數(shù)學(xué)建模論文參賽題號：B參賽題目：CPI的分析與預(yù)測院系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)號：200811723姓名：黃濤濤聯(lián)系方式箱：huangtaotaoncwu@#CPI的分析與預(yù)測模型摘要本文以我國的CPI作為研究對象，基于CPI數(shù)據(jù)存在明顯的非平穩(wěn)性和季節(jié)性特征，我們運(yùn)用自回歸單整移動平均季節(jié)模型（SARIMA莫型）進(jìn)行建模分析，并利用SPSS和eviews,分別建立了CPI定基指數(shù)序列與石油價(jià)格時(shí)間序列的關(guān)系模型（模型1）和CPI定基指數(shù)時(shí)間序列的關(guān)系模型（模型2）。從模型的結(jié)果分析來看，模型1較好的解釋了石油與CPI之間的關(guān)系，并得出石油價(jià)格時(shí)間序列｛Oilt｝與CPI定基指數(shù)的相伴概率為0.0136，小于0.05的置信水平，證明了石油價(jià)格對CPI的影響是顯著的；對于模型2，它對樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的擬合圖顯示出其對CPI定基指數(shù)具有較高的擬合度，然后，我們對08年6月至12月的數(shù)據(jù)（樣本外數(shù)據(jù)）進(jìn)行了預(yù)測，數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果顯示，其誤差均不超過 0.97%，說明模型2具有較好的預(yù)測效果。關(guān)鍵字：CPI定基指數(shù)時(shí)間序列SARIMA模型預(yù)測問題的重述問題基本情況及背景CPI指數(shù)，即消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來的物價(jià)變動指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)，也往往是市場經(jīng)濟(jì)活動與政府貨幣政策的一個(gè)重要參考指標(biāo)。當(dāng)CPI指數(shù)上升時(shí)，表明通貨膨脹率上升，消費(fèi)者的生活成本提高，貨幣的購買力減弱；相反，當(dāng)CPI指數(shù)下降時(shí)，表明通貨膨脹率下降，亦即消費(fèi)者的生活成本降低，貨幣的購買力增強(qiáng)。2011年國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)的數(shù)據(jù)顯示，一季度，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù) CPI同比上漲5.0%。其中，城市上漲4.9%，農(nóng)村上漲5.5%。3月份居民消費(fèi)價(jià)格同比上漲5.4%,創(chuàng)下新高，超出市場很多人的預(yù)期。而CPI“破5望6”的勢頭，更加引發(fā)了市場的擔(dān)憂。當(dāng)前，國家通過各種價(jià)格干預(yù)的努力，維護(hù)市場穩(wěn)定，已經(jīng)取得部分成效。CPI的高低直接影響著居民的生活水平，因此，準(zhǔn)確地分析并及時(shí)地對CPI做出合理的預(yù)測，對國家制定相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)政策，實(shí)行宏觀調(diào)控，穩(wěn)定物價(jià)，保證經(jīng)濟(jì)的正常平穩(wěn)發(fā)展具有重要意義。問題的提出問題一：選擇某個(gè)側(cè)面（如銀行存貸款利率、石油價(jià)格等），收集相關(guān)數(shù)據(jù)，研究其與CPI的關(guān)系；問題二：建立相關(guān)CPI的數(shù)學(xué)模型并預(yù)測CPI的走勢。問題的分析問題一：石油作為全球工業(yè)的基礎(chǔ)性生產(chǎn)資料，它的價(jià)格波動，會對很多產(chǎn)業(yè)的制造成本產(chǎn)生影響，對全球的經(jīng)濟(jì)發(fā)展也會產(chǎn)生重大的影響。因此我們選擇石油這個(gè)因素，搜集相關(guān)的數(shù)據(jù)，在CPI的時(shí)間序列模型中加入石油這個(gè)外變量，從而建立石油與CPI的關(guān)系模型。問題二：根據(jù)CPI數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，我們可以運(yùn)用時(shí)間序列分析的方法對CPI指數(shù)進(jìn)行擬合，從而對未來的CPI走勢作出合理的預(yù)測。模型假設(shè)本文數(shù)據(jù)均來自網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)這些數(shù)據(jù)是真實(shí)可靠的，沒有統(tǒng)計(jì)錯誤的情況。由于數(shù)據(jù)的限制，我們將2008年6月至2008年12月的數(shù)據(jù)作為未知數(shù)據(jù)，進(jìn)行樣本外數(shù)據(jù)預(yù)測。

