專題22尺規(guī)作圖一、基礎(chǔ)作圖【高頻考點(diǎn)精講】1、作一條線段等于已知線段（已經(jīng)線段a）。（1）步驟①作射線OP；②以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作弧，交OP于點(diǎn)A，則OA即為所求線段。（2）作圖原理：圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑。（3）適用情形①已知三邊作三角形；②作圓的內(nèi)接正六邊形。2、作一個(gè)角等于已知角（已知∠α）。（1）步驟①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交∠α的兩邊于點(diǎn)P、Q；②作射線O′A；③以點(diǎn)O′為圓心，OP長(zhǎng)為半徑作弧，交O′A于點(diǎn)M；④以點(diǎn)M為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作弧，交步驟3中的弧于點(diǎn)N；⑤過點(diǎn)N作射線O′B，則∠AO′B即為所求角。（2）作圖原理①三邊相等的兩個(gè)三角形全等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（3）適用情形①過直線外一點(diǎn)作直線與已知直線平行；②過三角形一邊上一點(diǎn)作直線將其分成兩個(gè)相似三角形。3、作已知角的角平分線（已知∠AOB）。（1）步驟①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)N、M；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于1/2MN長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；③作射線OP，則OP即為所求角的平分線。（2）作圖原理①三邊相等的兩個(gè)三角形全等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；③兩點(diǎn)確定一條直線。（3）適用情形①作一點(diǎn)使得該點(diǎn)到角兩邊的距離相等；②作三角形的內(nèi)切圓。4、作已知線段的垂直平分線（已知線段AB）。（1）步驟①分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于1/2AB長(zhǎng)為半徑，在AB兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)M、N；②過點(diǎn)M、N作直線，直線MN即為所求垂直平分線。（2）作圖原理①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②兩點(diǎn)確定一條直線。（3）適用情形①過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作直線平分三角形的面積；②過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓/作三角形的外接圓；③作到已知兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)。5、過一點(diǎn)作已知直線的垂線（已知點(diǎn)P和直線l）。【點(diǎn)P在直線l上】（1）步驟①以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于A、B兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于1/2AB長(zhǎng)為半徑向直線兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N；③過點(diǎn)M、N作直線，直線MN即為所求垂線。（2）作圖原理①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②兩點(diǎn)確定一條直線。（4）適用情形①已知底邊上的高線及腰長(zhǎng)作等腰三角形；②過直線外一點(diǎn)作與該直線相切的圓?！军c(diǎn)P在直線l外】（1）步驟①任意取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M和點(diǎn)P在直線l的兩側(cè)；②以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于A、B兩點(diǎn)；③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于1/2AB長(zhǎng)為半徑作弧，交點(diǎn)M同側(cè)于點(diǎn)N；④過點(diǎn)P、N作直線，直線PN即為所求垂線。（2）作圖原理①到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；②兩點(diǎn)確定一條直線。（3）適用情形①已知底邊上的高線及腰長(zhǎng)作等腰三角形；②過直線外一點(diǎn)作與該直線相切的圓?！緹狳c(diǎn)題型精練】1．（2022?德州中考）在△ABC中，根據(jù)下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷AB與AC大小關(guān)系的是（）A．B．C．D．解：A．由作圖痕跡，在AC上截取線段等于AB，則AC＞AB，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．由作圖痕跡，在AB上延長(zhǎng)線上截取線段等于AC，則AC＞AB，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．由作圖痕跡，作BC的垂直平分線把AC分成兩線段，則AC＞AB，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．由作圖痕跡，作AC的垂直平分線，則BC＞AB，所以D選項(xiàng)符合題意．答案：D．2．（2022?河北中考）要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測(cè)量．兩同學(xué)提供了如下間接測(cè)量方案（如圖1和圖2）：對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行解：方案Ⅰ，∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可知，直線AB，CD所夾銳角與∠AEM相等，故方案Ⅰ可行，方案Ⅱ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，直線AB，CD所夾銳角與180°﹣∠AEH﹣∠CFG相等，故方案Ⅱ可行，答案：C．3．（2022?海南中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線BP，交AC于點(diǎn)D，若AD＝BD，則∠AA．36° B．54° C．72° D．108°解：由題意可得BP為∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得∠A＝36°．答案：A．4．（2022?長(zhǎng)春中考）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）A．AF＝BF B．AE=12C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC解：由圖中尺規(guī)作圖痕跡可知，BE為∠ABC的平分線，DF為線段AB的垂直平分線．由垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝BF，故A選項(xiàng)不符合題意；∵DF為線段AB的垂直平分線，∴∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠DFB＝90°，故C選項(xiàng)不符合題意；∵BE為∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠EBC，∵AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠EBC，故D選項(xiàng)不符合題意；根據(jù)已知條件不能得出AE=12故B選項(xiàng)符合題意．答案：B．5．（2022?淄博中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于12AC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，作直線PQ分別交BC，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若CD＝3，則BDA．4 B．5 C．6 D．7解：連接AD，如圖，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC＝3，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6．答案：C．6．（2022?濟(jì)南中考）如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，若BF＝3，AEA．