CD交AB于點(diǎn)E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（）A．2 B．4 C．3 D．42．（2021?巴中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2 B．△ADE與△ABC的面積比為1：3 C．△ADE與△ABC的周長比為1：2 D．DE∥BC3．（2021?哈爾濱）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021?淄博）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）A． B． C． D．5．（2021?湘西州）如圖，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于點(diǎn)B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，則CD的長是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.36．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（21）：1．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④7．（2021?貴港）下列命題是真命題的是（）A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似8．（2021?貴港）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點(diǎn)M，連接DF并延長交BC于點(diǎn)N，連接MN，則（）A． B． C．1 D．9．（2021?臺(tái)灣）如圖，菱形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、H點(diǎn)在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，則下列選項(xiàng)中的線段，何者長度最長？（）A．CF B．FD C．BE D．EC10．（2021?大慶）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE．連接EF交AB于點(diǎn)H．下列結(jié)論正確的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH?EF D．EB：AD＝EH：HF11．（2021?河北）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm12．（2021?達(dá)州）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），每一次將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為（）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22021，22021）13．（2021?臨沂）如圖，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC，則AC的長為（）A． B． C．2 D．314．（2021?溫州）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點(diǎn)D作DF的垂線交小正方形對(duì)角線EF的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)CG，延長BE交CG于點(diǎn)H．若AE＝2BE，則的值為（）A． B． C． D．二．填空題（共25小題）15．（2021?德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為．16．（2021?大慶）已知，則．17．（2021春?香坊區(qū)期末）若電梯運(yùn)行是勻速的，某電梯從1層（地面）直達(dá)3層用了20秒，則乘坐該電梯從2層直達(dá)8層需要的時(shí)間是秒．18．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若，則．19．（2021?鞍山）如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，AB∥x軸，AB，BC分別交y軸于點(diǎn)D，E．若，S△ABC＝13，則k＝．20．（2021?撫順）如圖，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．則下列四個(gè)結(jié)論：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，△ABD面積的最大值為（22）cm2.其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）21．（2021?阜新）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長均為1，則△ABC與△CDE的周長比為．22．（2021?湘潭）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）23．（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩（線段AD1）量得AE＝0.4m，則AD1＝m．24．（2021?牡丹江）如圖，矩形ABCD中，ADAB，點(diǎn)E在BC邊上，且AE＝AD，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接DE，BF，BF的延長線交DE于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)G．以下結(jié)論：①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCGS△DFG，④圖形中相似三角形有6對(duì)，則正確結(jié)論的序號(hào)是．25．（2021?徐州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、BC上，且，△DBE與四邊形ADEC的面積的比．26．（2021?營口）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長交BC于點(diǎn)G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝．27．（2021?營口）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，點(diǎn)F是BC延長線上一點(diǎn)，連接AF，且∠F∠EDC，則CF＝．28．（2021?煙臺(tái)）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為米．29．（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝2，則MN的長為．30．（2021?吉林）如圖，為了測量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿上AD長為1m時(shí)，它離地面的高度DE為0.6m，則壩高CF為m．31．（2021?大慶）已知，如圖①，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長l的取值范圍是．32．（2021?宿遷）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是．33．（2021?山西）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為．34．（2021?菏澤）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝5，BC＝10，四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點(diǎn)E、F、G、N、M都在△ABC的邊上，那么△AEM與四邊形BCME的面積比為．35．（2021?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，BE＝8，⊙O為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作⊙O的切線EF交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，則的長為；④；⑤若EF＝6，則CE＝2.24．36．（2021?上海）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，，則．37．（2021?南充）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BCAB＝3BD，則AD：AC的值為．38．（2021?