隨機(jī)抽樣【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的概念，把握實(shí)施簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法；2、了解系統(tǒng)抽樣的意義，并會(huì)用系統(tǒng)抽樣的方法從總體中抽取樣本；3【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣抽樣調(diào)查中用的是不放回抽取.1、簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的概念：N的總體中不放回地抽取容量為n2、簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)N是有限的；簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)N；從總體中逐個(gè)進(jìn)展抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作；(4)它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性；(5)3、實(shí)施抽樣的方法：(1)抽簽法：抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量格外大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力又不便利，假設(shè)標(biāo)號(hào)的紙片或小球攪拌得不均勻還可能導(dǎo)致抽樣的不公正.抽簽法的一般步驟：①將總體中的N②把這N③將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；④從箱中每次抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n⑤將總體中與抽到的號(hào)簽的編號(hào)全都的n個(gè)個(gè)體取出.(2)隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個(gè)位置上等可能消滅0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字的數(shù)表.隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)隨機(jī)數(shù)表法的步驟：①將總體的個(gè)體編號(hào)(每個(gè)號(hào)碼的位數(shù)全都)；②在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)字作為開(kāi)頭；面已經(jīng)取出，則跳過(guò)，如此連續(xù)下去，直到取滿(mǎn)為止.留意：①選定開(kāi)頭數(shù)字，要保證所選數(shù)字的隨機(jī)性；要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)潔、最根本的抽樣方法，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣有兩種選取個(gè)體的方法：放回和不2、抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量格外大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，又不便利，假設(shè)標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻，會(huì)導(dǎo)致抽樣不公正，隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法一樣，缺點(diǎn)上當(dāng)總體容量較大時(shí)，照舊不n3N

，但是這里確定要將每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、第n次每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、特定的個(gè)體在第n次被抽到的可能性這三種狀況區(qū)分開(kāi)來(lái)，避開(kāi)在解題中消滅錯(cuò)誤.要點(diǎn)二、系統(tǒng)抽樣1、系統(tǒng)抽樣的概念：2、系統(tǒng)抽樣的特征：當(dāng)總體容量N較大時(shí)，承受系統(tǒng)抽樣；將總體分成均衡的假設(shè)干局部指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱(chēng)等距抽樣；預(yù)先制定的規(guī)章指的是：在第1段內(nèi)承受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的根底上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào).3、系統(tǒng)抽樣的一般步驟：承受隨機(jī)的方法將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；將編號(hào)按間隔kN是整數(shù)時(shí)，取kNN不是整數(shù)時(shí)，從總體中剔除一些個(gè)體，使n n nN”剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N”能被n整除，這時(shí)取k n，并將剩下的總體重編號(hào)；在第一段用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l(lN，lk)；依據(jù)確定的規(guī)章抽取樣本，通常是將編號(hào)為l，lk，l2k， ，l(n1)k的個(gè)體取出.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個(gè)問(wèn)題劃分成假設(shè)干局局部塊解決，從而把簡(jiǎn)潔問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，表達(dá)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.2承受的是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣.