◆

3.1圖像的幾何變換

◆

3.2圖像的離散傅立葉變換

◆

3.3圖像變換的一般表示形式

◆

3.4圖像的離散余弦變換

◆

3.5圖像的離散沃爾什－哈達(dá)瑪變換

◆3.6K-L變換

◆3.7本章小結(jié)第3章圖像變換

圖像和其它信號一樣，既能在空間域（簡稱空域）處理，也能在頻率域（簡稱頻域）處理。把圖像信息從空域變換到頻域，可以更好地分析、加工和處理。圖像信息的頻域處理具有如下特點(diǎn):(1)能量守恒，但能量重新分配；(2)有利于提取圖像的某些特征；(3)正交變換具有能量集中作用，可實現(xiàn)圖像的高效壓縮編碼；(4)頻域有快速算法，可大大減少運(yùn)算量，提高處理效率。本章除介紹圖像的幾何變換外，主要介紹可分離正交變換，包括離散傅立葉變換、離散余弦變換、離散哈達(dá)瑪-沃爾什變換等。

概述?圖像的幾何變換包括:

圖像的空間平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射變換和圖像插值。?圖像幾何變換的實質(zhì):改變像素的空間位置，估算新空間位置上的像素值。

3.1圖像的幾何變換?圖像幾何變換的一般表達(dá)式

:

其中，為變換后圖像像素的笛卡爾坐標(biāo)，為原始圖像中像素的笛卡爾坐標(biāo)。這樣就得到了原始圖像與變換后圖像的像素的對應(yīng)關(guān)系。如果，，則有，即變換后圖像僅僅是原圖像的簡單拷貝。3.1圖像的幾何變換?平移變換

:若圖像像素點(diǎn)平移到，則變換函數(shù)為

，寫成矩陣表達(dá)式為：

其中，和分別為和的坐標(biāo)平移量。

3.1圖像的幾何變換3.1圖像的幾何變換?比例縮放

:若圖像坐標(biāo)縮放到（)倍，則變換函數(shù)為：

其中,分別為和坐標(biāo)的縮放因子，其大于1表示放大，小于1表示縮小。3.1圖像的幾何變換?旋轉(zhuǎn)變換

:

將輸入圖像繞笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角度，則變換后圖像坐標(biāo)為：圖像旋轉(zhuǎn)變換的示例

:(a)原始圖像(b)逆時針旋轉(zhuǎn)30度后的圖像3.1圖像的幾何變換?仿射變換

:仿射變換的一般表達(dá)式為:平移、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換都是一種稱為仿射變換的特殊情況。仿射變換具有如下性質(zhì)：（1）仿射變換有6個自由度（對應(yīng)變換中的6個系數(shù)），因此，仿射變換后互相平行直線仍然為平行直線，三角形映射后仍是三角形。但卻不能保證將四邊形以上的多邊形映射為等邊數(shù)的多邊形。（2）仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。（3）仿射變換能夠?qū)崿F(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。3.1圖像的幾何變換上式可以表示成如下的線性表達(dá)式

:設(shè)定加權(quán)因子和的值，可以得到不同的變換。例如，當(dāng)選定，，，該情況是圖像剪切的一種列剪切。

（a）原始圖像（b）仿射變換后圖像3.1圖像的幾何變換?透視變換

:把物體的三維圖像表示轉(zhuǎn)變?yōu)槎S表示的過程，稱為透視變換，也稱為投影映射，其表達(dá)式為:透視變換也是一種平面映射，并且可以保證任意方向上的直線經(jīng)過透視變換后仍然保持是直線。透視變換具有9個自由度（其變換系數(shù)為9個），故可以實現(xiàn)平面四邊形到四邊形的映射。3.1圖像的幾何變換?灰度插值

:(1)最近鄰插值法：也稱作零階插值，就是令變換后像素的灰度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。

特點(diǎn)：造成的空間偏移誤差為像素單位，計算簡單。但當(dāng)圖像中的像素灰度級有細(xì)微變化時，該方法會在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡。(2)雙線性插值:也稱作一階插值,該方法通常是沿圖像矩陣的每一列（行）進(jìn)行插值，然后對插值后所得到的矩陣再沿著行（列）方向進(jìn)行線性插值。特點(diǎn):當(dāng)對相鄰四個像素點(diǎn)采用雙線性插值時，所得表面在鄰域處是吻合的，但斜率不吻合。并且雙線性灰度插值的平滑作用可能使得圖像的細(xì)節(jié)產(chǎn)生退化，這種現(xiàn)象在進(jìn)行圖像放大時尤其明顯。

3.1圖像的幾何變換?灰度插值

:(3)卷積插值法:當(dāng)圖像放大時，圖像像素的灰度值插值可以通過卷積來實現(xiàn)，即將輸入圖像兩行兩列中間插零值，然后通過低通模板濾波。

輸入圖像鄰域插零的鄰域

一般低通模板有：

柱形棱錐形鐘形三次B樣條3.1圖像的幾何變換(a)原始圖像

（b）最近鄰插值放大圖像

（c）雙線性插值放大圖像

（d）三次B樣條插值放大圖像插值放大示例：圖像的剪切傅立葉變換的定義及基本概念傅立葉變換的定義及基本概念

令為實變x的連續(xù)函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件：（1）有有限個間斷點(diǎn)（2）有有限個極值點(diǎn)（3）絕對可積

