高二數(shù)學(xué)選修2-2

第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理

歌德巴赫猜想(GoldbachConjecture)任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和不小于6的偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，改寫為:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，根據(jù)上述過程,歌德巴赫大膽地猜想:任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫提出猜想的推理過程:通過對一些偶數(shù)的驗證，發(fā)現(xiàn)它們總可以表現(xiàn)成兩個奇質(zhì)數(shù)之和（而且沒有反例），于是猜想：任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之：歸納推理是由特殊到一般的推理例如：金受熱后體積膨脹，銀受熱后體積膨脹，銅受熱后體積膨脹，鐵受熱后體積膨脹，金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它們受熱后分子的凝聚力減弱，分子運動加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致體積膨脹.

所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。

例1.已知數(shù)列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數(shù)列的通項公式.分別把n=2,3,4代入得:觀察可得：數(shù)列的前4項都等于相應(yīng)項數(shù)的倒數(shù)。由此猜想（歸納）這個數(shù)列的通項公式為：歸納推理的一般步驟：⑶檢驗猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；（猜想不一定正確）⑴對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理；根據(jù)圖中5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點.(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)書本P301,2二、除了歸納，在人們的創(chuàng)造發(fā)明活動中，還常常應(yīng)用類比。例如：2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.1.古代工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸．3、火星上是否存在生命？可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層火星圍繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn)地球圍繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球3、火星上是否存在生命？以上幾個例子均是根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其它方面也相似或相同,像這樣的推理通常稱為類比推理.(簡稱:類比法)（2）類比推理的一般模式為:注：（1）簡言之,類比推理是從特殊到特殊的推理.類比推理基礎(chǔ)類比推理以已知的、舊的知識為基礎(chǔ)由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注意類比推理的作用推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能．?dāng)?shù)有限相等四面體（各面均為三角形）球面線幾何中常見的類比對象三角形圓向量無限不等代數(shù)中常見的類比對象線平面幾何立體幾何點例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;例題解析：問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例2類比實數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運算性質(zhì).類比角度實數(shù)的加法實數(shù)的乘法運算結(jié)果若a,b∈R,則a+b∈R運算律(交換律和結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運算加法的逆運算是減法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a單位元a+0=a若a,b∈R,則ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a例3、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積直角三角形∠C＝90°2條直角邊a，b和1條斜邊c3個面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°三個兩兩垂直的面S1，S2，S3和1個“斜面”S例4：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。ABCbacs1s3△PEF的面積為SPEs2DF？c2=a2+b2分析：M△PEF的面積為S下面證明猜想是否成立：過D點作DM⊥EF,垂足為M，連接PM，則PM⊥EFPEDFM變式練習(xí)：在三角形ABC中有結(jié)論：AB+BC>AC，類似地在四面體P-ABC中有

.PＡＣＢABCS1S2S3△PAB的面積為S練習(xí)2.

由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；結(jié)論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎(chǔ),推測新的結(jié)論;具有發(fā)現(xiàn)的功能;結(jié)論不一定成立.具有發(fā)現(xiàn)的功能;

合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向兩個推理的過程:從具體問題出發(fā)觀察,分析,比較,聯(lián)想歸納,類比提出猜想例5:如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動1個金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測;把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?解;設(shè)an表示移動n塊金屬片時的移動次數(shù).當(dāng)n=1時,a1=1當(dāng)n=2時,a2=3123書本：p27當(dāng)n=1時,a1=1當(dāng)n=2時,a2=3解;設(shè)an表示移動n塊金屬片時的移動次數(shù).當(dāng)n=3時,a3=7當(dāng)n=4時,a4=15猜想an=2n-1123小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理1.歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之：歸納推理是由特殊到一般的推理2.歸納推理的一般步驟：⑶檢驗猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑴對有限的