要點(diǎn)三、分層抽樣1、分層抽樣的概念：某種特征分成假設(shè)干個(gè)互不重疊的幾局部，每一局部叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)展簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.2、分層抽樣的特點(diǎn)：(1)適用于總體是由有明顯差異的幾局部組成時(shí)的狀況；(2)分層抽樣對(duì)各個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō)被抽取的可能性一樣.3、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)：樣本具有較強(qiáng)的代表性；在各層抽樣時(shí)，可靈敏地選用不同的抽樣方法.4、分層抽樣的步驟：將總體按確定的標(biāo)準(zhǔn)分層；計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；按各層個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)展抽樣(各層可以按簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：分層：將相像的個(gè)體歸入一類(lèi)，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不穿插，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)展簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等.2、分層抽樣是當(dāng)總體有差異明顯的幾局部組成時(shí)承受的抽樣方法，進(jìn)展分層抽樣時(shí)應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體狀況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，而層之間的樣本差異要大，且互不重疊.(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)承受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)展抽樣.3、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是：使樣本具有較強(qiáng)的代表性，并且抽樣過(guò)程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種有用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法.要點(diǎn)四、三種抽樣方法的比較類(lèi)別類(lèi)別簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣共同點(diǎn)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體均分成幾局部按事先確定的規(guī)章在各局部抽取將總體分成n層，分層進(jìn)展抽取相互聯(lián)系在起始局部抽樣時(shí)承受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣各層抽樣承受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣適用范圍總體中個(gè)體數(shù)較少總體中個(gè)體數(shù)較多總體由差異明顯的幾部分組成【典型例題】類(lèi)型一：簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣1.下面的抽樣方法是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣嗎？為什么？50個(gè)個(gè)體作為樣本；倉(cāng)庫(kù)中有l(wèi)100支火炬進(jìn)展質(zhì)量檢查；20050名最優(yōu)秀的官兵趕赴四川參與抗震救災(zāi)工作；36個(gè)大小、外形都一樣的號(hào)簽的盒子中無(wú)放回地抽出6個(gè)號(hào)簽．〔1〕不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本總體的個(gè)數(shù)是有限的．不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個(gè)抽取”不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣要求的是“逐個(gè)抽取不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于這50名官兵是從中選擇出來(lái)的，是最優(yōu)秀的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，不符合簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求．是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于總體中的個(gè)體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個(gè)進(jìn)展抽取的，是不放回、等可能的抽樣．【總結(jié)升華】要推斷所給的抽樣方法是否是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．關(guān)鍵是看它們是否符合簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的定義，〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性必需是一樣的．舉一反三：【變式1】下面的抽樣方法是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣嗎？為什么？455名同學(xué)參與學(xué)校組織的某項(xiàng)活動(dòng)．203個(gè)進(jìn)展質(zhì)量檢驗(yàn)．20件玩具中任憑拿出一件來(lái)玩．玩后放回再拿下一件，連續(xù)玩了5件．〔1〕不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于這不是等可能抽樣．不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于這是“一次性”抽取，而不是“逐個(gè)”抽?。皇呛?jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．由于這是有放回抽樣．例2．某大學(xué)為了支援西部教育事業(yè)，現(xiàn)從報(bào)名的186人組成志愿小組．請(qǐng)用抽簽法設(shè)計(jì)抽樣方案．【解析】方案如下：1801，02，…，18；其次步：將號(hào)碼分別寫(xiě)在外形、大小一樣的紙條上，揉成團(tuán)，制成號(hào)簽；第三步：將得到的號(hào)簽放入一個(gè)不透亮的袋子中，并充分?jǐn)噭颍?