2022-2023學(xué)年江蘇省常州市高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．老師排練節(jié)目需要個(gè)男生和個(gè)女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，個(gè)女生不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出名學(xué)生排成一列的排法，再利用插空法求出個(gè)女生不相鄰的排法，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】個(gè)男生和個(gè)女生隨機(jī)排成一行，則名學(xué)生共有種排法，若個(gè)女生不相鄰，先排個(gè)男生有種排法，個(gè)男生產(chǎn)生個(gè)空，將個(gè)女生插入個(gè)空中有種排法，故有種排法，所以個(gè)女生不相鄰的概率.故選：A.2．若，則（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，從而利用正態(tài)分布圖象對(duì)稱性求出.【詳解】因?yàn)椋?，?，所以.故選：A3．五一期間，小丁，小趙，小陳，小吳四人計(jì)劃到溧陽(yáng)天目湖，金壇茅山，春秋樂(lè)園三地旅游，每人只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少有一人去，且小丁不去溧陽(yáng)天目湖，則不同的旅游方案共有（

）A．18種 B．12種 C．36種 D．24種【答案】D【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理，分小丁單獨(dú)旅游與小丁與他人一起旅游兩種情況，根據(jù)分組分配的解題思路，可得答案.【詳解】第一種情況：當(dāng)小丁獨(dú)自去旅游，從金壇茅山、春秋樂(lè)山中選一個(gè)，其方法數(shù)為；小趙、小陳、小吳三人去另外兩個(gè)地方旅游，利用分組分配的思路，可得方法數(shù)為；則該情況下，總的方法數(shù)為.第二種情況：當(dāng)小丁與他人組隊(duì)去旅游，再?gòu)慕饓┥健⒋呵飿?lè)山中選一個(gè)，其方法數(shù)為，其他兩人去另外兩個(gè)地方，其方法數(shù)為，則該情況下，總的方法數(shù)為.故不同的旅游方法共有種.故選：D.4．下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，所以三個(gè)向量共面，故不可以作為空間向量一個(gè)基底，故B正確.對(duì)于C，設(shè)，無(wú)解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，無(wú)解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地解答同一個(gè)問(wèn)題，他們能夠正確解答該問(wèn)題的概率分別是和，在這個(gè)問(wèn)題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學(xué)都能正確回答該問(wèn)題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用獨(dú)立事件及互斥事件的概率求法求解該問(wèn)題被解答的概率，再利用條件概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示“甲能回答該問(wèn)題”，事件B表示“乙能回答該問(wèn)題”，事件C表示“這個(gè)問(wèn)題被解答”，則，，故，所以在這個(gè)問(wèn)題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問(wèn)題的概率為：.故選：D6．已知，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．66 B．36 C．30 D．6【答案】B【分析】利用賦值法求出a值，再分析計(jì)算二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)即可得解【詳解】因的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192，則當(dāng)時(shí)，，解得，從而有展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因此，在中，當(dāng)，即時(shí)，與相乘可得常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，與2相乘可得常數(shù)項(xiàng)，于是得：，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為36.故選：B7．窗花是貼在窗戶玻璃上的貼紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一在2022年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖2），若為的中點(diǎn)，則（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算將化為、、表示，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，，，，所以，，所以.故選：C8．大雁塔是佛塔這種古印度佛教的建筑形式隨佛教傳入中原地區(qū)，并融入華夏文化的典型物證，是現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的店代四方樓閣式磚塔（如圖1所示）.2014年，它作為中國(guó)、哈薩克斯坦和吉爾吉斯斯坦三國(guó)聯(lián)合申遺“絲綢之路”中的一處遺址點(diǎn)，被列人《世界遺產(chǎn)名錄》．大雁塔由塔基、塔身、塔剎三部分組成（如圖2所示），全塔通高．塔基為長(zhǎng)方體，高約為，南北長(zhǎng)約為，東西長(zhǎng)約為；塔身近似呈正四棱臺(tái)，底層邊長(zhǎng)約為，側(cè)面是底角約為81.95°的等腰梯形；塔剎高約．則大雁塔塔基與塔身的體積之比為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體體積與正四棱臺(tái)體積的比，根據(jù)長(zhǎng)方體與棱臺(tái)體積公式求解即可．【詳解】如圖，記大雁塔塔身為棱臺(tái)，過(guò)作于，過(guò)作交于，，設(shè)，則，，，，，即，解得，所以，所以塔身的體積，又因?yàn)樗捏w積，所以大雁塔塔基與塔身的體積之比為．故選：D．二、多選題9．某學(xué)校一名同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經(jīng)過(guò)擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列說(shuō)法正確的有（