遂寧）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對(duì)角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個(gè)結(jié)論：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH?BD；⑤若CE：DE＝1：3，則BH：DH＝17：16．你認(rèn)為其中正確是．（填寫序號(hào)）39．（2021?連云港）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長AF交BC于點(diǎn)D．若BF＝3FE，則．三．解答題（共21小題）40．（2021?杭州模擬）如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．（1）求AM，DM的長；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？41．（2021?濱州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，割線AC⊥DE于點(diǎn)E且交⊙O于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）求證：DF2＝EF?AB．42．（2021?鞍山）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)A作AE⊥AB交CD的延長線于點(diǎn)E，CE交⊙O于點(diǎn)G，連接AC，AG，在EA的延長線上取點(diǎn)F，使∠FCA＝2∠E．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AC＝6，AG，求⊙O的半徑．43．（2021?百色）如圖，PM、PN是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，過點(diǎn)O的直線CE∥PN，交⊙O于點(diǎn)C、D，交PM于點(diǎn)E，AD的延長線交PN于點(diǎn)F，若BC∥PM．（1）求證：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的長．44．（2021?牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)均在Rt△ABC的邊上，且鄰邊之比為1：2，畫出符合題意的圖形，并直接寫出矩形周長的值．45．（2021?丹東）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF//BC分別交AB、AC的延長線于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接AD、BD，∠ABC的平分線BM交AD于點(diǎn)M．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB：BE＝5：2，AD，求線段DM的長．46．（2021?南通）如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？47．（2021?營口）如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，且，連接AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點(diǎn)F，A為切點(diǎn)．（1）求證：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的長．48．（2021?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點(diǎn)E，使△ADE∽△ACB．49．（2021?鄂州）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四邊形BEDF的形狀，并說明理由；（2）連接AC，分別交BE、DF于點(diǎn)G、H，連接BD交AC于點(diǎn)O．若，AE＝4，求BC的長．50．（2021?玉林）如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求證：△DFC∽△AED；（2）若CDAC，求的值．51．（2021?無錫）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AC與BD交于點(diǎn)E，PB切⊙O于點(diǎn)B．（1）求證：∠PBA＝∠OBC；（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求證：△OAB∽△CDE．52．（2021?鹽城）如圖，O為線段PB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，連接PC，滿足PC2＝PA?PB．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若AB＝3PA，求的值．53．（2021?山西）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圖算法圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量．比如想知道10攝氏度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：FC+32得出，當(dāng)C＝10時(shí)，F(xiàn)＝50．但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法．再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和7.5千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)120°的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的電阻值．圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測量制圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性．任務(wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性；（2）請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：①用公式計(jì)算：當(dāng)R1＝7.5，R2＝5時(shí)，R的值為多少；②如圖，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分線，OA＝7.5，OB＝5，用你所學(xué)的幾何知識(shí)求線段OC的長．54．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE是直徑，交BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在上，連接AD，CD過點(diǎn)E作EF∥BC交AD的延長線于點(diǎn)F，延長BC交AF于點(diǎn)G．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的長．55．（2021?杭州）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點(diǎn)G，交BC邊于點(diǎn)F，連接BG．（1）求證：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求線段FG的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．（3）已知點(diǎn)E在線段AF上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)F重合），點(diǎn)D在線段AE上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)E重合），∠ABD＝∠CBE，求證：BG2＝GE?GD．56．（2021?黃岡）如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長．57．（2021?青海）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作MN⊥AC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BG⊥MN于G．（1）求證：△BGD∽△DMA；（2）求證：直線MN是⊙O的切線．58．（2020?安順）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，且CF＝BE．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）連接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四邊形AEFD的面積．59．（2020?百色）如圖，在平行四邊形ABCD中，N為BA延長線上一點(diǎn)，CN分別交BD，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)找出一對(duì)相似的三角形并證明．（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．60．（2020?資陽）如圖，AB是⊙O的弦，直徑CM⊥AB于點(diǎn)E，延長CM到點(diǎn)D，連接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半徑是，求弦AB的長．

