上海大學市北附屬中學2024屆數(shù)學高一上期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.2．下列命題中，其中不正確個數(shù)是①已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則②函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)的取值范圍是③已知平面平面，平面平面，，則平面④過所在平面外一點，作，垂足為，連接、、，若有，則點是的內(nèi)心A.1 B.2C.3 D.43．已知命題p：?n∈N，2n>2021．那么A.?n∈N，2n≤2021 B.?n∈NC.?n∈N，2n≤2021 D.?n∈N4．關于函數(shù)有下述四個結論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減；③在有個零點；④的最大值為.其中所有正確結論的編號是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③5．設為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關系中正確的是A. B.C. D.6．已知，則的周期為（）A. B.C.1 D.27．設函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.當時，的值域為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.當時，函數(shù)有個零點D.當時，關于的方程有個實數(shù)解8．用二分法求方程的近似解，求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793則當精確度為0.1時，方程的近似解可取為A. B.C. D.9．若，且，那么角的終邊落在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．函數(shù)的最小正周期是（）A. B.C. D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，終邊經(jīng)過點，則___________.12．給出下列五個論斷：①；②；③；④；⑤.以其中的兩個論斷作為條件，一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：___________.13．函數(shù)定義域為____.14．給出下列四個命題：①函數(shù)y＝2sin(2x－)的一條對稱軸是x＝；②函數(shù)y＝tanx的圖象關于點(，0)對稱；③正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；④存在實數(shù)α，使sinα＋cosα＝.以上四個命題中正確的有____(填寫正確命題前面的序號).15．方程的解在內(nèi)，則的取值范圍是___________.16．已知函數(shù)定義域是________（結果用集合表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB的面積為6（Ⅰ）若直線l過點（3，1），求原點O關于直線l對稱點的坐標；（Ⅱ）是否存在直線l同時滿足點（1，1）到直線l的距離為1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由18．已知函數(shù)fx=sin（1）求ω的值；（2）求證：當x∈0,7π1219．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角θ的終邊與單位圓交于點P.（1）若點P的橫坐標為-35，求cos（2）若將OP繞點O逆時針旋轉π4，得到角α(即α=θ+π4)，若tanα=20．某校手工愛好者社團出售自制的工藝品，每件的售價在20元到40元之間時，其銷售量（件）與售價（元/件）之間滿足一次函數(shù)關系，部分對應數(shù)據(jù)如下表所示．（元/件）20212223……3940（件）440420400380……6040（1）求此一次函數(shù)的解析式；（2）若每件工藝品的成本是20元，在不考慮其他因素的情況下，每件工藝品的售價是多少時，利潤最大？最大利潤是多少？21．已知圓：，（1）若過定點的直線與圓相切，求直線的方程；（2）若過定點且傾斜角為30°的直線與圓相交于，兩點，求線段的中點的坐標；（3）問是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，且以為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，令即可求函數(shù)的遞增區(qū)間，進而判斷各選項是否符合要求.【題目詳解】令，可得，當時，是的一個單調(diào)增區(qū)間，而其它選項不符合.故選：A2、B【解題分析】①②因為函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面內(nèi)取一點P作PA垂直于平面與平面的交線,作PB垂直于平面,則所以平面④因為,且,所以,即是的外心所以正確命題為①③,選B3、A【解題分析】根據(jù)含有一個量詞命題否定的定義，即可得答案.【題目詳解】命題p：?n∈N，2n>2021的否定?p為：?n∈N，故選：A4、A【解題分析】利用偶函數(shù)的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；由取最大值知，然后去絕對值，即可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對于命題①，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對于命題②，當時，，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對于命題③，當時，，則，當時，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，，則函數(shù)在上有無數(shù)個零點，命題③錯誤；對于命題④，若函數(shù)取最大值時，，則，，當時，函數(shù)取最大值，命題④正確.因此，正確的命題序號為①②④.故選A.【題目點撥】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關的命題真假的判斷，解題時要結合自變量的取值范圍去絕對值，結合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解題分析】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.6、A【解題分析】利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)，代入周期計算公式即可求得周期.【題目詳解】，周期為：故選：A【題目點撥】本題考查兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的最小正周期，屬于基礎題.7、C【解題分析】利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域可判斷A選項；利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用函數(shù)的零點個數(shù)求出的取值范圍，可判斷C選項；解方程可判斷D選項.