則有以下二式成立：上式中x為時域變量（空間域），u為頻率變量，i為虛數(shù)單位，通常稱上式為傅立葉變換對。傅立葉變換的定義及基本概念因x為時域變量（空間域）故第一式：為逆變換，而且它們可以互為逆變換：是影像函數(shù)的傅立葉變換。第二式：傅立葉變換的定義及基本概念通常數(shù)字影像是一個實函數(shù)，故只考慮實函數(shù)的情況，然而，函數(shù)的傅立葉變換通常是一個復(fù)數(shù)，它可表示為：式中R（u)和I(u)分別是F（u)的實部和虛部。傅立葉變換的定義及基本概念上式也可以表示為指數(shù)形式：式中：

傅立葉變換的定義及基本概念幅函數(shù)被稱為的傅立葉譜，而為相角。傅立葉譜的平方：一般稱為的能量譜（功率譜）傅立葉變換的定義及基本概念推廣到二維函數(shù)：式中，u,v是頻率變量傅立葉變換的定義及基本概念傅立葉變換的實部與虛部傅立葉譜相位譜：能量譜（功率譜）：

傅立葉變換的定義及基本概念3.2圖像的離散傅立葉變換?一維離散傅立葉變換（1D-DFT）:1D-DFT的定義

：對于有限長序列,其DFT定義為：，1D-DFT的矩陣表示

：3.2圖像的離散傅立葉變換其中：，，其中的稱為變換矩陣。從的構(gòu)成形式可知，是對稱的，即又由，則稱為酉矩陣，且，而1D-DFT就稱為正交變換。同理可得到反變換的矩陣表示：3.2圖像的離散傅立葉變換?二維離散傅立葉變換（2D-DFT）1、2D-DFT的定義:

其中，都是整數(shù)，

它們的取值范圍:

2、幾個相關(guān)參數(shù):傅立葉變換表示為復(fù)數(shù)形式:上式也可表示成指數(shù)形式：通常稱為的頻譜或幅度譜，為相位。，頻譜的平方稱為功率譜，即:3.2圖像的離散傅立葉變換3、2D-DFT的性質(zhì)

:（1）變換核的可分離性：

在離散傅立葉變換中，稱為變換核，將代入2D-DFT定義式的正變換中，得

該性質(zhì)說明2D-DFT可通過兩次1D-DFT完成，即按如下兩種方法來實現(xiàn)2D-DFT：或3.2圖像的離散傅立葉變換（2）移位特性：若，則：a.空間移位:b.頻域移位:c.移位時幅度不變:

，d.頻譜中心化:令，則即使的頻譜從原點(diǎn)移到中心。

（a）原圖像（b）|F(u,v)|的示意圖（c）|F(u-N/2,v-N/2)|的示意圖3.2圖像的離散傅立葉變換（3）周期性和共軛對稱性：a.周期性:

其中和為整數(shù)。b.共軛對稱性:圖像為實函數(shù)，則具有共軛對稱性，即:（4）旋轉(zhuǎn)不變性:若用極坐標(biāo),則以及其傅立葉變換就可以轉(zhuǎn)化為和，這樣，則

3.2圖像的離散傅立葉變換

從上式可見，空域中函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，它的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)同樣大小的角度，反之亦然。（a）原始圖像（b）頻譜（c）圖像旋轉(zhuǎn)45o（d）圖c的頻譜（5）實偶函數(shù)的DFT:

若,則，僅有余弦項的實部。3.2圖像的離散傅立葉變換

（6）實奇函數(shù)的DFT:

若,則

，僅有正弦項的虛部。（7）線性性:若和是常數(shù)，傅立葉的正反變換都是線性變換，即（8）比例性（尺度變換）:若和是標(biāo)量，，則

3.2圖像的離散傅立葉變換（9）平均值:數(shù)字圖像的平均值可以定義為:將代入公式，有:故。

（10）卷積定理:

3.2圖像的離散傅立葉變換其中：

3.2圖像的離散傅立葉變換

（11）相關(guān)定理：其中：3.2圖像的離散傅立葉變換

2D-DFT的計算

根據(jù)傅立葉變換核的可分離性，2D-DFT可用兩步1D-DFT來實現(xiàn)，而1D-DFT有快速算法FFT，這也就說明2D-DFT就可用FFT來完成，即Fourier變換示意圖Fourier變換的頻率特性

Fourier變換的低通濾波Fourier變換的高通濾波基于Fourier變換的壓縮另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1基于Fourier變換的壓縮壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：13.3圖像變換的一般表示形式

前面介紹的2D-DFT只是可用于圖像變換的一種可分離的、正交變換，根據(jù)它的計算方法及特性，我們總結(jié)出圖像變換的一般表達(dá)形式。

1.圖像變換的一般表達(dá)式其中和分別稱為正、反變換核。

2.正交變換將圖像變換公式中的正變換寫成矩陣表達(dá)式，為其中的稱為變換矩陣。3.3圖像變換的一般表示形式正交變換矩陣及其主要性質(zhì)

a.定義:[定義1]若階實數(shù)矩陣滿足,則稱為正交矩陣；[定義2]若階復(fù)數(shù)矩陣滿足,則稱為酉矩陣。

其中，表示的轉(zhuǎn)置，表示的共軛，表示單位