相似三角形匯編參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．（2021?錦州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)（位于AB下方），CD交AB于點(diǎn)E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（）A．2 B．4 C．3 D．4【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】連接CO，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接AD，因?yàn)镃E＝2DE，構(gòu)造△DGE∽△COE，求出DG＝3，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，則AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解決．【解答】解：連接CO，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴ABBC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴，∵CE＝2DE，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，∵∠ADB＝∠AGB＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG?BG，∴9＝（6﹣3x）（6+3x），∵x＞0，∴x，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出△DGE∽△COE是解題的關(guān)鍵．2．（2021?巴中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2 B．△ADE與△ABC的面積比為1：3 C．△ADE與△ABC的周長比為1：2 D．DE∥BC【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A錯(cuò)誤；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯(cuò)誤；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．3．（2021?哈爾濱）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴，∴AE＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．4．（2021?淄博）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得，，兩式相加即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴1，即1，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關(guān)鍵．5．（2021?湘西州）如圖，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于點(diǎn)B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，則CD的長是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，證明△ABE∽△DCE，得，即可求解．【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴，即，解得：CD＝10.5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABE∽△DCE是解題的關(guān)鍵．6．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（21）：1．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】延長BM交AE于N，連接AM，由垂直的定義可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得∠EAF＝67.5°，從而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正確；根據(jù)三個(gè)角是直角可判斷四邊形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正確，計(jì)算出∠EBM＝22.5°得③錯(cuò)誤；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知AMFM，推導(dǎo)得出AM＝EMFM，從而EF＝EM+FM＝（1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（）：1，再由S四邊形BCEF＝2S△EFB，得S四邊形BCEM：S△BFM＝（21）：1，判斷出④正確．【解答】解：如圖，延長BM交AE于N，連接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵將△AEF繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△MFB，∴MF＝AF，F(xiàn)B＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四邊形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正確；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③錯(cuò)誤；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AMFM，∴EF＝EM+FM＝（1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（）：1，又∵四邊形BCEF是正方形，∴S四邊形BCEF＝2S△EFB，∴S四邊形BCEM：S△BFM＝（21）：1，故④正確，∴正確的是：①②④，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)，掌握常用輔助線的添加方法，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2021?貴港）下列命題是真命題的是（）A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【考點(diǎn)】平行線的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理；相似三角形的判定．【分析】利用平行線的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D、兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，正確，是真命題，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理及相似三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法，難度不大．8．（2021?貴港）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點(diǎn)M，連接DF并延長交BC于點(diǎn)N，連接MN，則（）A． B． C．1 D．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】設(shè)AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先證明AM＝CN，再利用平行線分線段成比例定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，設(shè)正方形的邊長為3a，求出AM＝a，BM＝BN＝2a．9．（2021?臺(tái)灣）如圖，菱形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、H點(diǎn)在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，則下列選項(xiàng)中的線段，何者長度最長？（）A．CF B．FD C．BE D．EC【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出CE，進(jìn)而求出BE，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式求出DF、CF，比較大小得到答案．