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FCA＝∠EAC，根據(jù)作圖過程可知：MN是AC的垂直平分線，∴AF＝CF，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∴∠FAC＝∠FCA，∴∠FAC＝∠EAC，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵M(jìn)N是AC的垂直平分線，∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，在△CFO和△AEO中，∠FCO=∠EAOCO=AO∴△CFO≌△AEO（ASA），∴AE＝CF，∴AF＝CF＝AE＝5，∵BF＝3，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB=AF2∵BC＝BF+FC＝3+5＝8，∴BC＝2AB，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，答案：D．7．（2022?資陽中考）如圖所示，在△ABC中，按下列步驟作圖：第一步：在AB、AC上分別截取AD、AE，使AD＝AE；第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)（大于DE的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；第三步：作射線AF交BC于點(diǎn)M；第四步：過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．下列結(jié)論一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA解：由題意可知，AM平分∠CAB，∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A選項(xiàng)不符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B選項(xiàng)不符合題意；∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C選項(xiàng)符合題意；∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D選項(xiàng)不符合題意．答案：C．8．（2022?紹興中考）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交射線BA于點(diǎn)D，連結(jié)CD，則∠BCD的度數(shù)是10°或100°．解：如圖，點(diǎn)D即為所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作圖可知：AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC=1∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作圖可知：AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．綜上所述：∠BCD的度數(shù)是10°或100°．答案：10°或100°．9．（2022?連云港中考）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺規(guī)在BC、BA上分別截取BE、BF，使BE＝BF；分別以E、F為圓心，大于12EF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線BG交DC于點(diǎn)H．若AD=3+1，則BH的長(zhǎng)為解：在?ABCD中，∠ABC＝150°，∴∠C＝30°，AB∥CD，BC＝AD=3由作圖知，BH平分∠ABC，∴∠CBH＝∠ABH，∵AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABH，∴∠CHB＝∠CBH，∴CH＝BC=3過B作BP⊥CD于P，∴∠CPB＝90°，∴BP=12BC=3+12∴HP＝CH﹣CP=3∴BH=B答案：2．10．（2022?棗莊中考）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝25解：如圖，連接BM．由作圖可知MN垂直平分線段BD，∴BM＝DM＝5，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB，∴BC=B∴BD=CB2∴OB＝OD＝25，∵∠MOD＝90°，∴OM=D∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，在△MDO和△NBO中，∠MDO=∠NBOOD=BO∴△MDO≌△BNO（ASA），∴OM＝ON=5∴MN＝25．答案：25．11．（2022?通遼中考）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求∠α的度數(shù)60°．解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB＝60°．由作法可知，BF是∠ABD的平分線，∴∠EBF=12∠由作法可知，EF是線段BD的垂直平分線，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，∴∠α＝60°．答案：60．12．（2022?丹東中考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分別以A，C為圓心，以大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線PQ與AC交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為25解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，∴AC=AB2由作圖可知，PQ垂直平分線段AC，∴AD＝DC=12AC＝2答案：25．13．（2022?淮安中考）如圖，已知線段AC和線段a．（1）用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖．（請(qǐng)保留作圖痕跡，并標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）①作線段AC的垂直平分線l，交線段AC于點(diǎn)O；②以線段AC為對(duì)角線，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且點(diǎn)B在線段AC的上方．（2）當(dāng)AC＝4，a＝2時(shí)，求（1）中所作矩形ABCD的面積．解：（1）①如圖，直線l即為所求．②如圖，矩形ABCD即為所求．（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD=A∴矩形ABCD的面積為AB?BC＝2×2314．（2022?青島中考）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．解：①先作出線段BC的垂直平分線EF；②再作出∠ABC的角平分線BM，EF與BM的交點(diǎn)為P；則P即為所求作的點(diǎn)．15．（2022?無錫中考）如圖，△ABC為銳角三角形．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，則四邊形ABCD的面積為532解：（1）如圖1中，點(diǎn)D即為所求；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，∴BH＝AB?cos60°＝1，AH＝AB?sin60°=3∴CH＝BC﹣BH＝2，∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵AH⊥CB，CD⊥AD，∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，∴四邊形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，∴S四邊形ABCD=12×答案：5316．（2022?揚(yáng)州中考）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；【問題再解】如圖3，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）解：【初步嘗試】如圖1，直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，三角形MNP即為所求；【問題再解】如圖3中，DF即為所求．二、應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖【高頻考點(diǎn)精講】理解題意，明確作圖要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法進(jìn)行作圖。【熱點(diǎn)題型精練】17．（2022?湖北中考）已知四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）在圖1中作出矩形ABCD的對(duì)稱軸m，使m∥AB；（2）在圖2中作出矩形ABCD的對(duì)稱軸n，使n∥AD．解：（1）如圖1中，直線m即為所求；（2）如圖2中，直線n即為所求；18．（2022?江西中考）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作∠ABC的角平分線；（2）在圖2中過點(diǎn)C作一條直線l，使點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．

解：（1）如圖1中，射線BP即為所求；（2）如圖2中，直線l或直線l′即為所求．19．（2022?六盤水中考）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來市民和游客爭(zhēng)相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請(qǐng)