PAGEPAGE9專題12空間幾何體的三視圖﹑表面積及體積1．一個側面積為4π的圓柱，其正視圖、俯視圖是如圖所示的兩個邊長相等的正方形，則與這個圓柱具有相同的正視圖、俯視圖的三棱柱的相應的側視圖可以為()解析：三棱柱一定有兩個側面垂直，故只能是選項C中的圖形．答案：C2．一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析由于C選項不符合三視圖中“寬相等”的要求，故選C.答案C3.一個正方體截去兩個角后所得幾何體的正(主)視圖、側(左)視圖如圖所示，則其俯視圖為()解析由題意得正方體截去的兩個角如圖所示，故其俯視圖應選C.答案C4．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析左視圖是從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是左下角與右上角的連線，故選C.答案C5．如圖，用斜二測畫法得到四邊形ABCD是下底角為45°的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為eq\r(2)，則原四邊形的面積是________．答案8eq\r(2)6.如圖是一個幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖，則該幾何體的體積是()A．24 B．12C．8 D．47．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則其側視圖的面積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C．1 D.eq\r(3)解析有三視圖可以得到原幾何體是以1為半徑，母線長為2的半個圓錐，故側視圖的面積是eq\f(\r(3),2)，故選B.答案B8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正視圖、側視圖均是由三角形與半圓構成的，俯視圖由圓與內接三角形構成，根據圖中的數據可得此幾何體的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) B.eq\f(4π,3)＋eq\f(1,6)C.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D.eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)解析據三視圖可知，該幾何體是一個半球(下部)與一個四面體(上部)的組合體，其直觀圖如圖所示，其中BA，BC，BP兩兩垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直徑長為AC＝eq\r(2)，∴該幾何體的體積為V＝V半球＋VP-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BA·BC·PB＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6).答案C9.某個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓)，則該幾何體的表面積為()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π解析該幾何體是個半圓柱與長方體的組合體，直觀圖如圖，表面積為S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.答案C10.四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，E，F分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2eq\r(2)，則該球的表面積為()A．12π B．24π C．36π D．48π解析將三視圖還原為直觀圖如圖，可得四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，且與該正方體內接于同一個球，且該正方體的棱長為a.設外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設EF的中點為G，連接OG，OA，AG.根據題意，直線EF被球面所截得的線段長為2eq\r(2)，即正方體的面對角線長也是2eq\r(2)，可得AG＝eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以正方體的棱長a＝2，在Rt△OGA中，OG＝eq\f(1,2)a＝1，AO＝eq\r(3)，即四棱錐P-ABCD的外接球半徑R＝eq\r(3)，從而得外接球表面積為4πR2＝12π，故選A.答案A11．用6根木棒圍成一個棱錐，已知其中有兩根的長度為eq\r(3)cm和eq\r(2)cm，其余四根的長度均為1cm，則這樣的三棱錐的體積為________cm3.解析由題意知該幾何體如圖所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，則∠ABC＝90°，取AC的中點O，連接SO、OB，則SO⊥AC，所以SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2)，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠SOB＝90°，又SO⊥AC，所以SO⊥底面ABC，故所求三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).答案eq\f(\r(2),12)12．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為________．解析由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).答案24eq\r(2)13．如圖所示，E，F分別是正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的圖的序號都填上)解析由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④錯誤．答案②③14．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺的上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解由圓臺的上、下底面的面積之比為1∶16，設圓臺上、下底面圓的半徑分別為r、4r，圓臺的母線長為l，根據相似三角形的性質得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9cm.所以圓臺的母線長為9cm.15．如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解(1)正六棱錐．(2)其側視圖如圖：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.16.已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.解由題設可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側面及其相對側面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、右側面均為底邊長為6，高為h2的等腰三角形，如圖所示．(1)幾何體的體積為：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側面及相對側面底邊上的高為h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側面的底邊上的高為h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側面面積為：S＝2×(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).17.正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(6)，內有一個球與它的四個面都相切(如圖)．求：(1)這個正三棱錐的表面積；(2)這個正三棱錐內切球的表面積與體積．(2)設正三棱錐P-ABC的內切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.∴VP-ABC＝VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC＝eq\f(1,3)S側·r＋eq\f(1,3)S△ABC·r＝eq\f(1,3)S表·r＝(3eq\r(2)＋2eq\r(3))r.又VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(2eq\r(6))2×1＝2eq\r(3)，∴(3eq\r(2)＋