【解答】解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四邊形AECH為平行四邊形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴，即，解得：DF，∴FC＝17，∵9＞8，∴CF長度最長，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理、菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2021?大慶）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE．連接EF交AB于點(diǎn)H．下列結(jié)論正確的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH?EF D．EB：AD＝EH：HF【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，從而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正確；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EFAE，則B不正確；若AF2＝EH?EF成立，可得EHEF，即H是EF的中點(diǎn)，而H不一定是EF的中點(diǎn)，故C不正確；由AB∥CD，由平行線分線段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故D正確．【解答】解：∵△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正確；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EFAE，∴AE：EF＝1：，故B不正確；若AF2＝EH?EF成立，∵AE：EF＝1：，∴EHAF，∴EHEF，即H是EF的中點(diǎn)，H不一定是EF的中點(diǎn)，故C不正確；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)；抓住三角形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的三角形全等，得到△AEF是等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．（2021?河北）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O作ON⊥AB，垂足為N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比為，∴，∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴，，∴AB＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．12．（2021?達(dá)州）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），每一次將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為（）A．（﹣22020，22020） B．（22021，22021） C．（22020，22020） D．（﹣22021，22021）【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；相似三角形的性質(zhì)．【分析】每旋轉(zhuǎn)6次，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)又回到x軸正半軸，故A2021在第四象限，且OA2021＝22021，畫出示意圖，即可得到答案．【解答】解：由已知可得：第一次旋轉(zhuǎn)后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋轉(zhuǎn)后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋轉(zhuǎn)后，A3在x軸負(fù)半軸，OA3＝23，第四次旋轉(zhuǎn)后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋轉(zhuǎn)后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋轉(zhuǎn)后，A6在x軸正半軸，OA6＝26，．如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)又回到x軸正半軸，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意圖如下：OHOA2021＝22020，A2021HOH22020，∴A2021（（22020，22020），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及等邊三角形、30°的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定A2021所在的象限．13．（2021?臨沂）如圖，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC，則AC的長為（）A． B． C．2 D．3【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到AB的長，然后由圖可知AC＝AB﹣BC，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：作CD⊥BD于點(diǎn)D，作AE⊥BD于點(diǎn)E，如右圖所示，則CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的長，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2021?溫州）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點(diǎn)D作DF的垂線交小正方形對(duì)角線EF的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)CG，延長BE交CG于點(diǎn)H．若AE＝2BE，則的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖，過點(diǎn)G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．設(shè)BE＝AN＝CM＝DF＝a，則AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想辦法求出BH，CG，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設(shè)BH交CF于M，AE交DF于N．設(shè)BE＝AN＝CM＝DF＝a，則AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四邊形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFM＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CGa，∵M(jìn)H∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MHa，∴BH＝2aaa，∴，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共25小題）15．（2021?德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為22或4．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；黃金分割．【分析】分兩種情況：①邊AB為矩形的長時(shí)，則矩形的寬為3，求出矩形的周長即可；②邊AB為矩形的寬時(shí)，則矩形的長為＝2，求出矩形的周長即可．【解答】解：分兩種情況：①邊AB為矩形的長時(shí)，則矩形的寬為（1）＝3，∴矩形的周長為：2（1+3）＝4；②邊AB為矩形的寬時(shí)，則矩形的長為：（1）2，∴矩形的周長為2（1+2）＝22；綜上所述，該矩形的周長為22或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．16．（2021?大慶）已知，則．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】設(shè)k，分別求出x、y、z的值，代入所求式子化簡即可．【解答】解：設(shè)k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例的性質(zhì)，利用比值相等的特點(diǎn)，將已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到x＝2k，y＝3k，z＝4k是解題的關(guān)鍵．17．（2021春?香坊區(qū)期末）若電梯運(yùn)行是勻速的，某電梯從1層（地面）直達(dá)3層用了20秒，則乘坐該電梯從2層直達(dá)8層需要的時(shí)間是60秒．