在第四章中,我們用線性運(yùn)算來(lái)討論n

維數(shù)組這些概念和性質(zhì).性空間中的元素仍然適用.以后我們將直接引用有關(guān)的性質(zhì)只涉及線性運(yùn)算,因此,對(duì)于一般的線組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)等等.這些概念以及向量之間的關(guān)系,介紹了一些重要概念,如線性一、向量空間維數(shù)的定義在第四章中,我們用線性運(yùn)算來(lái)討論n維數(shù)組這些在第四章中我們已經(jīng)提出了基與維數(shù)的概念,的主要特性,特再敘述如下.這當(dāng)然也適用于一般的線性空間.這是線性空間在第四章中我們已經(jīng)提出了基與維數(shù)的概念,的主要

定義2

在線性空間V

中,如果存在n

個(gè)元記作Vn.維數(shù)為

n

的線性空間稱(chēng)為n

維線性空間,個(gè)基,n

稱(chēng)為線性空間V

的維數(shù).那么,

1,

2,···,

n

就稱(chēng)為線性空間V

的一線性表示.

(ii)

V

中任一元素

總可由

1,

2,···,

n

(i)

1,

2,···,

n

線性無(wú)關(guān);素

1,

2,···,

n

滿足:定義2在線性空間V中,如果存在若知

1,

2,···,

n

為Vn

的一個(gè)基,則Vn

這就較清楚地顯示出線性空間Vn

的構(gòu)造.并且這組數(shù)是唯一的.

=x1

1+x2

2+···+

xn

n

,何

Vn,都有一組有序數(shù)x1,x2,···,xn,使若

1,

2,···,

n

為Vn

的一個(gè)基,則對(duì)任可表示為二、向量在基下的坐標(biāo)若知1,2,···,n反之,任給一組有序數(shù)x1,x2,···,xn,總有組有序數(shù)來(lái)表示元素

.于是我們有之間存在著一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可以用這

(x1,x2,···,xn)T

這樣,Vn

的元素

與有序數(shù)組唯一的元素

=x1

1+x2

2+···+xn

n

Vn.反之,任給一組有序數(shù)x1,x2,定義3

設(shè)

1,

2,···,

n

為線性空間Vn

=(x1,x2,···,xn)T.

1,

2,···,

n

下的坐標(biāo),并記作x1,x2,···,xn

這組有序數(shù)就稱(chēng)為元素

在基

=x1

1+x2

2+···+xn

n

,有序數(shù)x1,

x2,···,xn,使的一個(gè)基.對(duì)于任一元素

Vn,總有且僅有一組定義3設(shè)1,2,·例6

在線性空間

P[x]4

中,

p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4

就是它的一個(gè)基.任一不超過(guò)4次的多項(xiàng)式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示為

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此

p

在這個(gè)基下的坐標(biāo)為

(a0,a1,a2,a3,a4)T.例6在線性空間P[x]4中若另取一個(gè)基因此p

在這個(gè)基下的坐標(biāo)為則若另取一個(gè)基因此p在這個(gè)基下的坐標(biāo)為則建立了坐標(biāo)以后,就把抽象的向量

與具體于是

=y1

1+

y2

2+···+yn

n,

=x1

1+x2

2+···+

xn

n

,設(shè)

,

Vn,有系起來(lái):可把Vn

中抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組的線性運(yùn)算聯(lián)的數(shù)組向量(x1,x2,···,xn)T

聯(lián)系起來(lái)了.并且還三、向量的運(yùn)算建立了坐標(biāo)以后,就把抽象的向量與具體

+=(x1+y1)

1+···+(xn+yn)

n,

=(x1)

1+···+(xn)

n,即

+

的坐標(biāo)是

(x1,···,xn)T=

(

x1,···,xn)T.

的坐標(biāo)是

=(x1,···,xn

)T+(

y1,···,yn

)T,

(x1+y1,···,xn+yn)T

+=(x1+y1總之,設(shè)在

n

維線性空間Vn

中取定一個(gè)基因此,我們可以說(shuō)Vn

與Rn

有相同的結(jié)構(gòu),我們稱(chēng)也就是說(shuō),這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng).

2.

(x1,···,xn)T,1.+

(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;設(shè)

(x1,···,xn)T,

(y1,···,yn)T,則個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,且這個(gè)關(guān)系具有下述性質(zhì):向量空間Rn中的向量(x1,···,xn)T之間就有一

`1,

2,···,

n

,則Vn

中的向量

與n

維數(shù)組Vn與Rn

同構(gòu).總之,設(shè)在n維線性空間Vn中取定結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定.數(shù)相等的線性空間都同構(gòu).從而可知線性空間的顯然,任何

n

維線性空間都與Rn

同構(gòu),即維U

同構(gòu).系保持線性組合的對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)線性空間V

與它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)一般地,設(shè)V

與U

是兩個(gè)線性空間,如果在四、向量空間同構(gòu)結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定.數(shù)相等的線性空間都同構(gòu).從而可知同構(gòu)的概念除元素一一對(duì)應(yīng)外,主要是保持義.備,例如Rn

中的內(nèi)積概念在Vn

中就不一定有意Rn

中超出線性運(yùn)算的性質(zhì),在Vn

中就不一定具凡是只涉及線性運(yùn)算的性質(zhì)就都適用于Vn

.但運(yùn)算就可轉(zhuǎn)化為Rn

中的線性運(yùn)算,并且Rn

中的線性運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此,Vn

中的抽象的線性同構(gòu)的概念除元素一一對(duì)應(yīng)外,主要是保持義.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