【題目詳解】選項A：當時，當時，，當時，，當時，，綜上，函數(shù)的值域為，故A正確；選項B：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，無單調(diào)減區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)遞減為，故B正確；選項C：當時，令，解得或（舍去），當時，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，當時，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以此時的范圍為，故C錯誤；選項D：當時，，即，即，解得或，當，時，，則，即，解得，所以當時，關于的方程有個實數(shù)解，故D正確.故選：C.8、C【解題分析】利用零點存在定理和精確度可判斷出方程的近似解.【題目詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，，由精確度為可知，，故方程的一個近似解為，選C.【題目點撥】不可解方程的近似解應該通過零點存在定理來尋找，零點的尋找依據(jù)二分法（即每次取區(qū)間的中點，把零點位置精確到原來區(qū)間的一半內(nèi)），最后依據(jù)精確度四舍五入，如果最終零點所在區(qū)間的端點的近似值相同，則近似值即為所求的近似解.9、C【解題分析】由根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號判斷可能在的象限，再利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的圖象由求出的范圍，兩范圍取交集即可.【題目詳解】，在第二或第三象限，，即，或，解得或，又在第二或第三象限，在第三象限.故選：C【題目點撥】本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎題.10、A【解題分析】根據(jù)解析式，由正切函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期即可.【題目詳解】由解析式及正切函數(shù)的性質(zhì)，最小正周期.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】利用三角函數(shù)定義求出、的值，結合誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.12、②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤【解題分析】利用不等式的性質(zhì)和做差比較即可得到答案.【題目詳解】由②③?⑤，因為，，則.由③④?⑤，由于，，則，所以.由②④?⑤，由于，且，則，所以.故答案為：②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤13、∪【解題分析】根據(jù)題意列出滿足的條件，解不等式組【題目詳解】由題意得，即，解得或，從而函數(shù)的定義域為∪.故答案為：∪.14、①②【解題分析】對于①,將x＝代入得是對稱軸,命題正確;對于②,由正切函數(shù)的圖象可知,命題正確;對于③,正弦函數(shù)在上是增函數(shù)，但在第一象限不能說是增函數(shù)，所以③不正確；對于④,,最大值為,不正確;故填①②.15、【解題分析】先令，按照單調(diào)性求出函數(shù)的值域，寫出的取值范圍即可.【題目詳解】令，顯然該函數(shù)增函數(shù)，，值域為，故.故答案為：.16、【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.【題目詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（，）（Ⅱ）直線l的方程為4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【解題分析】（I）設A（a，0），B（0，b），則ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直線l的方程為：，直線l過點（3，1），代入可得．與ab=12聯(lián)立解得：a，b．即可得出直線l的方程．設原點O關于直線l對稱點的坐標為（m，n），利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出（Ⅱ）假設存在直線l同時滿足點（1，1）到直線l的距離為1，可得，與ab=12聯(lián)立解得a，b即可得出【題目詳解】（I）設A（a，0），B（0，b），則ab=6，即ab=12，（a，b＞0）直線l的方程為：=1，∵直線l過點（3，1），∴=1與ab=12聯(lián)立解得：a=6，b=2∴直線l的方程為：=1化為：x+3y-6=0設原點O關于直線l對稱點坐標為（m，n），則×=-1，-6=0，化為：m+3n-12=0聯(lián)立解得m=，n=∴原點O關于直線l對稱點的坐標為（，）（Ⅱ）假設存在直線l同時滿足點（1，1）到直線l的距離為1，則=1，與ab=12聯(lián)立解得：，或可得：直線l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【題目點撥】本題考查了中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、截距式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18、（1）2；（2）證明見解析【解題分析】（1）解方程T=π=2π（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結合不等式逐步求出函數(shù)的最值即得證.【小問1詳解】解：由題得T=π=2π【小問2詳解】證明：fx因為0≤x≤7∴-π∴-3所以當x∈0,7π12即得證.19、（1）15（2）【解題分析】（1）由三角函數(shù)的定義知，cosθ=-35，sin（2）利用公式tanα-β=【題目詳解】（1）∵P在單位圓上，且點P的橫坐標為-35，則cosθ=-∴cos（2）由題知α=θ+π4，則θ=α-π【題目點撥】本題考查二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，涉及到三角函數(shù)的定義，是一道容易題.20、（1）（2）每件工藝品的售價為31元時，利潤最大，最大利潤為2420元【解題分析】（1）設，任取兩級數(shù)據(jù)代入求得參數(shù)值得解析式；（2）由（1）中關系式得出利潤與的關系，由二次函數(shù)的性質(zhì)得最大值【小問1詳解】設，不妨選擇兩組數(shù)據(jù)，代入，可得解得∴一次函數(shù)的解析式為【小問2詳解】設利潤為元，由題意可得，∴當時，，∴每件工藝品的售價為31元時，利潤最大，最大利潤為2420元21、（1）或（2）（3）存在，或【解題分析】（1）首先設直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，令，即可求解的值；（2）設直線的方程為：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示中點坐標；（3）方法一，設直線：，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示