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】設(shè)乘坐該電梯從2層直達(dá)8層需要的時(shí)間是為t秒，利用電梯運(yùn)行是勻速的，則，然后利用比例性質(zhì)求出t即可．【解答】解：設(shè)乘坐該電梯從2層直達(dá)8層需要的時(shí)間是為t秒，根據(jù)題意得，解得t＝60，所以乘坐該電梯從2層直達(dá)8層需要的時(shí)間是60秒．故答案為60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：靈活應(yīng)用比例性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）進(jìn)行計(jì)算．18．（2021?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若，則．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵M(jìn)，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴，∴（）2，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．19．（2021?鞍山）如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，AB∥x軸，AB，BC分別交y軸于點(diǎn)D，E．若，S△ABC＝13，則k＝18．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，通過設(shè)參數(shù)表示出三角形ABC的面積，從而求出參數(shù)的值，再利用三角形ABC與矩形ODBF的關(guān)系求出矩形面積，即可求得k的值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F．∵AB∥x軸，∴△DBE∽△OCE，∴，∵，∴，設(shè)CO＝3a，DE＝3b，則AD＝2a，OE＝2b，∴，OD＝5b，∴BD，∴AB＝AD+DB，∵S△ABC13，∴ab，∵S矩形ODBF＝BD?OD18，又∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，∴k＝18，故答案為18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)，通過設(shè)參數(shù)把矩形面積和三角形ABC的面積互相聯(lián)系起來是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021?撫順）如圖，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．則下列四個(gè)結(jié)論：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，△ABD面積的最大值為（22）cm2.其中正確的是①②④.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】先證明△ACD∽△BCE，再用對(duì)應(yīng)角∠EBC＝∠DAC，即可判斷①②③，再由D到直線AB的最大距離為CH+CD＝（1）cm，即可求得△ABD面積的最大值為（22）cm2，故可判斷④．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，∴tan∠BAC，tan∠BAC，∴BC＝2cm，CEcm，∴2，∴△ACD∽△BCE，故①正確；∵△ACD∽△BCE，∴∠EBC＝∠DAC，如圖，記BE與AD、AC分別交于F、G，∵∠AGF＝∠BGC，∴∠BCG＝∠BFA＝90°，∴AD⊥BE，故②正確；∵∠EBC＝∠DAC，∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵∠ABC＝30°，∴CHBCcm，∴D到直線AB的最大距離為CH+CD＝（1）cm，∴△ABD面積的最大值為（22）cm2，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明出△ACD∽△BCE是本題的關(guān)鍵．21．（2021?阜新）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長均為1，則△ABC與△CDE的周長比為2：1．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并根據(jù)其各邊的長度證明△ABM∽△EDN，從而推出AB∥EN，再利用平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠EDC，進(jìn)而推出△ABC∽△CDE，則兩三角形的周長之比就是兩三角形的相似比．【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分別為點(diǎn)M、N，則∠AMB＝∠END＝90°，∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，∴，∴△ABM∽△EDN，∴∠ABM＝∠EDN，2，∴AB∥EN，∴∠BAC＝∠EDC，又∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△CDE，∴△ABC與△CDE的周長之比為2：1．故答案為：2：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造直角三角形推出AB∥EN，再利用相似三角形的性質(zhì)求解．22．（2021?湘潭）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個(gè)角相等的三角形相似；夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似，即可解題．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案為：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．23．（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩（線段AD1）量得AE＝0.4m，則AD1＝1.2m．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，計(jì)算即可．【解答】解：∵BB1∥CC1，∴，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案為：1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2021?牡丹江）如圖，矩形ABCD中，ADAB，點(diǎn)E在BC邊上，且AE＝AD，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接DE，BF，BF的延長線交DE于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)G．以下結(jié)論：①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCGS△DFG，④圖形中相似三角形有6對(duì)，則正確結(jié)論的序號(hào)是①②．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)AAS證△DFE≌△DCE即可得DF＝DC，根據(jù)ADAB，得出AB＝BE，即△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF＝DF＝DC，故①正確；②作FH⊥AD于H，得出F是BG的中點(diǎn)，即BF＝FG，連接CF，證△OEF∽△FCG即可得證OF：BF＝CE：CG，即②正確；③令A(yù)B＝1，分別求出DG和CG的長度，可得出CGDG，故S△BCGS△DFG錯(cuò)誤，即③不正確；④根據(jù)角相等可以得出圖形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，這是1對(duì)；△ABF∽△OEF∽△ADE，可組成3對(duì)；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可組成3對(duì)；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，還可組成6對(duì)．綜上，圖形中相似三角形有13對(duì)，故④不正確．【解答】解：①∵AE＝AD，ADAB，∴AEAB，即△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，即△AFD為等腰直角三角形，∴AF＝DF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝∠DEC，又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴DF＝DC，即AF＝DC，故①正確；②由①知△AFD為等腰直角三角形，如圖1，作FH⊥AD于H，連接CF，∴點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是BG的中點(diǎn)，即BF＝FG＝FC，∵∠AEB＝45°，∴∠EFC＝∠ECF∠AEB＝22.