）參考公式：相關(guān)系數(shù)公式A．樣本中心點(diǎn)為 B．C．當(dāng)時(shí)，殘差為 D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)r增大【答案】ABC【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得A正確；由計(jì)算可得B正確；根據(jù)殘差的定義計(jì)算可得C正確；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式分析可得D不正確.【詳解】,，所以樣本中心點(diǎn)為，則A正確；由，得，則B正確；由B知，，當(dāng)時(shí)，，則殘差為，則C正確；因?yàn)椋?，，，所以，，，所以去掉樣本點(diǎn)后，相關(guān)系數(shù)的公式中的分子、分母的大小都不變，故相關(guān)系數(shù)的大小不變，故D不正確.故選：ABC10．已知與是共軛復(fù)數(shù)（虛部均不為），下列結(jié)論中一定正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算、模長(zhǎng)運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，，對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，與無(wú)法比較大小，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11．甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒(méi)有出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（

）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為5 B．中位數(shù)為3，極差為3C．中位數(shù)為1，平均數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，方差為2【答案】AD【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對(duì)選項(xiàng)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，由于中位數(shù)為3，眾數(shù)為5，所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3個(gè)數(shù)是3，則第4和5個(gè)為5，所以這5個(gè)數(shù)中一定沒(méi)有出現(xiàn)6，所以A正確，對(duì)于B，由于中位數(shù)為3，極差為3，所以這5個(gè)數(shù)可以是3，3，3，4，6，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于中位數(shù)為1，平均數(shù)為2，所以這5個(gè)數(shù)可以是1，1，1，1，6，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由平均數(shù)為3，方差為2，可得，，若有一個(gè)數(shù)為6，取，則，，所以，所以這4個(gè)數(shù)可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與矛盾，所以，所以這5個(gè)數(shù)一定沒(méi)有出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D正確，故選：AD12．已知圖1中，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，A，B，C，D是各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB，BC，CD，DA將△ABF，△BCG，△CDH，△ADE向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面部與平面ABCD垂直，再順次連接E，F(xiàn)，G，H，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則在該多面體中，有（

）

A．平面平面CGH B．直線AF與直線CG所成的角為60°C．該多面體的體積為 D．直線CG與平面AEF所成角的正切值為【答案】BCD【分析】分別取的中點(diǎn)，連接，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，結(jié)合棱錐的體積公式逐個(gè)分析判斷即可【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦叫胃鬟叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，是各邊的中點(diǎn)，所以四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，，且，所以四邊形為矩形，所以，所以如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于A，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，則，所以，所以與不垂直，所以平面與平面不垂直，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以直線AF與直線CG所成的角為60°，所以B正確，對(duì)于C，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則分別為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以長(zhǎng)方體的體積為，，所以多面體的體積為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，，所以，設(shè)直線CG與平面AEF所成角為，則，所以，所以，所以直線CG與平面AEF所成角的正切值為，所以D正確，故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查面面垂直的判定，考查線面角的求法，考查棱錐體的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可，考查空間想能力和計(jì)算能力，屬于較難題.三、填空題13．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：14．植樹(shù)造林，綠化祖國(guó)．某班級(jí)義務(wù)勞動(dòng)志愿者小組參加植樹(shù)活動(dòng)，準(zhǔn)備在一拋物線形地塊上的ABCDGFE七點(diǎn)處各種植一棵樹(shù)苗，且關(guān)于拋物線的如圖所示，其中A、B、C分別與E、F、G關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，現(xiàn)有三種樹(shù)苗，要求每種樹(shù)苗至少種植一棵，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)處必須種植同一種樹(shù)苗，則共有不同的種植方法數(shù)是（用數(shù)字作答）．【答案】36【分析】先選四個(gè)位置上的重復(fù)樹(shù)苗有種方法，再利用相同元素的排列問(wèn)題（除序法）即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題意對(duì)稱相當(dāng)于3種樹(shù)苗種，，，四個(gè)位置，有且僅有一種樹(shù)苗重復(fù)，有種選法；在四個(gè)位置上種植有種方法，則由乘法原理得種方法．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，本題運(yùn)用除序法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算．屬于中檔題．15．在正四棱柱中，，，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則球面與正四棱柱的表面相交所得到的弧長(zhǎng)之和等于．【答案】/【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分別求出球面與正四棱柱的表面相交所得到的每一段弧長(zhǎng)，進(jìn)而求和即可.【詳解】根據(jù)題意，如圖所示：以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，球與棱的交點(diǎn)分別為，因?yàn)椋?，則，所以的長(zhǎng)度為，同理的長(zhǎng)度為，在中，因?yàn)?，所以，同理，所以，所以的長(zhǎng)度為，由題意可知：，所以的長(zhǎng)度均為，同理的長(zhǎng)度也為，則球面與正四棱柱的表面相交所得到的弧長(zhǎng)之和等于，故答案為：.16．一只螞蟻從正四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，則螞蟻爬行5次后仍在頂點(diǎn)的概率為．【答案】【分析】設(shè)“螞蟻爬行次后仍在頂點(diǎn)”為事件，“不在頂點(diǎn)”為事件，則，，，根據(jù)求出，再代入可得結(jié)果.【詳解】設(shè)“螞蟻爬行次后仍在頂點(diǎn)”為事件，“不在頂點(diǎn)”為事件，則，，，,，則，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，所以，所以.所以螞蟻爬行5次后仍在頂點(diǎn)的概率為.故答案為：.四、解答題17．如圖：已知四棱錐中，平面是正方形，是的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）連接交與，連接，證明后可得線面平行；（2）由面面垂直的判定定理得平面平面，再由面面垂直性質(zhì)定理得平面，從而得證面面垂直．【詳解】解：（1）連接交與，連接，∵、分別為、的中點(diǎn)，∴∵平面，平面，

