...wd......wd......wd...倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真1.系統(tǒng)的物理模型考慮如圖(1)所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問題。圖(1)倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長(zhǎng)度：l=1m小車的質(zhì)量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。 設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件(由干擾引起)時(shí)，最大超調(diào)量≤10%，調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤4s，通過(guò)小車的水平運(yùn)動(dòng)使倒立擺保持在垂直位置。2.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1建設(shè)倒置擺的運(yùn)動(dòng)方程并將其線性化。為簡(jiǎn)化問題，在數(shù)學(xué)模型中首先假設(shè)：1)擺桿為剛體；2〕忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦；3〕忽略小車與接觸面間的摩擦。設(shè)小車瞬時(shí)位置為z,擺心瞬時(shí)位置為〔〕,在u作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速遠(yuǎn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線遠(yuǎn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與u平衡，于是有即：①繞擺軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性力矩與重力矩平衡，因而有即：②以上兩個(gè)方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立，在試駕適宜的外力條件下，假定θ很小，接近于零時(shí)合理的，則，且可忽略項(xiàng)。于是有③④聯(lián)立求解可得2.2列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。選取系統(tǒng)變量，則即代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到：3.設(shè)計(jì)控制器3.1判斷系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性，rank()=4,故被控對(duì)象完全可控由特征方程解得特征值為0，0，。出現(xiàn)大于零的特征值，故被控對(duì)象不穩(wěn)定3.2確定希望的極點(diǎn)希望的極點(diǎn)n=4，選其中一對(duì)為主導(dǎo)極點(diǎn)和，另一對(duì)為遠(yuǎn)極點(diǎn)，認(rèn)為系統(tǒng)性能主要由主導(dǎo)極點(diǎn)決定，遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小影響。根據(jù)二階系統(tǒng)的關(guān)系式，先確定主導(dǎo)極點(diǎn)可得，于是取；取誤差帶，則，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為=-10.8j,遠(yuǎn)極點(diǎn)選擇使它和原點(diǎn)的距離大于主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)距離的5倍，取3.3采用狀態(tài)反響方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點(diǎn)狀態(tài)反響的控制規(guī)律為，；狀態(tài)反響系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其特征多項(xiàng)式為⑤希望特征多項(xiàng)式為⑥比擬以上兩式系數(shù)，解得狀態(tài)反響矩陣4.設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器4.1判斷系統(tǒng)的能觀性，rank()=4,故被控對(duì)象完全可觀4.2確定觀測(cè)器的反響增益全維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為；其特征多項(xiàng)式為⑦取觀測(cè)器的希望極點(diǎn)為：-45，-45，-3+3j，-3-3j；則希望特征多項(xiàng)式為⑧比擬以上兩式系數(shù)，解得觀測(cè)器反響矩陣5.降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)5.1建設(shè)倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程設(shè)小車位移z由輸出傳感器測(cè)量，因而無(wú)需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維〔三維〕狀態(tài)觀測(cè)器，通過(guò)重新排列被控系統(tǒng)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)變量與輸出傳感器測(cè)得的狀態(tài)變量別離開。將z作為第四個(gè)狀態(tài)變量，則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為⑨簡(jiǎn)記為：式中，，，，，=0，，被控系統(tǒng)的n-q維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為，式中,為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為5.2.判斷子系統(tǒng)的可觀測(cè)性A1=[0-10;001;0110];C1=[100];Qg1=obsv(A1,C1);r=rank(Qg1)運(yùn)行Matlab程序；結(jié)果為r=3,故該子系統(tǒng)可觀測(cè)降維狀態(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為式中h=?？紤]被控對(duì)象參數(shù)，單倒置擺降維觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為5.3確定三維狀態(tài)觀測(cè)器的反響矩陣h三維狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為設(shè)希望的觀測(cè)器閉環(huán)極點(diǎn)為-45，-3+3j，-3-3j，則希望特征多項(xiàng)式為比擬以上兩式系數(shù)，解得h=故所求三維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為6.Matlab仿真分析6.1源程序通過(guò)Matlab對(duì)用全維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反響的倒置擺系統(tǒng)進(jìn)展仿真分析，下面是文件名為Inversion_pendulum_system.m的源程序%倒立擺系統(tǒng)建模分析%a)判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clearall;clcA=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1000];D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);ifrc==ndisp('Thesystemiscontrolled.')elseifrc<ndisp('Thesystemisuncontrolled.')endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);ifro==ndisp('Thesystemisobservable.')elseifro~=ndisp('Thesystemisnoobservable.')end%b)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re>0))~=0)disp('Thesystemisunstableandtheubstablepolesare:')v(find(Re>0))elsedisp('Thesystemisstable!');end%c)極點(diǎn)配置與控制器-全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)與仿真pc=[-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15];po=[-45-45-3+3*j-3-3*j];K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D);%將受控過(guò)程創(chuàng)立為一個(gè)LTI對(duì)象disp('受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp('觀測(cè)器——控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0)%將觀測(cè)器-控制器創(chuàng)立為一個(gè)LTI對(duì)象disp('觀測(cè)器——控制器的極點(diǎn)：');f_poles=pole(Gc)GpGc=Gp*Gc;%控制器和對(duì)象串聯(lián)disp('觀測(cè)器——控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：');Gcl=feedback(GpGc,1,-1)%閉環(huán)系統(tǒng)disp('閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：');c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gcl)%低頻增益N=1/lfg%歸一化常數(shù)T=N*Gcl;%將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)x0=[1001030100000];%初始條件向量t=[0:0.01:1]';%時(shí)間列向量r=0*t;%零參考輸入[ytx]=lsim(T,r,t,x0);%初始條件仿真plot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8))%由初始條件引起的狀態(tài)響應(yīng)title('\bf狀態(tài)響應(yīng)')legend('x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('\bf階躍響應(yīng)')figure(3)impulse(T)title('\bf脈沖響應(yīng)')6.2程序運(yùn)行結(jié)果Thesystemiscontrolled.Thesystemisobservable.P=10-1100v=003.3166-3.3166Thesystemisunstableandtheubstablepolesare:ans=3.3166K=-36.9000-49.9200-334.5400-81.9200G=962594-14826-64984受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型Transferfunction:s^2-1.776e-015s-10-----------------------s^4-11s^2觀測(cè)器——控制器模型：a=x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92b=u1x1-96x2-2594x31.483e+004x46.498e+004c=x1x2x3x4y136.949.92334.581.92d=u1y10Continuous-timemodel.觀測(cè)器——控制器的極點(diǎn)：f_poles=1.0e+002*-1.4948+1.8786i-1.4948-1.8786i1.7424-0.0328觀測(cè)器——控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：a=x1x2x3x4x5x101000x200-1036.9x300010x400110-36.9x596000-96x62594000-2557x7-1.483e+0040001.483e+004x8-6.498e+0040006.495e+004x6x7x8x1000x249.92334.581.92x3000x4-49.92-334.5-81.92x5100x649.92333.581.92x7001x8-49.92-323.5-81.92b=u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x86.498e+004c=x1x2x3x4x5x6x7x8y110000000d=u1y10Continuous-timemodel.閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：c_poles=-45.0000-45.0000-15