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵∠OFE＝∠AFB（180°﹣45°）＝67.5°，∠OEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝∠OFE＝∠OEF，∴△GFC∽△FOE，∴OF：FC＝EF：CG，又∵FC＝BF，EF＝CE，∴OF：BF＝CE：CG，即②正確；③令A(yù)B＝1，則AD＝AE＝BC，∴CE，∵∠GBC＝∠EDC，∠DCE＝∠BCG＝90°，∴△BCG∽△DCE，∴，即，∴CG＝2，∴DG＝1﹣（2）1，∴CGDG，∴S△BCGS△DFG不成立，即③不正確；④根據(jù)角相等可以得出圖形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，這是1對(duì)；△ABF∽△OEF∽△ADE，可組成3對(duì)；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可組成3對(duì)；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，還可組成6對(duì)，綜上，圖形中相似三角形有13對(duì)，故④不正確．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2021?徐州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、BC上，且，△DBE與四邊形ADEC的面積的比．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】先由，設(shè)AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，證明，又∠B＝∠B，可證明△DBE∽△ABC．進(jìn)而可得相似比為，面積比，從而可得S△DBE：S四邊形ADEC＝4：21．【解答】解：∵，則設(shè)AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴，，∴，又∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC．相似比為，面積比，設(shè)S△DBE＝4a，則S△ABC＝25a，∴S四邊形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四邊形ADEC．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△DBE∽△ABC得出相似比是解題的關(guān)鍵．26．（2021?營口）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長交BC于點(diǎn)G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝24．【考點(diǎn)】三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】取AG的中點(diǎn)M，連接DM，根據(jù)ASA證△DMF≌△EGF，得出MF＝GFAM，根據(jù)等高關(guān)系求出△ADM的面積為2，根據(jù)△ADM和△ABG邊和高的比例關(guān)系得出S△ADMS△ABG，從而得出梯形DMGB的面積為6，進(jìn)而得出△BDE的面積為6，同理可得S△BDES△ABC，即可得出△ABC的面積．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，如圖過D作DM∥BC交AG于點(diǎn)M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FMAM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM為△ABG的中位線，∴，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位線，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，正確得出中位線分三角形的面積比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2021?營口）如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE＝3，連接DE，點(diǎn)F是BC延長線上一點(diǎn)，連接AF，且∠F∠EDC，則CF＝6．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖，連接EC，過點(diǎn)D作DH⊥EC于H．證明CE∥AF，利用平行線分線段成比例定理，解決問題即可．【解答】解：如圖，連接EC，過點(diǎn)D作DH⊥EC于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F∠EDC，∠CDH∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴，∴，∴CF＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明EC∥AF．28．（2021?煙臺(tái)）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．【解答】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．29．（2021?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD＝3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC＝2，則MN的長為．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，從而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的長度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，旨在判斷學(xué)生是否對(duì)兩個(gè)常見的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能夠靈活應(yīng)用．這里的易錯(cuò)點(diǎn)是在得到第一對(duì)三角形的相似比時(shí)，學(xué)生容易直接使用在第二對(duì)相似三角形中，導(dǎo)致失分．30．（2021?吉林）如圖，為了測量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿上AD長為1m時(shí)，它離地面的高度DE為0.6m，則壩高CF為2.7m．【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)DE∥CF，可得，進(jìn)而得出CF即可．【解答】解：如圖，過C作CF⊥AB于F，則DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案為：2.7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．31．（2021?大慶）已知，如圖①，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長l的取值范圍是l．【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)材料，作出△ABC的外角平分線AE，可得到，從而求得BE＝10，又由∠EAD＝90°，可得點(diǎn)A在以DE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知DF＜AF＜EF，從而得到AF的取值范圍．【解答】解：∵AD是△ABC的內(nèi)角平分線，∴，∵BD＝2，CD＝3，∴，作∠BAC的外角平分線AE，與CB的延長線交于點(diǎn)E，∴，∴，∴BE＝10，∴DE＝12，∵AD是∠BAC的角平分線，AE是∠BAC外角平分線∴∠EAD＝90°，∴點(diǎn)A在以DE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取BC的中點(diǎn)為F，∴DF＜AF＜EF，∴l(xiāng)，故答案為：l．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角平分線、外角平分線的性質(zhì)，由角平分線的性質(zhì)，確定點(diǎn)A在以DE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而將AF的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓的最值問題是解題的關(guān)鍵．32．（2021?宿遷）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】連接DE．首先證明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面積的最大值即可解決問題．