個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的編號(hào)：第五步：所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的志愿者就是志愿小組的成員．【總結(jié)升華】一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否便利；二是號(hào)簽是否簡(jiǎn)潔被攪勻．一般地，當(dāng)樣本容量和總體容量較小時(shí)可用抽簽法．舉一反三：1】一個(gè)學(xué)生在一次競(jìng)賽中要答復(fù)的8道題是這樣產(chǎn)生的：從153道；從203道；從122道．使用適宜的方法確定這個(gè)學(xué)生所要答復(fù)的三門(mén)學(xué)科問(wèn)題的序號(hào)〔物理題的編號(hào)為0～1，化學(xué)題的編號(hào)為1～3，生物題的編號(hào)為3～4．【解析】第一步：將試題的編號(hào)01～47分別寫(xiě)在外形、大小一樣的紙條上，將紙條揉成團(tuán)制成號(hào)簽，并將物理、化學(xué)、生物題的號(hào)簽分別放在三個(gè)不透亮的袋子中，充分?jǐn)噭颍?3個(gè)號(hào)簽，從裝有生物題的袋子中逐個(gè)抽取2個(gè)號(hào)簽，并記錄所得號(hào)簽上的編號(hào)．這便是所要答復(fù)的三門(mén)學(xué)科問(wèn)題的序號(hào)．例〔2023福建泉州模擬從30個(gè)足球中抽取10的步驟及公正性．【思路點(diǎn)撥】首先將30個(gè)足球編號(hào)，在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)的選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)頭．從選定的數(shù)字向右讀，得到二29次下去，就得到一個(gè)具有10個(gè)數(shù)據(jù)的樣本，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了各個(gè)個(gè)體被抽取的時(shí)機(jī)是等可能的．【解析】第一步：首先將30個(gè)足球編號(hào)：00，01，02，…29，其次步：在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)的選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)頭．第三步：從選定的數(shù)字向右讀，得到二位數(shù)字，將它取出，把大于29的去掉，依據(jù)這種方法連續(xù)向右讀，取出的二位數(shù)假設(shè)與前面一樣，則去掉，依次下去，就得到一個(gè)具有10個(gè)數(shù)據(jù)的樣本．其公正性在于：第一隨機(jī)表中第一個(gè)位置上消滅的哪一個(gè)數(shù)都是等可能的，30個(gè)個(gè)體中抽到哪一個(gè)個(gè)體的號(hào)碼也是時(shí)機(jī)均等的，基于以上兩點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了各個(gè)個(gè)體被抽到的時(shí)機(jī)是等可取的．【總結(jié)升華】抽樣方法，隨機(jī)數(shù)表的使用，考生不要無(wú)視，在隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)數(shù)消滅在每個(gè)位置的概率是一樣的，所以每個(gè)數(shù)被抽到的概率是一樣的．舉一反三：1】某校有學(xué)生1200人，為了調(diào)查某種狀況，打算抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本，問(wèn)此樣本假設(shè)承受簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣將如何進(jìn)展？【解析】首先將該校學(xué)生都編上號(hào)碼：0001，0002，0003，…，1200，如用隨機(jī)數(shù)表法，則先在隨機(jī)數(shù)59664個(gè)數(shù)為一組，遇到右邊線時(shí)向下錯(cuò)一行向左連續(xù)讀取，所得數(shù)字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的數(shù)字假設(shè)小于或等于1200，則對(duì)應(yīng)此號(hào)的學(xué)生就是被抽取的個(gè)體；假設(shè)所抽取的數(shù)字大于1200，2400，則減去12002400，而小于或等于3600，則減去2400；依此類(lèi)推．假設(shè)遇到一樣的號(hào)碼，則只留取第一次讀取的數(shù)字，其余的舍去，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，始終50人為止．2104架進(jìn)展質(zhì)量檢驗(yàn)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)抽樣方案．〔隨機(jī)數(shù)表法〕100，1，…，9．3行第6向右讀．第三步，從數(shù)“21位，重復(fù)數(shù)字只記錄一次，依次可得到2，7，6，5．4架鋼琴就是要抽取的對(duì)象．〔抽簽法〕100，1，…，9．其次步，將號(hào)碼分別寫(xiě)在一張紙條上，揉成團(tuán)，制成號(hào)簽第三步，將得到的號(hào)簽放入一個(gè)不透亮的袋子中，并充分?jǐn)噭颍?個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的編號(hào)．4架鋼琴就是要抽取的對(duì)象．【總結(jié)升華〔1〕0開(kāi)頭，100—9就可表示，這樣總體中的全部個(gè)體可用一位數(shù)表示，便于使用隨機(jī)數(shù)表．〔2〕用抽簽法抽樣關(guān)鍵是將號(hào)簽攪勻．類(lèi)型二：系統(tǒng)抽樣例4．以下抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是〔 ．1～151531～5號(hào)球中用抽簽法抽出i0i0+5，i0+10的球也抽出工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車(chē)間的過(guò)程中，檢查人員從傳送帶上每5min抽取一件產(chǎn)品進(jìn)展檢驗(yàn)止D．某電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排〔每排人數(shù)相等〕座位號(hào)為14的觀眾留下來(lái)座談【答案】C【解析】此題的判定依據(jù)是系統(tǒng)抽樣方法的特征：系統(tǒng)抽樣適用于個(gè)體數(shù)目較多但均衡的總體．