4符號說明符號符號說明ytCPI定基指數(shù)時(shí)間序列{Oil]石油價(jià)格時(shí)間序列et白噪聲序列B后移算子Byt=yt4A非季節(jié)差分算子 Ayt=ytJ、s周期為s的差分算子 =%—%」d非季節(jié)差分的次數(shù)D季節(jié)性差分的次數(shù)P非季節(jié)自回歸的最大滯后階數(shù)q非季節(jié)移動平均算子的最大滯后階數(shù)p季節(jié)自回歸的最大滯后階數(shù)Q季節(jié)移動平均算子的最大滯后階數(shù)5模型的建立與求解5.1模型簡介以及數(shù)據(jù)的分析和預(yù)處理自回歸單整移動平均季節(jié)模型(SARIMA模型)實(shí)際上源自于自回歸單整移動平均模型(ARIMA。ARIMA模型的具體表達(dá)形式是ARIMA(p,d,q)1"【2】，其中AR指自回歸過程，MA指移動平均過程，p是自回歸項(xiàng)數(shù)，q是移動平均項(xiàng)數(shù)，I是單整，d為時(shí)間序列由非平穩(wěn)序列成為平穩(wěn)序列需要差分的次數(shù)。在考慮到CPI定基指數(shù)序列是非平穩(wěn)序列，且具有明顯的季節(jié)特征及以 12個(gè)月為周期的周期特征，因此，本文為擬采用季節(jié)時(shí)間序列模型SARIMA[p,d,q)(P,D,Q)12對我國CPI定基指數(shù)進(jìn)行擬合。該模型的一般表達(dá)式為：

Gp(B)Up(Bs)(，sDyt)七q(B)VQ(Bs)Q【3】具體地，叮」p(B),Up(Bs)，Qq(B)，VQ(BS)的一般表達(dá)式如下所示：Gp(B)=1-石-2B2-……pBPUP(Bs)“—u^—u2B2s—..…uPBPs0q(B)=1可B》B2 ..…TqBqVQ(Bs)=1v1Bsv2B2s..…vQBQs本文使用SPSS17.0和eviews3.1軟件進(jìn)行建模。CPI數(shù)據(jù)選取了中華人民共和國2001年1月至2008年12月的數(shù)據(jù)(后7個(gè)月數(shù)據(jù)作為預(yù)測使用)，石油數(shù)據(jù)選取了2001年1月至2008年5月的布倫特原油的月平均價(jià)格。為了使不同時(shí)期的CPI數(shù)據(jù)具有可比性，我們以2001年1月為基期，通過CPI月度環(huán)比數(shù)據(jù)計(jì)算出CPI定基指數(shù)。CPI定基指數(shù)序列「y,走勢如圖1所示。I20lC0-115-00-IIG-CCricntxr詁8*■皐I20lC0-115-00-IIG-CCricntxr詁8*■皐心3滬-2KW心30483-zwfd—IM呂hl-ZDQhJ心8KJJ￡『48亠亠—KJ呂LYEAR,motperiodic圖1CPI定基指數(shù)走勢圖(設(shè)2001年1月CPI=100)5.1.1時(shí)間序列的隨機(jī)性如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)序列，意味著序列沒有任何規(guī)律性，序列諸項(xiàng)

之間不存在相關(guān)，即序列為白噪聲序列，其自相關(guān)系數(shù)應(yīng)該與 0沒有顯著差異由｛|nyj的自相關(guān)圖(圖2)，可以肯定該序列不是純隨機(jī)的，這樣才能從中找到規(guī)律，建立模型。5.1.2時(shí)間序列的平穩(wěn)性從圖1中可以看到，CPI指數(shù)有漲有落，前后的波動具有不一致性，且向右上方傾斜，說明該時(shí)間序列存在異方差性及增長趨勢和季節(jié)性趨勢。首先，對原始數(shù)據(jù)的異方差性進(jìn)行消除，這需要對原始數(shù)據(jù)做自然對數(shù)處理，得到dnyj。在建立模型之前，我們還需要對時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。我們應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)（ACF與偏相關(guān)函數(shù)（PACF來識別｛Inyt｝的平穩(wěn)性。從圖2可以看到，對于nyj的自相關(guān)函數(shù)（ACF表現(xiàn)為緩慢的拖尾，而偏相關(guān)函數(shù)（PACF表現(xiàn)為截尾，因而，可以得到初步的結(jié)論是該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。因此，為了使該序列趨于平穩(wěn)，需要對其進(jìn)行差分化處理，使用SPSS4】對：ln%f進(jìn)行一階差分，得到'DInyj。圖2差分前時(shí)間序列的ACF與PACF圖如圖3、4所示，從中可以看到，通過一階差分處理以后的「Iny「已經(jīng)消除了時(shí)間序列的趨勢性。對'DInyt，進(jìn)行ADF平穩(wěn)性單根檢驗(yàn)，結(jié)果如表1，從表1可知，在1%勺水平下〈DIny「即可通過ADF單根檢驗(yàn)，即時(shí)間序列〈DIny「為平穩(wěn)性時(shí)間序列。圖3圖3時(shí)間序列In亦的圖形Autocorr&laii&n Pzrti白ICorrelation11111111iIDp1111'□i|i111111111□l1||101111111ID11i[1i01c1圖4時(shí)間序列；、DIn 的ACF和PACF圖表1時(shí)間序列］DInyl的ADF檢驗(yàn)結(jié)果ADFTestStatistic-4.879611%Critical Value*-3.50825%CriticalValue-2.895510%CriticalValue-2.58465.1.3時(shí)間序列的季節(jié)性在一般的經(jīng)濟(jì)問題的月度數(shù)據(jù)、季度數(shù)據(jù)中普遍存在季節(jié)性問題，為了使建立的模型更加準(zhǔn)確，應(yīng)當(dāng)對數(shù)據(jù)中的季節(jié)性進(jìn)行消除。