【解答】解：連接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEFS△ABD，∵BDBC，∴當(dāng)AB⊥BD時(shí)，△ABD的面積最大，最大值4，∴△AEF的面積的最大值，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明DE∥AB，推出S△AEFS△ABD，屬于中考?？碱}型．33．（2021?山西）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為4．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】取AD中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，由三角形中位線定理可得DFa，EF∥AC，DE＝3，通過證明四邊形DGEH是正方形，可得DEDG＝3，DH∥EF，通過證明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的長，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的長，即可求解．【解答】解：如圖，取AD中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，CD＝6，∴DFa，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DEDG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴，∴BH＝2，∴BD，∴AB＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．34．（2021?菏澤）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝5，BC＝10，四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點(diǎn)E、F、G、N、M都在△ABC的邊上，那么△AEM與四邊形BCME的面積比為1：3．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】通過證明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的長，由相似三角形的性質(zhì)可得（）2，即可求解．【解答】解：∵四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴（）2，∴S四邊形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM與四邊形BCME的面積比為1：3，故答案為：1：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出EF的長是解題的關(guān)鍵．35．（2021?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，BE＝8，⊙O為△BCE的外接圓，過點(diǎn)E作⊙O的切線EF交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是②④⑤.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①AE＝BC；②∠AED＝∠CBD；③若∠DBE＝40°，則的長為；④；⑤若EF＝6，則CE＝2.24．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；弧長的計(jì)算；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，則AE＞BC，故①錯(cuò)誤；②由題可知，四邊形DBCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，則∠AED＝∠CBD，故②正確；③連接OD，若∠DBE＝40°，則∠DOE＝80°，則的長為，故③錯(cuò)誤；④易得△EDF∽△BEF，則，故④正確；⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，則BE：AC＝EF：BC＝6：8，設(shè)BE＝6m，則AC＝8m，則CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，則CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正確．【解答】解：①∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BE＞BC，∴AE＞BC，故①錯(cuò)誤；②由題可知，四邊形DBCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED＝∠CBD，故②正確；③連接OD，若∠DBE＝40°，則∠DOE＝80°，∴的長為，故③錯(cuò)誤；④∵EF是⊙O的切線，∴∠BEF＝90°，又DE⊥AB，∴∠EDF＝∠BEF＝90°，∴△EDF∽△BEF，∴，故④正確；⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，∴BF＝10，由①AE＝BE＝8，∴∠A＝∠ABE，又∠C＝∠BEF＝90°，∴△BEF∽△ACB，∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，設(shè)BC＝6m，則AC＝8m，則CE＝8m﹣8，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正確．故答案為：②④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算等內(nèi)容，熟知相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵．36．（2021?上海）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，，則．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，由四邊形BMDN是矩形，可得DM＝BN，，根據(jù)AD∥BC，可得，，即可得到．【解答】解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵，∴，∴，∵AD∥BC，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質(zhì)，掌握同（等）底三角形面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵．37．（2021?南充）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BCAB＝3BD，則AD：AC的值為．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明出△ABC∽△DBA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，變形即可得出答案．【解答】解：∵BCAB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC,故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明出△ABC∽△DBA．38．（2021?遂寧）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連結(jié)BE，以BE為對(duì)角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線BD相交于點(diǎn)H，連結(jié)AF，有以下五個(gè)結(jié)論：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH?BD；⑤若CE：DE＝1：3，則BH：DH＝17：16．你認(rèn)為其中正確是①②③④．（填寫序號(hào)）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】①由∠ABD＝∠FBE＝45°，可知∠ABF＝∠DBE；②根據(jù)△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，從而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB＝∠EDB＝45°，可得AF⊥BD；④由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可證△BEH∽△BDE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可；⑤若CE：DE＝1：3，設(shè)CE＝x，DE＝3x，則BC＝4x，由勾股定理知BE，借助④的證明即可解答．