∴平面.（2）∵平面，平面，∴平面平面，∵為正方形∴，∵平面平面，平面，∴平面，

又∵平面，∴平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行，證明面面垂直，掌握線面平行的判定定理，掌握面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理是解題關(guān)鍵．18．如圖，在中，已知點(diǎn)，分別在邊，上，且，．(1)用向量，表示；(2)設(shè)，，，求角的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算來(lái)求得正確答案.（2）利用平方的方法來(lái)求得的大小.【詳解】（1）.（2）由兩邊平方得：，，，，由于，所以.19．陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)是教育部、國(guó)家體育總局、共青團(tuán)中央決定于2007年4月29日在全國(guó)范圍內(nèi)全面啟動(dòng)的一項(xiàng)有利于學(xué)生健康的運(yùn)動(dòng)，學(xué)校開(kāi)展陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)，是為切實(shí)推動(dòng)全國(guó)億萬(wàn)學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的廣泛開(kāi)展，吸引廣大青少年學(xué)生積極參加體育鍛煉，走向操場(chǎng)，走進(jìn)大自然，走到陽(yáng)光下，掀起群眾性體育鍛煉熱潮．某中學(xué)有2000名學(xué)生，其中男生1200人，女生800人．為了解全校學(xué)生每天進(jìn)行陽(yáng)光體育的時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣的方法，從中抽取男女生共100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．將樣本中的“男生”和“女生”按每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）各分為5組：，，，，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得下表：男生人數(shù)4524243女生人數(shù)3131662(1)用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)全校學(xué)生中每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少？(2)①?gòu)年?yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足40分鐘的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中男生人數(shù)X的概率分布列：②若陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于一小時(shí)，則被認(rèn)定為“愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)”，否則被認(rèn)定為“不愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)”．試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表（見(jiàn)答題卡），并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．附

參考數(shù)據(jù)與公式：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828，其中．【答案】(1)800(2)①分布列見(jiàn)解析；②有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用分層抽樣求出男生和女生各抽取的人數(shù)，進(jìn)而得到估計(jì)全校學(xué)生中每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)的男生和女生人數(shù)，相加得到答案；（2）①得到X的可能取值和相應(yīng)的概率，得到分布列；②利用公式計(jì)算出卡方，與5.024比較后得到結(jié)論.【詳解】（1）采用分層抽樣的方法，從中抽取男女生共100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．則男生抽取人數(shù)為，女生抽取人數(shù)為，每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)男生人數(shù)為24人，女生人數(shù)為16人，估計(jì)全校學(xué)生中每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)的男生人數(shù)為，估計(jì)全校學(xué)生中每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)的女生人數(shù)為，所以估計(jì)全校學(xué)生中每天陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在分鐘內(nèi)的總?cè)藬?shù)是；（2）①陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足40分鐘的樣本學(xué)生人數(shù)為7人，男生有4人，女生有3人，隨機(jī)抽取3人，這3人中男生人數(shù)X的可能取值為，其中，，，，則X的概率分布列為：0123②列聯(lián)表如下：愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)不愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)男2733女832則，故有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生愛(ài)好體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).20．設(shè)，其中，，且存在，使，則稱為關(guān)于的次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式．設(shè)，其中是關(guān)于x的8次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，．(1)求a，b的值；(2)若，求除以81的余數(shù)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)，前項(xiàng)提公因式，可得，根恒等可得結(jié)果；（2）由求出，由，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，又，且是關(guān)于x的8次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，所以，，所以，.（2）由（1）知，，，則，解得，則.所以所求余數(shù)為.21．某市為了更好地了解全體中小學(xué)生感染某種病毒后的情況，以便及時(shí)補(bǔ)充醫(yī)療資源，從全市中小學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名該病毒抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生監(jiān)測(cè)其健康狀況，100名中小學(xué)生感染某種病毒后的疼痛指數(shù)為X，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數(shù)X人數(shù)10819名稱無(wú)癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比．現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，記事件A為“該名學(xué)生為有癥狀感染者（輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有狀感染者）”，事件B為“該名學(xué)生為重癥感染者”，求事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比；(2)若該市所有該病毒抗原檢測(cè)為陽(yáng)性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)X近似服從正