由圖3可以看出，「DInyy存在季節(jié)性的上下波動趨勢，而圖4在k=12處自相系數(shù)關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)均顯著不為0,說明:DInyj確實(shí)存在季節(jié)性問題。為了消除其季節(jié)性，使用 SPSS4】對「DIny「進(jìn)行一階季節(jié)性差分，圖5為季節(jié)性差分后的ACF與PACF圖，從圖5中可以看到，經(jīng)過一階季節(jié)性差分｛DIn%｝的季節(jié)性已經(jīng)基本消除，對季節(jié)性差分后的時(shí)間序列進(jìn)行單根檢驗(yàn)（如表2），在1%的水平下即可通過ADF平穩(wěn)性單根檢驗(yàn)，說明通過以上的處理已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了時(shí)間序列的平穩(wěn)化（如圖 6）。Aut^correlation PartialCorrelation11112'It11li1■i1gi1I1p11］（1□i111111]i1I11□111IC11■1111E1愜111i1111111>113JJ11i1i111制111111圖5時(shí)間序列｛Dlnyt｝季節(jié)性差分后的ACF與PACF?表2時(shí)間序列｛Dlnyt｝季節(jié)性差分后的ADF檢驗(yàn)結(jié)果ADFTestStatistic-3.948731%CriticalValue*-3.50825%CriticalValue-2.895510%CriticalValue-2.5846

■￡U12O-48Maf4RK—Nss4i■￡U12O-48Maf4RK—Nss4i48408INSIB￡408lfe￡_,3a48iywE.^02■MMYEAR.notpenodk圖6時(shí)間序列｛DIn%｝季節(jié)性差分后的圖型5.2模型的建立521問題1石油與CPI的關(guān)系模型的建立在時(shí)間序列實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)化以后，就要建立基于CPI的SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)12模型，由于我們要建立石油與 CPI的關(guān)系模型，為了將二者的關(guān)系體現(xiàn)在季節(jié)性時(shí)間序列模型中，我們將石油時(shí)間序列 ｛Oilt｝作為一一個(gè)變量加入該模型。模型的識別由于原對數(shù)時(shí)間序列進(jìn)行一階差分后，序列的趨勢得到消除，因此取d=1。又經(jīng)過一階季節(jié)差分后，序列季節(jié)性得到消除，可得 D=1。所以對得到的平穩(wěn)時(shí)間序列選為SARIMA(p,1,q)(P,1,Q)12模型。由于k=12處，樣本自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)都不顯著，從而得出P=Q=1。通過對圖5的觀察，我們對可能性最大的SARIMA[1,1,1)(1,1,1)12， SARIMA(2,1,1)(1,1,1)12， SARIMA(1,1,2)(1,1,1)12，SARIMA[2,1,2)(1,1,1)12模型分別進(jìn)行參數(shù)比較(如表3)。模型的選定主要依據(jù)AIC，SC最小準(zhǔn)則和修正R2最大準(zhǔn)則。AIC(Akaikeinfocriterion)準(zhǔn)則兼顧了模型的簡潔性和精確性，并排除了建模者的主觀因素。 BC(Schwarzcriterion)準(zhǔn)則則對AIC準(zhǔn)則做了進(jìn)一步改善。修正R2除具備R2的特征外，還避免了自變量個(gè)數(shù)的因素，綜合了精度和變量數(shù)兩個(gè)因素，能更有效地判斷擬合優(yōu)度。 AIC、SC和修正R2的表達(dá)式分別為：AIC=2(1 k)/nBC=(_2Iklogn)/nn-1 2、R=1- (1一R)n-p-1其中I為對數(shù)似然函數(shù)，n是觀測值數(shù)目，k是被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，p為自變量個(gè)數(shù)。模型AICSC修正R2SARIMA(1,1,1) (1,1,1)12-7.813592-7.6590930.608604SARIMA(2,1,1) (1,1,1)12-7.775827-7.5890110.57702812SARIMA(1,1,2) (1,1,1)-7.813966-7.6285670.603525SARIMA(2,1,2) (1,1,1)12-7.768304-7.5503510.579006綜合比較表3各個(gè)模型的參數(shù)，認(rèn)為模型SARIMA(1,1,1)(1,1,1)12為最優(yōu)模型。