【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，∴∠ABF＝∠DBE；∴①正確，符合題意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴，又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正確，符合題意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°，∴AF⊥BD；∴③正確，符合題意；④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴，∴BE2＝BD×BH，∵BEBG，∴2BG2＝BD×BH，∴④正確，符合題意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴設(shè)CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE，∵BE2＝BD×BH，∴17x2BH，∴x，∴DHx，∴BH：DH＝17：15，∴⑤錯(cuò)誤，不符合題意；故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．39．（2021?連云港）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長AF交BC于點(diǎn)D．若BF＝3FE，則．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根據(jù)△GFE∽△DFB，得，所以，即．【解答】解：如圖，∵BE是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴，過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)E作EG∥DC，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共21小題）40．（2021?杭州模擬）如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．（1）求AM，DM的長；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；黃金分割．【分析】（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又AF＝PF﹣AP，PF＝PD，則AM＝AF1，DM＝AD﹣AM＝3；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【解答】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP1，DM＝AD﹣AM＝3．故AM的長為1，DM的長為3；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．由于，∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．41．（2021?濱州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，割線AC⊥DE于點(diǎn)E且交⊙O于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）求證：DF2＝EF?AB．【考點(diǎn)】角平分線的定義；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）連接OD，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到∠ODA＝∠DAC，再根據(jù)OA＝OD，可以得到∠OAD＝∠ODA，從而可以得到∠DAC＝∠OAD，結(jié)論得證；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到DB?DF＝EF?AB，再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，即可證明結(jié)論成立．【解答】（1）證明：連接OD，如右圖所示，∵直線DE與⊙O相切于點(diǎn)D，AC⊥DE，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；（2）證明：連接OF，BD，如右圖所示，∵AC⊥DE，垂足為E，AB是⊙O的直徑，∴∠DEF＝∠ADB＝90°，∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，∴∠EFD＝∠DBA，∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB?DF＝EF?AB，由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠DAB，∴DF＝DB，∴DF2＝EF?AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．42．（2021?鞍山）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)A作AE⊥AB交CD的延長線于點(diǎn)E，CE交⊙O于點(diǎn)G，連接AC，AG，在EA的延長線上取點(diǎn)F，使∠FCA＝2∠E．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AC＝6，AG，求⊙O的半徑．【考點(diǎn)】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定△ADG∽△DCB，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求得∠AGD＝2∠E，從而可得∠FCA＝∠AGD，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得∠FCO＝90°，從而判定CF是⊙O的切線；（2）由切線長定理可得AF＝CF，從而可得∠FAC＝2∠E，得到AC＝AE，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圓的半徑．【解答】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，∴△ADG∽△DCB，∴，∵BD＝BC，∴GD＝GA，∴∠ADG＝∠DAG，又∵AE⊥AB，∴∠EAD＝90°，∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，∴∠GAE＝∠E，∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，∵∠FCA＝2∠E，∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，∵AB是⊙O的直徑，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠FCA+∠ACO＝90°，∴∠FCO＝90°，即CF是⊙O的切線；（2）∵CF是⊙O的切線，AE⊥AB，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，∴AC＝AE＝6，又∵AG＝DG＝EG，在Rt△ADE中，AD，設(shè)⊙O的半徑為x，則AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，解得：x＝5，∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，題目難度中等，有一定綜合性，屬于中考常見題型，掌握?qǐng)A周角定理，等腰三角形的性質(zhì)及利用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．43．（2021?百色）如圖，PM、PN是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，過點(diǎn)O的直線CE∥PN，交⊙O于點(diǎn)C、D，交PM于點(diǎn)E，AD的延長線交PN于點(diǎn)F，若BC∥PM．（1）求證：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的長．【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）連接OB，PM、PN切⊙O于點(diǎn)A、B，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形PBCE是平行四邊形，即∠P＝∠C＝45°，（2）CD＝6，由（1）得∠1＝∠P＝45°，根據(jù)勾股定理得出OE的長度，由相似三角形的判定得出△AED∽△APF，根據(jù)相似比可以得出PF的長．【解答】解：（1）證明：連接OB，∵PM、PN切⊙O于點(diǎn)A、B，∴OA⊥PM，OB⊥PN，∵CE∥PN，∴OB⊥CE，∵OB＝OC，∴∠C＝45°，∵BC∥PM，∴四邊形PBCE是平行四邊形，∴∠P＝∠C＝45°；（2）∵CD＝6，∴OB＝OA＝OD＝3，由（1）得∠1＝∠P＝45°，∴AE＝OA＝3，∴OE3BC，∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝33，∵ED∥PF，∴△AED∽△APF，∴，即，∴PF＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與定理、垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)．解本題要熟練掌握相似三角形的判定與定理、垂徑定理、圓周角