推斷一種抽樣是不是系統(tǒng)抽樣，首先看是否在抽樣前知道總體是由什么構(gòu)成的，抽樣的方法能否保證每個(gè)個(gè)體按事先規(guī)定的條件等可能入樣，再看抽樣過(guò)程中是否將總體分成了幾個(gè)均衡的局部，是否在每個(gè)局部中進(jìn)展簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．此題C明顯不是系統(tǒng)抽樣，由于事先不知道總體，抽樣方法也不能保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，總體也沒(méi)有分成均衡的幾局部，故C不是系統(tǒng)抽樣．【總結(jié)升華】系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：①適用于總體容量較大的狀況；②剔除多余個(gè)體及第一段抽樣都用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因而與簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣有親熱聯(lián)系；③是等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是n／N．舉一反三：【變式1】以下抽樣中，最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是〔 〕某市的42023名學(xué)生，且43∶8∶8∶2，從中抽取200名學(xué)生做樣本20235個(gè)做樣本2023200個(gè)做樣本205個(gè)做樣本【答案】C【解析】A中各區(qū)學(xué)生有區(qū)分，不好分成均衡的幾局部，不適宜，B中抽取樣本容量太小，不適宜．D中總體個(gè)數(shù)較少，不適宜．應(yīng)選C【總結(jié)升華】系統(tǒng)抽樣適合總體容量較大且個(gè)體間差異較小的狀況．550350名作為樣本，如何承受系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣？【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)條件可知總體的個(gè)數(shù)為503，樣本容量為50，不能整除，可承受隨機(jī)抽樣的方法從350050整除，然后再承受系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)展抽樣．【解析】5031，2，3，…，503．3500500名學(xué)生重編號(hào)1，2，3，…，500．第三步，確定分段間隔k50個(gè)局部，每一局部包括10個(gè)個(gè)體，這時(shí)，第l局部的個(gè)體編250500．第四步：在第1局部用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法確定起始的個(gè)體編號(hào)，例如5．第五步：依次在第23局部，…，第5015，25，…，495的個(gè)體，這樣就得50的樣本．【總結(jié)升華】總體中的每個(gè)個(gè)體都必需等可能的入樣，為了實(shí)現(xiàn)“等距”入樣且又等概率，應(yīng)先剔舉一反三：1】為了了解某年級(jí)學(xué)習(xí)狀況，打算從該年級(jí)50450系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣？【解析】5041，2，3，…，503，504；其次步：用抽簽法或者隨機(jī)數(shù)表法，剔除45005001，2，3，…，500；50：500=1：1050局部，其中每一1020；50491，492，493，…，500；1105；235015，25，35，…，495.這樣就502322名，為了了解學(xué)生的某種狀況，按1∶8的比例抽取一個(gè)樣本，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)展抽取，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程．322÷8=4022名學(xué)生，把剩下的3201，2，3，…，320．把40個(gè)局部，每一個(gè)局部都有8個(gè)個(gè)體，例如第一局部的個(gè)體編號(hào)為：1，2，3，…，8．然后在第6681310，31840的樣本．類(lèi)型三：分層抽樣6．在以下問(wèn)題中，各承受什么抽樣方法抽取樣本?204臺(tái)進(jìn)展質(zhì)量檢驗(yàn)；科學(xué)會(huì)堂有32排座位，每排有40個(gè)座位〔座號(hào)為41832名聽(tīng)眾進(jìn)展座談；光遠(yuǎn)中學(xué)有180名教職工，其中教師13620名，后勤效勞人員24名，為征求某項(xiàng)15的樣本．1〕〔〕〕分層抽樣．〔1〕〔2〕〔3〕3個(gè)層次，因此適宜用分層抽樣法．【總結(jié)升華】總體容量較小宜用抽簽法；總體容量較大，而樣本容量較小宜用隨機(jī)數(shù)表法；總體容量較大，樣本容量也較大的宜用系統(tǒng)抽樣法；總體是由差異明顯的幾個(gè)層次組成，宜用分層抽樣法．舉一反三：1160964024人，為了了解職工的收入狀況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，如何去抽取？1601160編上號(hào)，然后將用白紙做成的有1～160160個(gè)號(hào)簽放入箱內(nèi)攪勻，2020個(gè)人被選出．16011602081～8號(hào)為第一組，9～1615160號(hào)為第20組．從第一組中用抽簽方式抽到一個(gè)為k號(hào)≤≤8〔k+8〕號(hào)n=，，31，以此抽取20人．20∶160=1∶8125人，從后勤效勞人員3人，都用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法從各類(lèi)人員中抽取所需人數(shù)，他們合在一起恰好抽到20人．以上的抽樣方法，依次是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣的挨次是〔 A．方法一、方法二、方法三 B．方法二、方法一、方法三C．方法一、方法三、方法二 D．方法三、方法一、方法二【答案】C7500人，其中不到35125人，3549280人，5050歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)當(dāng)怎樣抽?。俊舅悸伏c(diǎn)撥】總體由不到35歲、35495050用分層抽樣法．【解析】用分層抽樣來(lái)抽取樣本，步驟是：分層．按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；3549歲的職工；5050歲以上的職工．100 1 1確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為 ，則在不到35歲的職工中抽12×=2〔人；500 5 51在35歲至49歲的職工中抽28×5=56〔人；1在50歲及