模型的參數(shù)估計(jì)使用Eviews3.1軟件【5】對模型SARIMA[1,1,1)(1,1,1)12進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，如表4所示:VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.OIL4.72E-051.87E-052.5315140.0136AR(1)-0.5975950.110909-5.3881580.0000SAR(12)0.9346010.05023118.606020.0000MA(1)0.5811110.1176174.9407110.0000SMA(12)-0.853650.033191-25.719510.0000模型1的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：121212(10.60B)(1-0.93B)(1-B)(1-B)(lnyt-0.0000470ilj=(10.58B)(1-0.85B冷模型的診斷和檢驗(yàn)驗(yàn)接下來，我們對模型1的殘差序列進(jìn)行Q檢驗(yàn)，其原理是檢驗(yàn)該模型的殘差序列是否是白噪聲，若殘差序列是白噪聲序列，則認(rèn)為該模型適合解釋當(dāng)前時(shí)間序列，若殘差序列不是白噪聲序列，則認(rèn)為殘差序列還存在有用信息未被提取，需要進(jìn)一步改進(jìn)模型，假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Q可以通過對殘差序列的Correlogram-Q-Statistics 中得到，檢驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

Q-StatProb00107010791055513441138462.227901362723302564074402544.12440.3S94.16460.526417340653498140匪27363704939.59B903B49.59350.476圖7模型1的殘差序列的Q檢驗(yàn)由圖7可知，階數(shù)從6開始，統(tǒng)計(jì)量Q對應(yīng)的概率都遠(yuǎn)大于置信水平0.05,即不能拒絕殘差序列｛et｝為白噪聲序列的假設(shè)，從而可以肯定該SARIMA模型通過了檢驗(yàn)，即模型1是有效的。接下來，通過對SARIMA(1,1,1)(11,1)12進(jìn)行擬合，可以得到擬合值和真實(shí)值的時(shí)序圖(如圖8),該圖顯示出擬合值和真實(shí)值之間有較好的擬合效果。 同時(shí)，通過對表4的分析，我們發(fā)現(xiàn)變量｛Oih｝的相伴概率為0.0136，小于置信水平0.05,說明變量｛Oilt｝對CPI的影響是顯著的，從統(tǒng)計(jì)上說明石油因素對我國的 CPI影響是不可忽略的。 Residual Actual Fitted圖8522問題2CPI的建模與預(yù)測模型的識別由于該模型的所需數(shù)據(jù)與問題1中的一樣，所以我們?nèi)耘f使用SARIMA(1,1,2)(1,1,1)12模型進(jìn)行建模。模型的參數(shù)估計(jì)使用Eviews3.1軟件【5】對模型SARIMA(1,1,1)(1,1,1)12進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，如表5所示：表5VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.AR(1)-0.4844410.125132-3.8714320.0002SAR(12)0.9771940.05132919.037680.0000MA(1)0.5418740.125874.3050150.0001SMA(12)-0.855010.029701-28.787140.0000模型2的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:121212(10.48B)(1-0.98B)(1-B)(1-B)ln%=(10.54B)(1-0.86B)e模型的診斷與檢驗(yàn)我們對模型2的殘差序列進(jìn)行Q檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖9所示：Q-StatProb0.34591.34802.06352.6198346Z600625482600646774B00799.99960.04010.0350.07410064012210.206om10.817021212.7400.17514.398015614.4370210圖9模型2的殘差序列的Q檢驗(yàn)由圖9可知，階數(shù)從5開始，Q統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的概率都基本大于置信水平0.05，即不能拒絕殘差序列｛q｝為白噪聲序列的假設(shè)，從而可以肯定該SARIMA模型通過了檢驗(yàn)，即模型2是有效的。模型的預(yù)測接下來，我們使用模型2對CPI定基指數(shù)進(jìn)行樣本內(nèi)預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖10所示。觀察圖10可知，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的預(yù)測值與真實(shí)值非常接近，即我們的模型具有較好的擬合效果。

接著，我們使用該模型對CPI定基指數(shù)對2008年6月至2008年12月的數(shù)據(jù)（樣本外數(shù)據(jù)）進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表 6所示。表6CPI定基指數(shù)樣本外預(yù)測日期真實(shí)值（環(huán)比）預(yù)測值（環(huán)比）誤2008:06:00118.0646117.72310.29%2008:07:00118.0391117.97050.06%2008:08:00118.0696118.59230.44%2008:09:00118.344118.86010.44%2008:10:00118.2667118.65910.33%2008